Här undersöker vi ekvationssystem med två eller tre obekanta. Vi kommer att lära oss lösa ekvationssytem grafiskt, med substitutuin samt med additions- och subtraktionsmetoden.
En ekvation består av minst en obekant, ett likhetstecken, vänster led och höger led. Om det finns två obekanta behövs två ekvationer för att det ska gå att ta fram en lösning. Det kallas ekvationssystem.
Vad innebär det att två linjer skär varandra? Jo de har samma x-värden och y-värden.
Nedan och till höger ser du ett ekvationssystem:
Här har vi två ekvationer. Det är ekvationer med x och y. Var och en är en ekvation för en rät linje. De har skrivits på en form där variablerna (x och y) står till vänster och numeriska värdena (siffrorna) till höger.
Ekvationerna har döpts med ett nyummer som skrivs inom parentes, (1) och (2). Vi döper ekvationerna för att kunna beskriva hur vi jobbar med dem.
Det kallas för ett ekvationssytem: Wikipedia skriver om Ekvationssystem
Man kan lösa ekvationssystem och få fram vilken punkt som gäller för båda ekvationerna. man kan lösa detta algebraiskt eller grafiskt.
Ett annat namn för ersättningsmetoden är substitutionsmetoden.
Substitutionsmetoden fungerar så att om man har en variabel ensam i VL så kan man ta det som finns i HL och sätta in i den andra ekvationen. Om vi exempelvis har y fritt så tar vi det y är lika med ochersätter y med det i den andra ekvationen.
Additionsmetoden kan användas för att lösa ett ekvationssystem med två ekvationer och två obekanta variabler x och y. Man måste då eliminera en av de obekanta variaberna genom att multiplicera ekvationerna med lämpliga tal så att antingen x eller y försvinner om man adderar ekvationerna.
Additionsmetodden bygger på att två ekvationer kan adderas så att [math]\displaystyle{ VL_1+ VL_2 = HL_1 + HL_2 }[/math]
Ekvationer kan manipuleras på olika sätt.
Fråga?
Kan man addera så att en variabel försvinner?
Addera två ekvationer så att x går bort. Ordna så att y är fritt. Vad innebär det för y? En punkt med x y som satisfierar båda originallektionerna.
Test: Rita båda ekvationerna i Ggb.
Ekvationssytemets lösning är ju skärningspunkten mellan två grafer. Om linjerna är parallella saknas det lösning. Du ser det algebraiskt genom att dina ekvationer (funktioner) har samma k-värde.
I specialfallet med samma k-värde och samma m-värde har ekvationssystemet oändligt många lösningar.
Ekvationssystem med tre obekanta och tre ekvationer löses genom att reducera det till ett ekvationssystem med två obekanta. Använd additionsmetoden med en av ekvationerna (exempelvis den första) för att ta bort en variabel (förslagsvis z) ur de två andra. Dessa två bildar ett nytt ekvationssystem som du kan lösa på vanligt sätt.
Ibland stöter du på enklare ekvationssytem med tre obekanta där du ser enklare vägar att lösa dem men så är inte alltid fallet.
Självfallet kan du använda substitutionsmetoden för att reducera ner ekvationssystemet till två obekanta men det leder ofta till krångligare beräkningar när det gäller skoluppgifter.
Bestäm skärningspunkterna för linjerna [math]\displaystyle{ x + y {{=}} 1\, }[/math] och [math]\displaystyle{ x - y {{=}} 1 \, }[/math], med andra ord, sök en lösning till ekvationssystemet
Första steget är att reducera de två ekvationerna med de två obekanta till en ekvation som endast innehåller en obekant. Detta kan göras genom att skriva om ekvation (2) till
Genom att sätta in detta värde på y i ekvation (1) övergår ekvation (1) till
Denna ekvation har lösningen [math]\displaystyle{ x = 1. }[/math] Då [math]\displaystyle{ y = x-1, }[/math] följer att [math]\displaystyle{ y = 0. }[/math]
Det finns därför bara en skärningspunkt för de två linjerna (1) och (2): den punkt vars x-koordinat är x = 1 och vars y-koordinat är y = 0.
Media: Ekvationssystem2 substi.pdf (Ladda gärna ner och öppna i Acrobat Reader).
Media: Ekvationssystem2_substiPP2.pptx
Om y-värdena är lika i skärningspunkten kan vi göra lika dant algebraiskt:
eller
det betyder att vi kan sätta:
Nu kan vi lösa ut x genom att samla termerna:
Sätt in [math]\displaystyle{ x = 5 }[/math] i [math]\displaystyle{ (1) }[/math] ger [math]\displaystyle{ y =3 }[/math]
Om man vill eliminera x kan man multiplicera den övre ekvationen med [math]\displaystyle{ -2 }[/math].Det ger då att
Om man sedan adderar vänsterleden och högerleden får man att
Det ger att
Om man löser ut y får man att [math]\displaystyle{ y = 3 }[/math]. Man kan sedan sätta in detta y i en av de ursprungliga ekvationerna. Om man väljer den första får man att
och det ger att [math]\displaystyle{ x = 2 }[/math]. Lösningen till ekvationssystemet blir
Källa: Wikipedia
Summan av två tal är 38 och differensen mellan talen är 14. Vilka är talen?
