Vi ska definiera derivatan i en punkt, vilket ger oss:
Vi ska göra en algebraisk beskrivning av riktningskoefficienten för en tangent i en punkt med hjälp av en sekant och gränsvärden.
Vi har sett sekantens och tangents funktion att visa lutningen, d v s förändringen.
Vi kommer använda begreppen sekant, tangent, ändringskvot och gränsvärde.
Genom att utgå ifrån en sekant kan vi definiera derivatan. Sekanten skär grafen i två punkter P och Q. Om Avståndet mellan punkterna minskar kommer sekanten allt närmare tangenten. Titta på bilderna nedan så ser du vad som händer när avståndet mellan P och Q krymper.
Men för att vi ska kunna använda gränsvärden skriver vi P och Q som P=(x,f(x)) och Q=(x+h,f(x+h)).
I de tre figurerna nedan ser du hur Q närmar sig P, d v s h minskar. Det innebär att sekantens lutning blir mer och mer lik tangentens lutning.
Det här gäller för en godtycklig punkt x men låt oss se hur det förhåller sig i punkten (a,f(a)).
Om en funktion f åskådliggörs av en graf y = f(x) så anger derivatan av f grafens lutning (förändring av y per förändring av x) för varje värde x. Derivatan i en punkt är således lika med riktningskoefficienten för kurvans tangent i den valda punkten (x,f(x)). Det vill säga k=ΔyΔx
Om du ska räkna ut lutningen i en punkt får du problem. k=ΔyΔx=00 och det går ju inte. Här behövs formell matematik.
Nu utgår vi från en punkt (a,f(a)) och så kallar vid punkten som närmar sig för (a+h,f(a+h)). När h krymper kommer den andra punkten att närma sig den första. Man säger att h går mot noll och det skrivs
Detta kan sammanfattas på matematisk form och kallas derivata.
Derivatan av funktionen f i punkten a definieras som gränsvärdet
Med denna form för att skriv derivatans definition kan man sätta in polynom och andra funktioner i definitionen, förenkla det rationella uttrycket och förkorta bort h i nämnare så att det går att beräkna gränsvärdet. Mer om hur det går till ser du under nästa flik - Exempel.
Sätt a+h=x. Det ger ett nytt sätt att skriva derivatans definition.
Derivatans värde (lutningen k) i punkten där x=a skrivs:
Detta är derivatan i punkten (a,f(a))
Tänk dig en fix punkt på en kurva (3, F(3) och en rörlig punkt med koordinaterna (x, f(x)). Sekantlinjen genom de två punkterna har lutningen:
Låt sedan x minska så att x närmar sig 3. Då kommer f(x) att närma sig f(3) och linjen att tangera kurvan i punkten (x,f(x)). Den linjen kallas för tangent.
Tangentens lutningen i punkten där x=3 skrivs:
Man kan skriva derivatan på flera sätt
Använd derivatans definition.
Bestäm tangentens k-värde i punkten där x=2 om f(x)=3x2.
Fil:Derivatans definition - exempel.pdf.
Använd derivatans definition för att bestämma f'(4) om f(x) = 3 x + 5.
Uppgift: Nedan ser du en GGB-konstruktion full av information men samtidigt lite svår att använda. Skapa en egen liknande konstruktion. Försök förbättra och förenkla.
Du kan skissa derivatans utseende genom att uppskatta funktionens lutning i grafen (alltså utan att känna till funktionen algeriskt).
Av Jonas Hall
Det finns ett papper med sex uppgifter där du ska använda derivatans definition.
Efter att du är klar med dessa går du in i Kunskapsmatrisen.
Derivatans definition i Python
Du kan ta fram ett beräknat, approximativt värde för derivatan i en punkt med hjälp av ett program.
Numerisk_derivering
Man kan definiera derivata på lite olika sätt. Här följer en geogebra fil där du kan flytta punkten A som du deriverar kring. Du kan också flytta två närliggande punkter. Om du vill ändra funktionen f måste du ladda ner filen härifrån [1]. Du flyttar A med slidern a. Avståndet (h eller delta h) till A för punkterna B och C med slidrers b och c. Linjen e motsvarar höger derivatan i punkten A när avståndet |C-A| går mot noll. På samma sätt motsvarar linjen d vänster derivatan då |B-A| går mot noll. Till slut är linjen g en variant av en sekant definition av derivata om |B-C| går mot 0.