Rationella uttryck

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök

Teori

Vad är ett rationellt uttryck?

När man har två polynom och dessa bildar en kvot, då kallas den uppställningen för ett rationellt uttryck.

Här kommer två exempel på rationella uttryck

[math] \frac{6x+23}{x} [/math]


[math] \frac{5x2+2x}{x+6} [/math]

I det första exemplet bildas en kvot mellan 6x+2 i täljaren och 3x i nämnaren; i det andra exemplet bildas en kvot mellan 5x2+2x i täljaren och x+6 i nämnaren.

Rationella uttryck har liknande egenskaper som bråk och på samma sätt som för ett bråk är det viktigt att nämnaren inte har värdet noll, eftersom division med noll inte är definierat. I ett vanligt bråk är det ofta lätt att se om nämnaren är noll. När man har ett polynom i nämnaren kan det vara så att nämnaren blir noll för vissa värden på en ingående variabel, men inte för andra värden på denna.

I det andra exemplet ovan får x inte anta värdet -6

[math] \frac{5x2+2x}{x+6} [/math]
[math]x+6≠0⇒x≠−6 [/math]

Texten ovan kommer från matteboken.se

Förenklingar av rationella uttryck med hjälp av konjugat- och kvadreringsreglerna

Du har tidigare faktoriserat polynom. Nu ska vi använda konjugat- och kvadreringsreglerna för att faktorisera täljaren i ett rationellt uttryck så att vi kan förenkla genom att förkorta bort en faktor som återfinns i nämnaren.

Exempel
Förenkla uttrycket


[math] \frac{x^2-16}{x-4} [/math]


Använd konjugatregeln baklänges

[math] \frac{(x-4)(x+4)}{x-4} [/math]


Förkorta

[math] x+4 [/math]



Om det är fel ordning på termerna i en faktor kan man bryta ut minus ett

Förenklingar genom att bryta ut -1, av Åke Dahllöf
Definition
Bryt ut -1 för att byta ordning på termerna

[math] a - b = -1 (-a + b) = - (-a + b) = - (b - a) [/math]



Här kommer ett lite svårare exempel.

Exempel
Förenkla uttrycket


[math] \frac{-x^2 - x + 6)}{x-2} [/math]


[math] \frac{(x+3) (2-x)}{x-2} [/math]


[math] \frac{ - (x+3) (x - 2)}{x-2} [/math]


[math] - x -3 [/math]



När är det rationella uttrycket odefinierat?

Rationella uttryck samt förkortning av rationella uttryck, av Åke Dahllöf
Definition
Kvoten mellan två polynom är ett rationellt uttryck
Exempelvis [math] \frac{x^3-4}{x+1}[/math]
Det rationella uttrycket är inte definierat när nämnaren är lika med nol
Exemplet ovan är odefinerat för [math] x = -1 [/math]

För att undersöka när ett rationellt uttryck är odefierat måste man först förenkla.

Låt oss ta ett exempel

Exempel
När är uttrycket odefinierat?


[math] \frac{x^2-4}{x(x+2)}[/math]

Utveckla kvadrattermen

[math] \frac{(x+2)(x-2)}{x(x+2)}[/math]

Förkorta

[math] \frac{(x-2)}{x}[/math]

Svar: Uttrycket är odefinerat när [math] x = 0 [/math]



Addition och subtraktion av rationella uttryck

En kort sammanfattning

Addition och subtraktion av rationella uttryck, av Åke Dahllöf
Definition
Addition av bråk

[math] \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad}{bd} + \frac{bc}{bd} = \frac{ad + bc}{bd} [/math]



Exempel med siffror

Exempel
Addition av bråk med siffror

Kom ihåg att det måste vara samma nämnare när bråktal adderas och subtraheras.

[math]\frac{3}{4} + \frac{5}{9} [/math]

Vi förlänger så att båda bråken får den minsta gemensamma nämnaren. Hitta minsta gemensamma nämnare genom att faktorisera:

[math]4 = 2 \cdot 2 ~och~ 9 {{=}} 3 \cdot 3 ~→~ Mgn ~{{=}} 2 \cdot 2 \cdot 3\cdot 3 {{=}} 4 \cdot 9 {{=}} 36.[/math]

Vi förlänger så att varje nämnare blir mgn:

[math]\frac{(3 \cdot 9) }{ (4 \cdot 9)} + \frac{(5 \cdot 4)}{ (9 \cdot 4)} {{=}} \frac{27}{36} + \frac{20 }{ 36}[/math]

Sedan sätter vi på ett gemensamt bråkstreck:

[math]\frac{(27 + 20)}{ 36}[/math]

Till sist förenklar vi i täljaren:

[math] \frac{47}{ 36}[/math]

Och tittar sedan om det går att förenkla något: [math]\frac{7 \cdot 7 }{ 6 \cdot 6}[/math] . Det går inte att förenkla.


