Andragradsekvationer
- Teori
- Exempel
- Uppgifter
- Programmering
- Aktivitet
- Tävning
- Öva val av metod
- GGB - Grafisk lösning
- GGB - funktion
- Problemlösning
- Lär mer
Fullständiga andragradsekvationer
pq-formeln - Förklaring
En generell beskrivning av en andragradsekvation ser ut så här:
- [math] x^2 + px + q = 0 [/math]
där p och q är tal (siffror) i den speciella ekvationen.
Den allmänna ekvationen har lösningen:
- [math] x=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} [/math]
Om du vill lösa en ekvation behöver du bara ta reda på vad p och q motsvaras av i din ekvation och sedan sätter du in dessa siffror i formeln ovan.
Tänk på att det inte ska stå någor framför [math]x^2 [/math]-termen
Uttrycket inom rottecknet kallas ekvationens diskriminant.
Rötterna
Lösningen till andragradsekvatoner kallas rötter. Andragradsekvationer kan ha två rötter, en dubbelrot eller komplexa rötter (icke-reel lösning).
Att lösa en andragradsekvation med reella koefficienter motsvaras av att finna skärningspunkterna för parabeln
- [math]y=x^2[/math]
och den räta linje|räta linjen
- [math]y = k\,x + m[/math]
vars riktningskoefficient k är -b/a och som skär y-axeln i punkten (0, m), där m = -c/a. Andragradsekvationen kan därför skrivas som ett ekvationssystem:
- [math] \begin{cases}y=x^2 \\y=-\cfrac{b}{a} \ x - \cfrac{c}{a}\end{cases} [/math]
Om skärningspunkter saknas har ekvationssystemet endast komplexa lösningar.
En andragradsekvation har, i enlighet med algebrans fundamentalsats, alltid två lösningar, som är reella eller komplexa tal, beroende på ekvationens koefficienter:
- [math]x^2 + 2x + 1 = 0[/math]
- har två lösningar som är identiska reella tal (dubbelrot)
- [math]x^2+2x-1=0[/math]
- har två reella lösningar
- [math]x^2 + 2x + 2 = 0[/math]
- har två lösningar som är komplexa tal
Ekvationens diskriminant (se nedan) avgör vilket av de tre fallen som gäller.
Delar av texten i detta avsnitt kommer från Wikipedia
pq-formeln - Exempel
Exempel |
---|
pq-formeln på standardandragradsekvation
|
Exempel |
---|
pq-formeln på knepigare ragradsekvation
|
Faktorisering för att lösa andragradsekvationer
Exempel |
---|
Lös ekvationen
Hitta faktorerna
Rötterna ges av nollproduktmetoden
|
Hur det började
Den här behöver man fundera på en stund.
GGB-bok
Bläddra igenom den här GeoGebraboken och få en överblick över hur andragradsekvationer fungerar
Öva strategier med denna fina övning med facit: andragradsekvationer alla metoder av Svetlana och Anders.
|
|
|
- Repetition inför prov Algebra Ma2C
- Facit och bedömning: Christers bedömningsmall från mellandagen bör finnas här. Lösningen är till Prov 1 ver 4 (2013). Lägg på SlideShare.
- Diagnos 2 med pq-formeln
rs-formeln
rs-formeln är en variant av pq-formeln:
- [math]x^2 = rx + s[/math]
ger
- [math]x = \frac{r}{2} \pm \sqrt{(\frac{r}{2})^2+s}[/math]
(Färre minustecken.)
Kan du förklara hur rs-formeln funkar?
Lär dig begreppen på engelska
Genom att se PowerPointen till höger blir du bättre på att lösa andragradsekvationer genom faktorisering.
Rs solving graphingquadraticequation
Välja lämplig metod för att lösa en andragradsekvation
Se två filmer med Michael Bondestam