Lösning:
Addera (1) och (2) ger:
Klicka på länken för att se lektionsanteckningar.
Media:EkvationssystemGemensammaUppgifter.pdf
Den första uppgiften nedan löstes med framgång. I den andra uppgiften användes först additionsmetoden och därefter användes substitutionsmetoden med framgång. Båda metoderna fungerar men de kan leda till olika krångliga lösningar.
Media:Repetition_och_genomgång_av_prov.pdf
Lös ekvationssystemet:
Ekvationssystemet
har lösningen y = -11/9 men vilket värde har x?
Uppgift
Om 6x + 7 y = 2a så har uttrycket 6x + 7 y - 9 värdet 11. Bestäm a.
har lösningen x = 7 och y = 2. Vilka värden har a och b.
Lös ekvationssystemet
Det var en gång 2 stycken skolklasser som skulle äta mellanmål på en hamburgerrestaurang. De får endast välja på två olika alternativ: pommes eller kycklingburgare eftersom eleverna är flexitarianer.
Först får första klassen beställa mat. De beställer 21 pommes och 8 kycklingburgare. Alla har samma storlek.
Sedan beställer den andra klassen 14 pommes och 19 kycklingburgare.
Lärarna får 2 kvitton på vilka det står menyns totala utsläpp av koldioxidekvivalenter.
Klass 1 släpper ut 3.7 kg CO2ekv Klass 2 släpper ut 5.2 kg CO2ekv
Hur mycket CO2ekv släpper en pommes respektive en kycklingburgare ut?
Lös ekvationssystemet du ser i bilden till höger algebraiskt.
När du gör denna övning så ser du skillnaderna (och likheterna): Typtal Ekvationssystem
# Här ska du skriv vad programmet gör # Matematiklärarna tackar Victor och Sven för grovjobbet till detta program print("Detta program är skrivet av Victor Axberg och Sven Kvarngren\n") def getValues(): # Tala om vad händer 9 raderna nedan print("Ekvation 1:\nAy + Bx + C = 0\n") A = float(input("Skriv in A-värdet:\n")) B = float(input("Skriv in B-värdet:\n")) C = float(input("Skriv in C-värdet:\n")) print("\nEkvation 2:\nDy + Ex + F = 0\n") D = float(input("Skriv in D-värdet:\n")) E = float(input("Skriv in E-värdet:\n")) F = float(input("Skriv in F-värdet:\n")) # Förklara de 4 raderna nedan k1 = -B/A m1 = -C/A k2 = -E/D m2 = -F/D # Kör funktionen som heter findIntersection med variablerna k1, m1, k2 och m2 findIntersection(k1,m1,k2,m2) def findIntersection(k1,m1,k2,m2): # Förklara vad funktionen findIntersection gör # Förklara även vilken matematisk metod för att lösa ekvationssystem som används x = (m2-m1)/(k1-k2) y = k1*x + m1 print("skärningen sker vid: ("+str(x)+", "+str(y)+")") # Kör funktionen som heter getValues getValues()
Vilken metod tycker du är bäst, additionsmetoden eller ersättningsmetoden?
I denna uppgift kan du använda glidarna för att lösa tre uppgifter.
Lös de tre uppgifterna som finns på denna sida i GeoGebraTube.
Kommentar: Vid testning verkar det saknas glidare för högerledet i ekvationerna.
Samma dag som Eva fyllde 40 år födde hon sin son Leo. Om sju år är Leo en tredjedel så gammal som Eva. Leo faktoriserar sin mormor Ingeborgs ålder och kommer fram till att hon är 2*2*(hans ålder + 10).
Hur gammal är Ingeborg?
Lista: (klicka expandera till höger)
Det finns en GeoGebra med uppgifter,
Veckodiagnos 18
Prov kap 2 Geometri, räta linjen och ekvationssystem
Pröva gärna att lösa ekvationssystem i GeoGebra.
Använd kommandot Solve och prova gärna 3D-modulen för treekvationerssystem.
Exempel:
Ovanstående fungerar (fungerade i alla fall 2019) i graphic mode men om du går in på Classic CAS så kan du lösa ekvationssystem med två ekvationer. https://www.geogebra.org/classic/cas
Ekvationslösning med CAS kan se ut så här:
När SMHI gör väderprognoser använder de stora ekvationssystem med differentialekvationer. Det är komplicerad matematik men en intressant tillämpning i verkligheten av den matematik vi övar på nu.
SMHI