Exempel med rationella uttryck


Exempel
Förenkla uttrycket
[math] \frac{x}{x+1} - \frac{1}{x} [/math]

Förenkla betyder i detta sammanhang att föra samman termerna genom att ge dem samma nämnare (göra liknämningt).

[math] \frac{x \cdot x}{x(x+1)} - \frac{x + 1}{x(x+1)} [/math]

Utför subtraktionen i täljaren:

[math] \frac{x^2 - x - 1}{x(x+1)} [/math]


GeoGebra visar hur det ser ut i exemplet ovan

Klicka i plupparna för att visa respektive graf.

Multiplikation och division av rationella uttryck

Multiplikation och division av rationella uttryck, av Åke Dahllöf

Matematiken är logiskt uppbyggd. Om det fungerar på ett visst sätt i enkla sammanhang så vill man att det ska fungera på samma sätt imer avancerade sammanhang. Samma räkneregler ska gälla.

Exempel: Prioriteringsreglerna fungerar med tal, variabler, komplexa tal, osv.

Multiplikation av rationella uttryck fungerar alltså på samma sätt som multiplikation av bråk eftersom det rationella uttrycket är ett bråk. Visserligen ett bråk med variabler i täljaren och nämnaren men ändå ett bråk. Tur att vi har tragglat bråkräkning så mycket tidigare. Då behöver detta inte bli något problem att tala om.

Så här funkar det med tal

Exempel
Räkneregler för multiplikation av bråk
[math](3 / 7) * (2 / 5) = (3 * 2) / (7 * 5) = 6 / 35 [/math]
Täljarna multipliceras med varandra och nämnarna multipliceras med varandra.

Räkneregler för division av bråk'

[math](3 / 7) / (2 / 5) = (3 * 5) / (7 * 2) = 15 / 14 [/math]
Täljaren multipliceras med nämnarens inverterade tal dvs 5/2


Definition
Multiplikation och division av bråk

Multiplikation

[math] \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a c}{b d} [/math]

Division

[math] \frac{a}{b} / \frac{c}{d} = \frac{a} {b} \cdot \frac{d}{ c} = \frac{a d} {b c} [/math]


Aktivitet

Uppgift

Gör ett eget exempel på multiplikation eller division av rationella uttryck.


Lär mer


20px-Tango style Wikipedia Icon.svg.png
Wikipedia Rational function


En liten repetitionsuppgift hinner vi också

Den här uppgiften rundar av det förra avsnittet om faktorisering av polynom med en liten knorr.

Uppgift

Finns det två olika tal x så funktionen [math] y = x^2+x+1 [/math] får samma funktionsvärde?”


Testa dina kunskaper

Som vanligt ett minitest

Öva!


Förenkling genom faktorisering - Wolfram Alpha

Det vi gör för hand när vi räknar i boken är nyttig träning i algebra och något du behöver kunna till exempel på nationella provet. Men ibland är problemen inte så tillrättalagda och om syftet är att lösa ett problem där förenklingen bara är ett steg på vägen så använder matematiker och ingenjörer digitala verktyg. WolframAplpha är ett av det bästa så vi passar på att träna detta inför lektionen.

Syfte

Target 10 points.svg
Mål för undervisningen

Pröva hur Wolfram Alpha gör med rationella uttryck.


Övning 1

[math] \frac{2x-4x^2}{1-2x} \ [/math]


Den här kan du klippa in i Wolfram Alpha: (2x-4x^2)/(1-2x)
  1. Vad blir svaret?
  2. Hur ser grafen ut?
  3. Vad har funktionen för nollställer?
  4. Har den någon asymptot?
  5. Räkna för hand och se att det stämmer.

Övning 2

[math] \frac{2x-5x^2}{1-2x} \ [/math]


Den här kan du klippa in i Wolfram Alpha: (2x-5x^2)/(1-2x)

Repetition

Lektion 7 - Faktorer, rötter och nollställen

Fördjupning rationella uttryck

  1. Wolfram gör polynomdivision, vad är det? Tips: Quotient and remainder:Step-by-step solution
  2. Vad blir resultatet?
  3. Beskriv Grafen