|
|
| (210 mellanliggande sidversioner av 2 användare visas inte) |
| Rad 1: |
Rad 1: |
| == Länkar ==
| | __NOTOC__ |
|
| |
|
| * [http://matematik.wikidot.com Roger Bengtsson] har en sajt på wikidot. Den är CC och innehåller mycket bra förklarande texter, mm.
| | [[Media:Viktiga_koncept_i_Ma3c.pptx|PPT: Viktiga koncept i Ma3c]] |
| * [http://http://www.danielbarker.se/nf11-matematik-3c Daniel Barker] har en sajt med flera kurser på gy 11 och gamla gymnasiet. Här är Ma3c. Daniel är en föregångare på flipped classroom. Det är fritt att läsa och använda men inte full CC (dvs du kan inte själv gå in och ändra).
| |
|
| |
|
| = Trigonometri = | | ==Nya kursplanens CI== |
| == Lektion 1 - Algebra repetition==
| |
|
| |
|
| {{kvadreringsregeln}}
| | ====Aritmetik, algebra och funktioner==== |
|
| |
|
| {{uppgruta|'''Repetitionstest'''
| | *[[Begreppet absolutbelopp]]. |
| Skriv formler eller algebraiska förklaringar för detta:
| | *Begreppet [[Rationella uttryck]]. Hantering av rationella uttryck. [[Pascals_triangel|Pascals triangel]] |
| * kvadreringsreglerna | | *[[Begreppet gränsvärde]]. Begreppen [[Begreppen sekant och tangent|sekant, tangent, förändringshastighet, ändringskvot och derivata]] för en funktion. Grafiska och digitala metoder för att derivera funktioner. Villkor för deriverbarhet. |
| * formelhantering: Vad är <math> R</math> om <math> I=\frac{U}{R}</math> | | *Motivering och hantering av deriveringsregler för [[Deriveringsregler för potensfunktioner|potens]]- och [[Deriveringsregler för exponentialfunktioner|exponentialfunktioner]] samt summor av dessa. Begreppen [[Talet e]] och naturlig logaritm. |
| * pq-formeln | |
| * Pythagoras sats
| |
| }}
| |
|
| |
|
| {{läxa|
| | :- [[Repetition derivator]] |
| * Räkna uppgifterna på sidan 9. | | :- [[Introduktion till derivatan med problemlösning]] |
| * Titta även igenom innehållet till lektion 2 här på wikiskola. | | :- [[Derivatan för en funktion]] med derivatans definition |
| }}
| | :- [[Problemlösning med derivatan]] |
| | :- [[Tillämpningar på derivata|Tillämpningar på derivatan och problemlösning av max- minkaraktär]] - ''Fördjupning'' |
| | :- [[Problemlösning exponentialfunktioner]] |
| | *Begreppet [[Funktions graf och dess första- och andraderivata|andraderivata]]. [[Metoder för lösning av extremvärdesproblem|Metoder för att lösa extremvärdesproblem]]. |
| | *[[Begreppet polynom]] och egenskaper hos [[Polynomfunktioner av högre grad|polynomfunktioner]]. Metoder för att lösa enklare polynomekvationer. |
| | *[[Begreppet primitiv funktion]] och bestämd integral. Sambandet mellan primitiv funktion och derivata. |
| | *Grafiska och digitala metoder för att [[Bestämda integraler|bestämma integraler]]. |
| | *Motivering och hantering av metoder för att bestämma integraler för potens- och exponentialfunktioner samt summor av dessa. |
| | *[[Bestämning av enkla integraler i tillämpningar|Formulering och beräkning av integraler]] i enkla situationer |
|
| |
|
| == Lektion 2 == | | ====Trigonometri==== |
|
| |
|
| {{#ev:youtube| hB3PZPDPHy8 |240|left|}}{{#ev:youtube| Rl92xUAmhgI |240|right|}}
| | *Begreppet [[Enhetscirkeln]]. Definition av trigonometriska begrepp utifrån enhetscirkeln. |
| {{clear}}
| | *Bevis och användning av [[Cosinussatsen|cosinus]]-, [[Sinussatsen|sinus]]- och [[areasatsen]]. |
| {{#ev:youtube| _ALeqdwMxwM |240|right|}}
| |
|
| |
|
| {{trigonometri grund}}
| | ====Problemlösning, verktyg och tillämpningar==== |
|
| |
|
| === Den rätvinkliga triangeln ===
| | *Användning av digitala verktyg, även symbolhanterande, för att effektivisera beräkningar och komplettera metoder, till exempel vid ekvationslösning, derivering, integrering och hantering av algebraiska uttryck. |
| | *Problemlösning som omfattar begrepp och metoder i kursen, med särskild utgångspunkt i [[Matematiska problem av betydelse för samhällsliv och tillämpningar i andra ämnen Ma3c|karaktärsämnen och samhällsliv]]. |
| | *Användning av [[Programmering och derivering|programmering]] som verktyg vid problemlösning, databearbetning eller tillämpning av numeriska metoder. |
| | *Tillämpning och formulering av matematiska modeller i realistiska situationer. Utvärdering av matematiska modellers egenskaper och begränsningar. |
| | *Matematiska problem med anknytning till matematikens kulturhistoria. |
|
| |
|
| [[Fil:Rtriangle.png|höger|miniatyr|200px|En rätvinklig triangel med hypotenusan ''c'' och katetrarna ''a'' och ''b''.]]
