Trigonometri Ma1c

Mål för undervisningen Trigonometri

Du kommer att lära dig hur man använder de trigonometriska funktionerna och där till hörande begrepp.

Trigonometri grundläggande

Definition

Tre trigonometriska funktioner

\sin A = \sin v = \frac{m o t s t å e n d e k a t e t}{h y p o t e n u s a n} = \frac{a}{c}

\cos A = \cos v = \frac{n ä r l i g g a n d e k a t e t}{h y p o t e n u s a n} = \frac{b}{c}

\tan A = \tan v = \frac{m o t s t å e n d e k a t e t}{n ä r l i g g a n d e k a t e t} = \frac{a}{b}

Tangens:

\tan v = \frac{s i n u s}{c o s i n u s} = \frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}} = \frac{a}{b}

Begrepp

Motstående katet
Närliggande karet
Hypotenusa
Rätvinklig triangel
Sinus för vinkeln v förkortas sin(v)
Cosinus för vinkeln v förkortas cos(v)
Tangens för vinkeln v förkortas tan(v)
Inversen av sinus skrivs $a r c s i n (\frac{a}{c})$ eller $a s i n (\frac{a}{c})$ eller $s i n^{- 1} (\frac{a}{c})$
Inversen av cosinus skrivs $a r c c o s (\frac{b}{c})$ eller $a c o s (\frac{b}{c})$ eller $c o s^{- 1} (\frac{b}{c})$
Inversen av tangens skrivs $a r c t a n (\frac{a}{b})$ eller $a t a n (\frac{a}{b})$ eller $t a n^{- 1} (\frac{a}{b})$

Den rätvinkliga triangeln

En rätvinklig triangel med hypotenusan c och katetrarna a och b.

En rätvinklig triangel är en triangel där en av vinklarna är 90 grader. Sidan som är motsatt den räta vinkeln kallas hypotenusa och de två övriga sidorna kallas katetrar.

Om ytterligare en vinkel är känd i en rätvinklig triangel är även den tredje vinkeln känd då en triangels vinkelsumma är 180 grader. Trianglar som har samma uppsättning av vinklar är likformighet|likformiga. Detta innebär att om man känner till en vinkel i en rätvinklig triangel är även kvoten mellan sidorna känd. Dessa kvoter ges av de trigonometriska funktionerna för en vinkel A, där a, b och c syftar på sidorna i triangeln i bilden till höger enligt:

Sinusfunktionens värde för en vinkel är kvoten mellan motsatta sidan till vinkeln och hypotenusan:

\sin A = \frac{a}{c}

Cosinusfunktionens värde för en vinkel är kvoten mellan närliggande sidan till vinkeln och hypotenusan:

\cos A = \frac{b}{c}

Tangensfunktionens värde för en vinkel är kvoten mellan motstående och närliggande sidas längd:

\tan A = \frac{a}{b} = \frac{\sin A}{\cos A}

Med dessa funktioner är det möjligt att (givet exempelvis en sida och en vinkel) bestämma alla sidor och vinklar i en rätvinklig triangel.

Texten i ovanstående avsnitt kommer från Wikipedia.se

Ta reda på vinkeln om du vet två sträckor

Om y = roten ur x så är 'y² = x. Dessa två hänger ihop och den ena kan ses som den omvända av den andre. Detta kallas inversen, den inversa funktionen.

På samma sätt som det finns en invers funktion till kvadraten på ett tal, nämligen roten ur så finns det en invers funktion till sinus och cosinus.

O m s i n v = \frac{a}{h}, d å ä r v = a r c s i n (\frac{a}{h})

eller

s i n^{- 1} (\frac{a}{h})

O m c o s v = \frac{b}{h}, d å ä r v = a r c c o s (\frac{b}{h}) e l l e r c o s^{- 1} (\frac{b}{h})

och på samma sätt för tangens.

Inversen kan uttryckas som att:

s i n^{- 1} (s i n (v)) = v

Viktigt

När använder man inversa trigonometriska funktioner?

Om du känner två sidor samt söker vinkeln använder du arcsin, arccos eller arctan.

Om du känner en sida och en vinkel samt söker en annan sida använder du sinus, cosinus eller tangens.

Se filmer och få fler perspektiv och repetera begrepp

trigonometri i rätvinkliga trianglar, av Åke Dahllöf.

[redigera]

Exempel

Kan vi fälla trädet?

Pelle vill fälla ett träd och undrar hur högt det är för att vara säker på att det inte faller på en bod. Han tar hjälp av dig för att mäta en vinkel och ställer sig på huk 30 m bort från trädet och siktar mot dess top. Du mäter vinkeln relativt marken till 47 grader. Hur högt är trädet?

t a n (47) = \frac{h}{30}

h = 30 \cdot t a n (47) = 22 m

Relevans: Hur mäter man höjden på ett träd?

[redigera]

Uppgift

De trigonometriska funktionerna i en rätvinklig triangel

Dra i punkterna för att ändra vinkeln respektive storleken och se vad som händer med värdena för de trigonometriska funktionerna.

