Derivatan för en funktion

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök
[redigera]

Introduktion till derivatan

Introduktion till derivatan
Mål för undervisningen

Vi ska definiera derivatan i en punkt, vilket ger oss:

  • lutningen för en tangent genom punkten
  • ett värde för förändringen i den punkten

Vi ska göra en algebraisk beskrivning av riktningskoefficienten för en tangent i en punkt med hjälp av en sekant och gränsvärden.


Utgångspunkt

Vi har sett sekantens och tangents funktion att visa lutningen, d v s förändringen.

Begrepp

Vi kommer använda begreppen sekant, tangent, ändringskvot och gränsvärde.

Sekanten och derivatans definition

Genom att utgå ifrån en sekant kan vi definiera derivatan. Sekanten skär grafen i två punkter P och Q. Om Avståndet mellan punkterna minskar kommer sekanten allt närmare tangenten. Titta på bilderna nedan så ser du vad som händer när avståndet mellan P och Q krymper.

Men för att vi ska kunna använda gränsvärden skriver vi P och Q som P=(x,f(x)) och Q=(x+h,f(x+h)).

I de tre figurerna nedan ser du hur Q närmar sig P, d v s h minskar. Det innebär att sekantens lutning blir mer och mer lik tangentens lutning.

Det här gäller för en godtycklig punkt x men låt oss se hur det förhåller sig i punkten (a,f(a)).

Derivatan är lutningen i en punkt

Derivatan är tangentens lutning i (a, f(a))

Om en funktion f åskådliggörs av en graf y = f(x) så anger derivatan av f grafens lutning (förändring av y per förändring av x) för varje värde x. Derivatan i en punkt är således lika med riktningskoefficienten för kurvans tangent i den valda punkten (x,f(x)). Det vill säga k=ΔyΔx

Algebraisk beskrivning av derivatan

Derivatans definition

Om du ska räkna ut lutningen i en punkt får du problem. k=ΔyΔx=00 och det går ju inte. Här behövs formell matematik.

Nu utgår vi från en punkt (a,f(a)) och så kallar vid punkten som närmar sig för (a+h,f(a+h)). När h krymper kommer den andra punkten att närma sig den första. Man säger att h går mot noll och det skrivs

limh0

Detta kan sammanfattas på matematisk form och kallas derivata.

Definition

Derivatan av funktionen f i punkten a definieras som gränsvärdet

f(a)=limh0f(a+h)f(a)h


Med denna form för att skriv derivatans definition kan man sätta in polynom och andra funktioner i definitionen, förenkla det rationella uttrycket och förkorta bort h i nämnare så att det går att beräkna gränsvärdet. Mer om hur det går till ser du under nästa flik - Exempel.

Derivatan skriven med variabeln x

Sätt a+h=x. Det ger ett nytt sätt att skriva derivatans definition.

Definition
Derivatans definition om a+h=x

Derivatans värde (lutningen k) i punkten där x=a skrivs:

f(a)=limxaf(x)f(a)xa

Detta är derivatan i punkten (a,f(a))



Exempel
Derivatan i punkten x=3

Tänk dig en fix punkt på en kurva (3, F(3) och en rörlig punkt med koordinaterna (x, f(x)). Sekantlinjen genom de två punkterna har lutningen:

k=ΔyΔx=f(x)f(3)x3

Låt sedan x minska så att x närmar sig 3. Då kommer f(x) att närma sig f(3) och linjen att tangera kurvan i punkten (x,f(x)). Den linjen kallas för tangent.

Tangentens lutningen i punkten där x=3 skrivs:

k=limx3f(x)f(3)x3


Andra sätt att beteckna derivata

Man kan skriva derivatan på flera sätt

  • Derivatan av f(x) skrivs f(x)
  • Derivatan av y(x) skrivs y(x)
  • Ibland ser man exempelvis D 3x2 = 6x