Begreppet absolutbelopp

Teori

Exempel

Aktivitet

Absolutbeloppet som en funktion

Uppgifter

Lär mer

[redigera]

Graf över absolutvärdesfunktionen för reella tal

Begreppet absolutbelopp, av Åke Dahllöf

Absolutbeloppet, ibland kallat absolutvärdet eller beloppet av ett tal x betecknas |x| och är ett positivt reellt tal eller noll och kan ges den geometriska tolkningen som ett tals avstånd till origo eller 0-punkten i det fall talet kan representeras på tallinjen.

Absolutbeloppet skrivs med två vertikala streck. Absolutbeloppet av x skrivs [math]\displaystyle{ |x| }[/math].

Absolutbeloppet är alltid positivt, dvs [math]\displaystyle{ |x| \gt = 0 }[/math]

Definition
Abolutbelopp Absolutbeloppet av ett reellt tal x definieras av [math]\displaystyle{ |x|=\left\{\begin{matrix} x, & x \ge 0 \\ -x, & x \lt 0 \end{matrix}\right. }[/math]

Definition
Abolutbelopp och kvadratrötter Med kvadratroten ur a menas det positiva tal som har kvadraten a. [math]\displaystyle{ ( \sqrt a)^2 = \sqrt a) \cdot \sqrt a) = a, ~där~ a\geq 0. }[/math]

[redigera]

Exempel med kvadratrötter

Exempel
Regel för kvadratrötter [math]\displaystyle{ \sqrt{x^2} = |x| }[/math]

Exempel med variabel på ett ställe

Exempel
Absolutbeloppet [math]\displaystyle{ | -3 | = 3 }[/math] [math]\displaystyle{ |x - 3 | = x - 3 }[/math] om [math]\displaystyle{ x \geq 3 }[/math] [math]\displaystyle{ |x - 3 | = -(x-3) = 3-x }[/math] om [math]\displaystyle{ x \lt 3 }[/math] och Tänk dig en tallinje. : [math]\displaystyle{ |x - 3 | }[/math] är avståndet mellan : [math]\displaystyle{ x }[/math] och [math]\displaystyle{ 3 }[/math] .

Exempel med variabel på två ställen

Exempel
Lös ekvationen: [math]\displaystyle{ |x + 1 | = 7-2x }[/math] Fall 1: x < -1 [math]\displaystyle{ -(x + 1 ) = 7-2x }[/math] [math]\displaystyle{ -x - 1 = 7-2x }[/math] [math]\displaystyle{ x = 8 }[/math] Stämmer ej (utanför intervallet). Fall 2: x > -1 [math]\displaystyle{ (x + 1 ) = 7-2x }[/math] [math]\displaystyle{ 3x = 6 }[/math] [math]\displaystyle{ x = 2 }[/math] Stämmer

Exempel - Absolutbelopp i båda leden

Exempel

En knepigare uppgift Om ekvationen innehåller två absolutbelopp behöver vi titta på flera fall. Lös ekvationen nedan: [math]\displaystyle{ |x - 1 | - 3 = |x + 3 | }[/math] För att lösa ekvationen tittar vi på tre fall och kan därigenom ta bort absolutbeloppen. Fall 1: x < -3 Uttrycken inom beloppstecknen blir i båda fallen negativa och vi ersätter beloppstecknen med parentes med minustecken framför, vilket ger [math]\displaystyle{ -(x - 1 ) - 3 = -(x + 3 ) }[/math] [math]\displaystyle{ -x + 1 - 3 = -x - 3 }[/math] Här ser vi att det saknas lösning (efftersom -x kan förkortas bort). Fall 2: -3 < x < 1 I detta intervallet blir uttrycket inom beloppstecknen i vänster led negativt medan det är positivt i höger led. [math]\displaystyle{ -(x - 1 ) - 3 = (x + 3 ) }[/math] [math]\displaystyle{ -x + 1 - 3 = x + 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 x = -5 }[/math] [math]\displaystyle{ x = -2.5 }[/math] Fall 3: x > 1 För säkerhets skull undersöker vi vad som händer i tredje fallet. Här blir innehållet i båda beloppen positivt och: [math]\displaystyle{ x - 1 - 3 = x + 3 }[/math] vilket saknar lösning.

Nedan en grafisk tolkning:

[redigera]

Absolutbelopp på tallinje

Se en förklarande film samt varianten med absolutbeloppet > ett värde här

[redigera]

I denna GGB kan du studera en funktion av absolutbeloppet.

[redigera]

Alla börjar med dessa uppgifter innan ni jobbar vidare med andra uppgifter. Skriv på ett papper och lägg det framför er när ni är klara så att din lärare ser hur det gått. Om det är oklarheter så tar vi upp det gemensamt.

Uppgift
Exit ticket 1. Vad är [math]\displaystyle{ | -2.34 | }[/math] ? 2. Vilka värden kan [math]\displaystyle{ | 2 - x | }[/math] anta? 3. Lös ekvationen [math]\displaystyle{ | x-4 | = 5 }[/math]

Uppgift
Utmaning Lös ekvationen: [math]\displaystyle{ \frac{1}{x} - \frac{1}{x-1} = \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-3} }[/math]

Kunskapsmatrisen

Här finns en autorättad diagnos att köra efter genomgången som heter: Exit ticket Absolutbelopp

[redigera]

Vertikalstrecket

ävan kallat pipe-symbolen, men Wikipedia skriver om Vertikalstreck

En GeogebraBook

Tim B har samlat förklaringar och övningar som du kan göra.

Superformeln

[math]\displaystyle{ r(v) = \Big{(}\Big{|} \frac{cos{\frac{mv}{4}}}{a}\Big{|}^{n_2} + \Big{|}\frac{sin{\frac{mv}{4}}}{b}\Big{|}^{n_3}\Big{)}^{- \frac{1}{n_1}} }[/math]

där parametrarna [math]\displaystyle{ a, b, m, n_1, n_2 }[/math] och [math]\displaystyle{ n_3 }[/math] exempelvis kan vara 1,1,5,2,6 och 6.

Den här övningenkan man även göra i Python.

Uppgift

Undersök superformeln Den finns på webbplatsen Spelprogrammering.nu med kod i Javascript. Du använder Javascript, Wolfram Alpha och Geogebra i din undersökning. Redovisa några snygga grafer i ppt. Ange dina parametrar och försök förklara varför kurvan ser ut som den gör. Ta också med en definition samt en förklaring av absolutbeloppet. Undersök hur superformeln uppför sig utan absolutbelopp. Kan du fundera ut en operation i miniräknaren eller datorn som ger samma resultat som absolutbeloppet utan att man använder just absolutbeloppet?