| | == Resurser == |
| En rätvinklig triangel är en triangel där en av vinklarna är 90 grader. Sidan som är motsatt den räta vinkeln kallas '''hypotenusa''' och de två övriga sidorna kallas '''katetrar'''.
| |
|
| |
|
| Om ytterligare en vinkel är känd i en rätvinklig triangel är även den tredje vinkeln känd då en triangels vinkelsumma är 180 grader. Trianglar som har samma uppsättning av vinklar är likformighet|likformiga. Detta innebär att om man känner till en vinkel i en rätvinklig triangel är även kvoten mellan sidorna känd. Dessa kvoter ges av de trigonometriska funktionerna för en vinkel ''A'', där ''a'', ''b'' och ''c'' syftar på sidorna i triangeln i bilden till höger enligt:
| | Ma3c av Visuell matematik - [https://www.geogebra.org/m/htfynfgj en hel GeoGebrabok]. Testa till exempel Hitta N*e*mo |
| * Sinusfunktionens värde för en vinkel är kvoten mellan motsatta sidan till vinkeln och hypotenusan: | |
| ::<math>\sin A = \frac{a}{c}</math>
| |
| * Kosingsfunktionens värde för en vinkel är kvoten mellan närliggande sidan till vinkeln och hypotenusan:
| |
| ::<math>\cos A = \frac{b}{c}</math>
| |
| * Tangensfunktionens värde för en vinkel är kvoten mellan motstående och närliggande sidas längd: | |
| ::<math>\tan A = \frac{a}{b} = \frac{\sin A}{\cos A}</math>
| |
| Med dessa funktioner är det möjligt att (givet exempelvis en sida och en vinkel) bestämma alla sidor och vinklar i en rätvinklig triangel.
| |
| {{wp}}
| |
|
| |
|
| {{lm3c|Trigonometri|10}}
| | == I gamla CI== |
| :
| |
| {{Läxa|Lös uppgifterna 1201-1207 och gärna fler.
| |
| }}
| |
| {{flipp}}
| |
|
| |
|
| == Lektion 3 - Fasta värden == | | ===Aritmetik och algebra=== |
|
| |
|
| {{#ev:youtube| 03NICWDwUKA|240|right|}}
| | :[[Repetition algebra för Ma3c]] |
|
| |
|
| === En halv kvadrat === | | ===Samband och förändring=== |
|
| |
|
| ::<math>\sin 45 = \frac{1}{\sqrt{2}}</math> | | :[[Kontinuerliga och diskreta funktioner]] |
| : | | :[[Pascals triangel]] |
| ::<math>\cos 45 = \frac{1}{\sqrt{2}}</math> | | :[[Repetition algebra Ma3c]] |
|
| |
|
| === En halv liksidig triangel === | | ==Geometri== |
|
| |
|
| ::<math>\sin 60 = \frac{\sqrt{3}}{2} = \cos 30</math> | | :[[Definiera trigonometriska begrepp]] (repetition) eller [[Trigonometri_Ma1c]] |
| : | | :[[Trigonometriska ekvationer]] (överkurs/Ma4) |
| ::<math>\sin 30 = \frac{1}{2} = \cos 60</math>
| | :[[Egenskaper hos cirkelns ekvation| Cirkelns ekvation]] |
| : | | :[[Repetition Geometri Ma3c]] |
| ::<math>\tan 30 = \frac{1}{\sqrt{3}} </math> | |
| :
| |
| ::<math>\tan 60 = {\sqrt{3} </math>
| |
| :
| |
| <br />
| |
|
| |
|
| {{Läxa|Lös uppgifterna 1218-1223 och gärna fler.