Undersök även hur triangelns sillängder ändras i förhållande till varandra och vinkeln.

Formulera några slutsatser för dig själv och diskutera med en kamrat.

[redigera]

Beräkna sinus, cosinus, mm i olika verktyg

Tänk på grader och radianer. Testa gärna med att skriva sin 30 vilket är 0.5 om den räknar i grader.
Miniräknare använder vi inte så ofta men om du har en så letar du naturligtvis rätt på knapparna för de trigonometriska funktionerna, inklusive de inversa.
Datorns kalkylator. Skriver man värdet först och trycker på sin-knappen eller tvärt om. Det varierar mellan olika appar.
Testa gärna Wolfram Alpha
Hur fungerar det i kalkylprogram? Excel - så här kan det se ut
Hur fungerar det i GeoGebra? Det är kanske viktigast av allt.

Den geometriska delen av GeoGebra

Man kan växla mellan två lägen, en algebraisk och en geometrisk, för att man ska kunna mata in och visualisera matematiken på olika sätt. Den underliggande matematiken kombinerar förstås båda sidorna.

Undersök geometriläget i GeoGebra

Uppgift

Rita en rätvinklig triangel

Gå till geometriläget.
Välj bort koordinataxlarna men behåll rutnätet
Kolla att fäst mot rutnät är valt.
Rita en rätvinklig triangel.
Markera den räta vinkeln och vinkel v. Tänk på i vilken ordning du klickar på sidorna.
Högerklicka på sidorna och välj visa namn och värde.
Gå till algebraläget och skriv sin v (eller vad din vinkel heter). Dra in den infon i visningsfönstret.
Mata in sinus(v) = a/b (eller vad kateterna heter i din konstruktion.
Det går att rita trianglar med flera olika verktyg. Testa det!

Egyptisk trigonometri

Uppgift

Historisk relevans och praktisk trigonometri

Rhind-papyrusen hittades i Luxor, Egypten, och är från cirka 1550 BC. Den innehåller matematiska samband och problem. En övningsuppgift därifrån är:

If a pyramid is 250 cubits high and the side of its base 360 cubits long, what is its seked?"

Vi ska alltså beräkna sidans lutning.

För oss går det bra med hjälp av trigonometri men för egyptierna var det svårare. Eftersom det var svårt att mäta vinklar noggrant vid den här tiden kan man mycket väl tänka sig att vinklar istället uttrycktes som kvoter av eller förhållanden mellan sträckor. Exempelvis kan man uttrycka vinkeln för pyramidsidans lutning som pyramidens seked vilket är kvoten mellan pyramidens höjd och (halva) baslängd.

[redigera]

Programmeringsuppgift

Python-hjälp - Fler exempel

Mål för undervisningen Kom igång med programmering i matematiken.

Målet är att du ska köra ett enkelt program för att utföra matematiska beräkningar.

Du kan kopiera delar av koden och göra förbättringar.

Målet är inte att du ska lära dig programmering på matematiklektionen men det är oundvikligt att du ändå lär dig lite Python-kod.

Definition

Radianer

En vinkels mått i radianer är definierad som den sträcka utmed enhetscirkelns rand som spänns upp av vinkeln. Då enhetscirkeln har radien 1 blir dess omkrets 2π. Ett varv, 360 grader, motsvarar alltså 2π rad. Annorlunda uttryckt, 1 rad ≈ 57,296 grader.

Wikipedia skriver om Radian

Använd de trigonometriska funktionerna

Det här kodexemplet passar till avsnittet om Geometri på Ma1c.

Koden

import math 

# Här frågar vi efter en vinkel i grader
vinkel = int(input("Ange ett tal "))

# Vi konvereterar från grader till radianer
x = math.radians(vinkel)

# Skriv ut vad sinus för vinkeln är. Vinkeln anges i radianer
print("Sinus ", vinkel, "är ",math.sin(x))

Mer info

Dokumentation math

Uppgift

Uppgift
Testa fler trigonometriska funktioner Testa att beräkna cosinus och tangens med ditt program Undersök (fundera) om det finns några vinklar som inte fungerar. Åtgärda det problemet på lämpligt sätt i ditt program.

Trigonometri Ma1c

Trigonometri grundläggande

Begrepp

Den rätvinkliga triangeln

Ta reda på vinkeln om du vet två sträckor

Se filmer och få fler perspektiv och repetera begrepp

Beräkna sinus, cosinus, mm i olika verktyg

Den geometriska delen av GeoGebra

Undersök geometriläget i GeoGebra

Egyptisk trigonometri

Använd de trigonometriska funktionerna

Koden

Mer info

Uppgift

Öva själv

Interaktiva övningar

Läs mer om trigonometri

Praktisk nytta av vinklar och trigonmetri

Men vad är sinus?

Exit ticket

Navigeringsmeny

Trigonometri Ma1c

Trigonometri grundläggande

Begrepp

Den rätvinkliga triangeln

Ta reda på vinkeln om du vet två sträckor

Se filmer och få fler perspektiv och repetera begrepp

Navigeringsmeny

Sök