Andragradsekvationer

Teori

Exempel

En sammanfattning

Uppgifter

Programmering

Aktivitet

Tävning

Öva val av metod

GGB - Grafisk lösning

GGB - funktion

Problemlösning

Lär mer

[redigera]

Fullständiga andragradsekvationer

pq-formeln - Förklaring

Load video

YouTube

YouTube might collect personal data. Privacy Policy

ContinueDismiss

Mario om nyttan med andragradsekvationer.

En generell beskrivning av en andragradsekvation ser ut så här:

[math]\displaystyle{ x^2 + px + q = 0 }[/math]

där p och q är tal (siffror) i den speciella ekvationen.

Den allmänna ekvationen har lösningen:

[math]\displaystyle{ x=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} }[/math]

Om du vill lösa en ekvation behöver du bara ta reda på vad p och q motsvaras av i din ekvation och sedan sätter du in dessa siffror i formeln ovan.

Tänk på att det inte ska stå någor framför [math]\displaystyle{ x^2 }[/math]-termen

Uttrycket inom rottecknet kallas ekvationens diskriminant.

Rötterna

Vi utgår från andragradsekvationen på standardform:

[math]\displaystyle{ ax^2+bx+c = 0 }[/math]

Lösningen till andragradsekvatoner kallas rötter. Andragradsekvationer kan ha två rötter, en dubbelrot eller komplexa rötter (icke-reel lösning).

A: Två skärningspunkter, två reella rötter
B: En skärningspunkt, en reell dubbelrot
C: Ingen skärningspunkt, rötterna komplexa

Att lösa en andragradsekvation med reella koefficienter motsvaras av att finna skärningspunkterna för parabeln

[math]\displaystyle{ y=x^2 }[/math]

och den räta linje|räta linjen

[math]\displaystyle{ y = k\,x + m }[/math]

vars riktningskoefficient k är -b/a och som skär y-axeln i punkten (0, m), där m = -c/a. Andragradsekvationen kan därför skrivas som ett ekvationssystem:

[math]\displaystyle{ \begin{cases}y=x^2 \\y=-\cfrac{b}{a} \ x - \cfrac{c}{a}\end{cases} }[/math]

Om skärningspunkter saknas har ekvationssystemet endast komplexa lösningar.

En andragradsekvation har, i enlighet med algebrans fundamentalsats, alltid två lösningar, som är reella eller komplexa tal, beroende på ekvationens koefficienter:

• [math]\displaystyle{ x^2 + 2x + 1 = 0 }[/math]

har två lösningar som är identiska reella tal (dubbelrot)

• [math]\displaystyle{ x^2+2x-1=0 }[/math]

har två reella lösningar

• [math]\displaystyle{ x^2 + 2x + 2 = 0 }[/math]

har två lösningar som är komplexa tal

Ekvationens diskriminant avgör vilket av de tre fallen som gäller.

Delar av texten i detta avsnitt kommer från Wikipedia

[redigera]

pq-formeln - Exempel

Exempel
pq-formeln på standardandragradsekvation [math]\displaystyle{ x^2+4x-5=0 }[/math] [math]\displaystyle{ x=-\frac{4}{2} \pm \sqrt{(\frac{4}{2})^2+5} }[/math] [math]\displaystyle{ x=-2 \pm \sqrt{(2)^2+5} }[/math] [math]\displaystyle{ x=-2 \pm \sqrt{4+5} }[/math] [math]\displaystyle{ x=-2 \pm 3 }[/math] [math]\displaystyle{ x_1=-2 + 3=1 }[/math] [math]\displaystyle{ x_2=-2 - 3=-5 }[/math]

Exempel

pq-formeln på knepigare ragradsekvation [math]\displaystyle{ 3x^2-9x=12 }[/math] [math]\displaystyle{ 3x^2-9x-12=0 }[/math] [math]\displaystyle{ x^2-3x-4=0 }[/math] [math]\displaystyle{ x=\frac{3}{2} \pm \sqrt{(\frac{3}{2})^2+4} }[/math] [math]\displaystyle{ x=\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}+4} }[/math] [math]\displaystyle{ x=\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}+\frac{16}{4}} }[/math] [math]\displaystyle{ x=\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{4}} }[/math] [math]\displaystyle{ x=\frac{3}{2} \pm \frac{5}{2} }[/math] [math]\displaystyle{ x_1=\frac{3}{2} - \frac{5}{2}=-\frac{2}{2}= -1 }[/math] [math]\displaystyle{ x_2=\frac{3}{2} + \frac{5}{2}=\frac{8}{2}=4 }[/math]

Faktorisering för att lösa andragradsekvationer

Exempel
Lös ekvationen [math]\displaystyle{ x^2+7x+12=0 }[/math] Hitta faktorerna [math]\displaystyle{ (x+3)(x+4)=0 }[/math] Rötterna ges av nollproduktmetoden [math]\displaystyle{ x_1=-4, \qquad x_2=-3 }[/math]

[redigera]

[redigera]

Klurig uppgift

Uppgift
Ekvationen [math]\displaystyle{ ( x+3)(x-4) = 0 }[/math] har rötterna [math]\displaystyle{ x=-3 }[/math] och [math]\displaystyle{ x=4. }[/math] Förklara hur du vet det. Multiplicera nu ihop faktorerna och lös ekvationen med pq-formeln. Vad visar denna övning?

Uppgiftsblad

[redigera]

Pythonlösning

Dataövning

• Dataövning - konsekutiva tal

[redigera]

Hur det började

Den här behöver man fundera på en stund.

How AlKhawarizmi Solved Quadratic Equation

eller Quadratic equations in early Baghdad

GGB-bok

Bläddra igenom den här GeoGebraboken och få en överblick över hur andragradsekvationer fungerar

https://ggbm.at/drMyunCX

[redigera]

Matematikdueller

Uppgift
Matematikduellernas uppgifter är hemliga Så går duellerna till Men så här går de till: Kval Grundomgång Finaler

[redigera]

Öva strategier med denna fina övning med facit: andragradsekvationer alla metoder av Svetlana och Anders.

[redigera]

[redigera]

Förstå rötterna grafiskt

Hela konnstruktionen finns här (med frågor och diskussioner).

[redigera]

[redigera]

• Problemlösning med ekvationer

• Repetition inför prov Algebra Ma2C
• Facit och bedömning: Christers bedömningsmall från mellandagen bör finnas här. Lösningen är till Prov 1 ver 4 (2013). Lägg på SlideShare.
• Diagnos 2 med pq-formeln

rs-formeln

rs-formeln är en variant av pq-formeln:

[math]\displaystyle{ x^2 = rx + s }[/math]

ger

[math]\displaystyle{ x = \frac{r}{2} \pm \sqrt{(\frac{r}{2})^2+s} }[/math]

(Färre minustecken.)

Kan du förklara hur rs-formeln funkar?

Lär dig begreppen på engelska

Genom att se PowerPointen till höger blir du bättre på att lösa andragradsekvationer genom faktorisering.

Rs solving graphingquadraticequation

Välja lämplig metod för att lösa en andragradsekvation

Se två filmer med Michael Bondestam

Load video

YouTube

YouTube might collect personal data. Privacy Policy

ContinueDismiss

Load video

YouTube

YouTube might collect personal data. Privacy Policy

ContinueDismiss

Exit ticket