| | ===Problemlösning Mittag-Leffler=== |
| }}
| |
| {{clear}}
| |
| {{flipp}}
| |
|
| |
|
| == Lektion 4 - Enhetscirkeln ==
| | http://www.mittag-leffler.se/publications/specialarbeten-i-matematik-for-gymnasiet |
| {{#ev:youtube| P9ZWjEkHVrk |240|left|Enhetscirkeln intro}}{{#ev:youtube| FoHkqQFiqP8 |240|right|Enhetscirkeln del 2}}
| |
|
| |
|
| {{clear}}
| | ==Relevans== |
| [[Fil:Unit_circle.svg|300px|right|Enhetscirkeln. Koordinaten för en punkt på cirkeln kan beräknas utifrån vinkeln ''t'' med hjälp av cosinus och sinus.]]
| |
| {{lm3c|Enhetscirkeln|16-21}}
| |
|
| |
|
| Det handlar om trigonometri och cirklar.
| | ===[[William Nordhaus]]=== |
|
| |
|
| En enhetscirkel är en cirkel i planet med radie 1. Ofta talar man om enhetscirkeln och avser då en enhetscirkel med mittpunkt i origo.
| | ===[[Relevansuppgiften i Ma3c]]=== |
| Av Pythagoras sats följer att enhetscirkeln kan beskrivas i kartesiska koordinater som mängden av punkter (x, y) sådana att x2 + y2 = 1. I polära koordinater blir detta den trigonometriska ettan.
| |
|
| |
|
| För att beräkna de kartesiska koordinaterna (x, y) för en punkt på enhetscirkeln som befinner sig vid vinkeln t mätt från x-axeln kan man använda cosinus och sinus:
| | Så här såg en typisk uppgift ut förut. |
|
| |
|
| :<math>x = \cos t \qquad y = \sin t</math>
| | ===[[Se om ditt hem]]=== |
| {{wp}}
| |
|
| |
|
| === Geogebra === | | ===[[Klimatet sommaren 2018]]=== |
|
| |
|
| [http://www.malinc.se/math/trigonometry/unitcirclesv.php Malin C om Enhetscirkeln.] | | ===[[Fördjupning problemlösning med programmering i Ma3c]]=== |
|
| |
|
| === Viktiga samband === | | ==[[Nationellt prov Ma3c]]== |
|
| |
|
| <ggb_applet width="494" height="351" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
| | == [[Kort kurs i Latex]] == |
| <br />
| |
| | |
| :<math>x = \sin (180-t = \sin t</math>
| |
| :<math>\cos (- t) = \cos t</math>
| |
| | |
| === Dagens mentala kliv ===
| |
| | |
| # De trigonometriska funktionerna fungerar för vinklar som är större än 90<sup>o</sup>. De gäller inom hela enhetscirkeln.
| |
| # Cos t = x-koordinaten och sin t = y-koordinaten.
| |
| # Även det omvända gäller. Enhetscirkeln kan hjälpa oss förstå de inversa funktionen sin<sup>-1</sup> och cos<sup>-1</sup> som att man utgår får ett värde på axeln, går ut till cirkeln och mäter den motsvarande vinkeln.
| |
| | |
| [[File:Sin drawing process.gif|thumb|left|711px|Animationen visar grafen för funktionen y = sin x. Vinkeln är i radianer (där 2 pi motsvarar 360<sup>o</sup>]]
| |
| {{clear}}
| |
| | |
| === Trigonometriska ekvationer ===
| |
| | |
| Det trigonometriska ekvationerna har ofta flera lösningar.
| |
| | |
| '''Fördjupning:''' Här är en lösning till ekvationen sin v = o.5 i [http://www.wolframalpha.com/input/?i=sin+v+%3D+0.5&t=esm01 Wolfram Alpha]. Den visar två lösningar till ekvationen (samt fler om man går ytterligare varv runt enhetscirkeln).
