Derivatan för en funktion

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök
[redigera]

Introduktion till derivatan

Introduktion till derivatan
Target 10 points.svg
Mål för undervisningen

Nu är det dags att förklara vad derivatan är:

  • funktionens (grafens) lutning i en punkt
  • sätt att beskriva hur grafen för en funktion förändras
  • sätt att hitta extrempunkter


Utgångspunkt

Vi har lärt oss derviera funktioner och få fram förändringen.

Vi har sett tangents funktion att vis lutningen, d v s förändringen.

Nu ska vi förena dessa två genom en definition av derivatan vilken vi senare kan använda för att bevisa de deriverngsregler vi redan sett i formelsamlingen.

Begrepp

Man kan skriva derivatan på flera sätt

  • Derivatan av [math]f(x)[/math] skrivs [math]f'(x)[/math]
  • Derivatan av [math]y(x)[/math] skrivs [math]y'(x)[/math]
  • Ibland ser man exempelvis D 3x2 = 6x


Vi kommer använda begreppen sekant, tangent, ändringskvot och gränsvärde.

Derivatan är lutningen

Definition
Tangenten visar grafens lutning i den punkten

Tangentens lutning är samma som kurvans lutning i denna punkt och visar funktionens förändring i punkten.

Tangentens lutningen i punkten där [math]x = a[/math] skrivs:

[math]k = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}[/math]

Detta är derivatan i punkten [math] (a, f(a))[/math]



Exempel
Derivatan i punkten [math]x=3[/math]

Tänk dig en fix punkt på en kurva (3, F(3) och en rörlig punkt med koordinaterna (x, f(x)). Sekantlinjen genom de två punkterna har lutningen:

[math]k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x) - f(3)}{x-3}[/math]

Låt sedan [math]x[/math] minska så att [math]x[/math] närmar sig 3. Då kommer f(x) att närma sig f(3) och linjen att tangera kurvan i punkten [math](x,f(x))[/math]. Den linjen kallas för tangent.

Tangentens lutningen i punkten där [math]x = 3[/math] skrivs:

[math]k = \lim_{x \to 3} \frac{f(x) - f(3)}{x-3}[/math]

Geometrisk tolkning

Derivatan är tangentens lutning i (x, f(x))

Om en funktion f åskådliggörs av en graf y = f(x) så anger derivatan av f grafens lutning (förändring av y per förändring av x) för varje värde x. Derivatan i en punkt är således lika med riktningskoefficienten för kurvans tangent i den valda punkten (x, f(x)).

Derivatan är lutningen i en punkt

Derivatans definition

Om du ska räkna ut lutningen i en punkt får du problem. [math]k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{0}{0}[/math] och det går ju inte. Här behövs formell matematik.

Nu utgår vi från en punkt [math](x,f(x))[/math] och så kallar vid punkten som närmar sig för [math](x+h,f(x+h))[/math]. När [math]h[/math] krymper kommer den andra punkten att närma sig den första. Man säger att h går mot noll och det skrivs

[math] \lim_{h \to 0}[/math]

Detta kan sammanfattas på matematisk form och kallas derivata.

Definition

Derivatan av funktionen [math]f[/math] i punkten [math]x_0[/math] definieras som gränsvärdet

[math]f'(x_0)= \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}[/math]


Med denna form för att skriv derivatans definition kan man sätta in polynom och andra funktioner i definitionen, förenkla det rationella uttrycket och förkorta bort h i nämnare så att det går att beräkna gränsvärdet. Mer om hur det går till ser du under nästa flik - Exempel.

Viktigt
Derivatans definition


[math]f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}[/math]


Exempel 1

Använd derivatans definition.

Bestäm tangentens k-värde i punkten där x = 2 om f(x) = 3 x^2.

Exempel 2

Använd derivatans definition för att bestämma f'(4) om f(x) = 3 x + 5.

Nedan har vi skapat en Geogebra för funktionen [math]s(t) = 5 t^2.[/math] I GeoGebra behöver du dock använda x i stället för t som variabel.

Det kan se ut så här:

Derivatans definition med glidare

Laborera med sekanten och derivatan

Det finns ett papper med sex uppgifter där du ska använda derivatans definition.

Efter att du är klar med dessa går du in i Kunskapsmatrisen.

Pythonprogrammering derivata 1

Python logo and wordmark.svg
Programmeringsuppgift

Derivatans definition i Python

Du kan ta fram ett beräknat, approximativt värde för derivatan i en punkt med hjälp av ett program.

Pythonprogrammering derivata alternativ 2

Python logo and wordmark.svg
Programmeringsuppgift

Numerisk_derivering


Gissa derivatans utseende

Du kan skissa derivatans utseende genom att uppskatta funktionens lutning i grafen (alltså utan att känna till funktionen algeriskt).

Av Jonas Hall

Andra varianter på derivatans definition

Man kan definiera derivata på lite olika sätt. Här följer en geogebra fil där du kan flytta punkten A som du deriverar kring. Du kan också flytta två närliggande punkter. Om du vill ändra funktionen f måste du ladda ner filen härifrån [1]. Du flyttar A med slidern a. Avståndet (h eller delta h) till A för punkterna B och C med slidrers b och c. Linjen e motsvarar höger derivatan i punkten A när avståndet |C-A| går mot noll. På samma sätt motsvarar linjen d vänster derivatan då |B-A| går mot noll. Till slut är linjen g en variant av en sekant definition av derivata om |B-C| går mot 0.