| |
| | |
| === Övrigt ===
| |
| | |
| '''Konstigt facit:''' Bry er inte om bilden i facit till 1301.
| |
| | |
| {{tnkruta|Öva matte på [[Mattecentrums_räknestugor]]}}
| |
| | |
| {{jspel|Intro
| |
| [[Javascript_och_spel]]
| |
| }}
| |
| {{Läxa|Lös uppgifterna 1301-1309 och gärna fler.
| |
| }}
| |
| {{clear}}
| |
| | |
| {{flipp}}
| |
| | |
| == Lektion 5 - Triangelsatserna ==
| |
| | |
| === Grader och radianer ===
| |
| | |
| 360 grader motsvarar 2 pi radianer.
| |
| | |
| {{khanruta|[http://www.khanacademy.org/math/trigonometry/e Omvandla mellan grader och radianer]}}
| |
| | |
| Här finns material att hämta... http://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometry
| |
| | |
| === Areasatsen ===
| |
| | |
| {{#ev:youtube| 3t6AahjyD90 |240|right|Areasatsen}}
| |
| [[Fil:Triangle_ABC_with_Sides_a_b_c.png|300px]]
| |
| <math>\mbox{Area} = \frac{1}{2}a b\sin C.</math>
| |
| | |
| {{clear}}
| |
| {{flipp}}
| |
| | |
| == Lektion 6 Sinussatsen ==
| |
| | |
| {{#ev:youtube|R1Sjs8FIu38|240|right|Sinussatse}}
| |
| | |
| :<math>\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} </math>
| |
| {{clear}}
| |
| {{flipp}}
| |
| | |
| == Lektion 7 Cosinussatsen ==
| |
| | |
| {{#ev:youtube|yKBLBZ_Thts |240|right|Cosinussatsen}}
| |
| | |
| :<math>c^2=a^2+b^2-2ab\cos C ,\,</math>
| |
| {{clear}}
| |
| | |
| == Lektion 8 Problemlösning ==
| |
| | |
| {{flipp}}
| |
| | |
| == Lektion 9 Cirkelns ekvation ==
| |
| {{#ev:youtube| P9ZWjEkHVrk |240|right|Cirkelns ekvation}}
| |
| | |
| Javascript, titta på funktionen cirkel. Sid 5 i boken spelprogramering.nu.
| |
| * Läs [http://spelprogrammering.nu/tutorial första sidan]
| |
| * Koden ovan anropar en funktion som heter circle och som finns i ett [http://spelprogrammering.nu/library.js bibliotek] på sajten spelprogrammering.nu. Undersök hur funktionen ser ut.
| |
| * Ritas cirkeln på så sätt som i matteboken?
| |
| * * En cirkelbåge som går 360 grader är praktiskt. Det kallas polära koordinater.
| |
| * Kan vi gå tillväga som i funktionen för triangeln och skapa en cirkel med vår formel från matteboken?
| |
| | |
| Testa funktionen i GGB.
| |
| {{clear}}
| |
| | |
| = Gränsvärden =
| |
| | |
| {{:Gränsvärden}}
| |
| | |
| Ser fram emot detta. --[[Användare:Hakan|Håkan Elderstig]] 28 augusti 2012 kl. 21.15 (UTC)
| |
| | |
| = Derivator =
| |
| | |
| == Provkarta ==
| |
| | |
| Denna sida är ett slags provkarta på vad wikiskola har att erbjuda och visar olika typer av delar som kan ingå i en sida. Här finns '''bilder''' som ligger på wikimedia, '''formler''' som kopierats från wikipedia, '''filmer''', '''GeoGebra''', en '''quiz''' och en '''widget''' från Wolfram Alpha. Det finns mallar för '''exempel''' (blå), '''definitioner''' (rosa), '''länkar''', (bruna), '''uppgifter''', (gula), '''bokhänvisningar''' (lila), '''tänkare''' (orange) samt '''Khanövningar''' (gröna).
| |
| | |
| {{:Derivator}}
| |
| | |
| == Prov ==
| |
| | |
| * Om [[Digitala prov]]
| |
| | |
| = Integraler = | |
| | |
| Kan man tänka sig någon trevlig frågeställning som ingång till integralerna?
| |