Andragradsekvationer: Skillnad mellan sidversioner
Hoppa till navigering
Hoppa till sök
Hakan (diskussion | bidrag) |
Hakan (diskussion | bidrag) |
||
| (33 mellanliggande sidversioner av samma användare visas inte) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
__NOTOC__ | __NOTOC__ | ||
=Teori= | =Teori= | ||
| Rad 25: | Rad 26: | ||
Tänk på att det inte ska stå någor framför <math>x^2 </math>-termen | Tänk på att det inte ska stå någor framför <math>x^2 </math>-termen | ||
Uttrycket inom rottecknet kallas ekvationens '''diskriminant'''. | |||
== Rötterna == | |||
Vi utgår från andragradsekvationen på standardform: | |||
: <math> ax^2+bx+c = 0</math> | |||
Lösningen till andragradsekvatoner kallas rötter. Andragradsekvationer kan ha två rötter, en dubbelrot eller komplexa rötter (icke-reel lösning). | |||
[[File:SolutionsToQuadraticEquation-1.png|thumb| | |||
'''A:''' Två skärningspunkter, två reella rötter<br>'''B:''' En skärningspunkt, en reell dubbelrot<br>'''C:''' Ingen skärningspunkt, rötterna komplexa]] | |||
Att lösa en andragradsekvation med reella koefficienter motsvaras av att finna skärningspunkterna för parabeln | |||
:<math>y=x^2</math> | |||
och den räta linje|räta linjen | |||
:<math>y = k\,x + m</math> | |||
vars riktningskoefficient ''k'' är ''-b/a'' och som skär ''y''-axeln i punkten (''0, m''), där ''m = -c/a''. Andragradsekvationen kan därför skrivas som ett [[Ekvationssystem_Ma2c|ekvationssystem]]: | |||
:<math> | |||
\begin{cases}y=x^2 \\y=-\cfrac{b}{a} \ x - \cfrac{c}{a}\end{cases} | |||
</math> | |||
Om skärningspunkter saknas har ekvationssystemet endast komplexa lösningar. | |||
En andragradsekvation har, i enlighet med algebrans fundamentalsats, alltid två lösningar, som är reella eller komplexa tal, beroende på ekvationens koefficienter: | |||
* <math>x^2 + 2x + 1 = 0</math> | |||
:har två lösningar som är identiska reella tal (dubbelrot) | |||
* <math>x^2+2x-1=0</math> | |||
:har två reella lösningar | |||
* <math>x^2 + 2x + 2 = 0</math> | |||
:har två lösningar som är komplexa tal | |||
Ekvationens ''diskriminant'' avgör vilket av de tre fallen som gäller. | |||
''Delar av texten i detta avsnitt kommer från [https://sv.wikipedia.org/wiki/Andragradsekvation Wikipedia]'' | |||
= Exempel = | = Exempel = | ||
| Rad 54: | Rad 88: | ||
: <math>x_2=\frac{3}{2} + \frac{5}{2}=\frac{8}{2}=4</math> | : <math>x_2=\frac{3}{2} + \frac{5}{2}=\frac{8}{2}=4</math> | ||
}} | }} | ||
===Faktorisering för att lösa andragradsekvationer=== | ===Faktorisering för att lösa andragradsekvationer=== | ||
| Rad 81: | Rad 100: | ||
}} | }} | ||
= | = En sammanfattning = | ||
Programmering = | <pdf>Fil:Andragradsekvationer_sammanfattning.pdf</pdf> | ||
= Uppgifter = | |||
== Klurig uppgift == | |||
{{uppgruta| | |||
Ekvationen <math>( x+3)(x-4) = 0</math> | |||
har rötterna <math> x=-3 </math> och <math> x=4.</math> | |||
Förklara hur du vet det. | |||
Multiplicera nu ihop faktorerna och lös ekvationen med pq-formeln. | |||
Vad visar denna övning? | |||
}} | |||
== Uppgiftsblad == | |||
<pdf>File:Övning_pq2.pdf</pdf> | |||
= Programmering = | |||
===Pythonlösning=== | ===Pythonlösning=== | ||
| Rad 89: | Rad 130: | ||
{{clear}} | {{clear}} | ||
== Dataövning = | == Dataövning == | ||
*[[Dataövning - konsekutiva tal]] | *[[Dataövning - konsekutiva tal]] | ||
= Aktivitet = | |||
===Hur det började=== | ===Hur det började=== | ||
Den här behöver man fundera på en stund. | Den här behöver man fundera på en stund. | ||
| Rad 103: | Rad 147: | ||
Bläddra igenom den här GeoGebraboken och få en överblick över hur andragradsekvationer fungerar | Bläddra igenom den här GeoGebraboken och få en överblick över hur andragradsekvationer fungerar | ||
:https://ggbm.at/drMyunCX | : https://ggbm.at/drMyunCX | ||
= Tävning = | = Tävning = | ||
===Matematikdueller=== | === Matematikdueller === | ||
{{uppgruta| Matematikduellernas uppgifter är hemliga | {{uppgruta| Matematikduellernas uppgifter är hemliga | ||
| Rad 137: | Rad 165: | ||
}} | }} | ||
= | = Öva val av metod = | ||
Öva strategier med denna fina övning med facit: [https://www.geogebra.org/m/CCtqSQU5 andragradsekvationer alla metoder] av Svetlana och Anders. | |||
<html> | |||
<iframe scrolling="no" title="" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/CCtqSQU5/width/1233/height/608/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="1233px" height="608px" style="border:0px;"> </iframe> | |||
</html> | |||
= GGB - Grafisk lösning = | |||
<html> | |||
<iframe scrolling="no" title="Andragradsekvation med grafisk lösning" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/kmeg9yyb/width/857/height/581/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="857px" height="581px" style="border:0px;"> </iframe> | |||
</html> | |||
= GGB = | = GGB - funktion = | ||
===Förstå rötterna grafiskt=== | ===Förstå rötterna grafiskt=== | ||
| Rad 163: | Rad 188: | ||
[https://www.geogebra.org/m/M7qzyh9M Hela konnstruktionen finns här] (med frågor och diskussioner). | [https://www.geogebra.org/m/M7qzyh9M Hela konnstruktionen finns här] (med frågor och diskussioner). | ||
= Problemlösning = | |||
<pdf>Fil:Fru_Anderssonska_hägn2.pdf</pdf> | |||
=Lär mer= | =Lär mer= | ||
| Rad 170: | Rad 199: | ||
|{{sway | [https://sway.com/FTDCByRbfHyodx4y?ref{{=}}Link Andragradskvationer]}}<br /> | |{{sway | [https://sway.com/FTDCByRbfHyodx4y?ref{{=}}Link Andragradskvationer]}}<br /> | ||
|- | |- | ||
|{{ | |{{wplink| [https://sv.wikipedia.org/wiki/Andragradsekvation Andragradsekvationer] }}<br /> | ||
|- | |- | ||
|{{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-2/andragradsekvationer/andragradsekvationer | |{{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-2/andragradsekvationer/andragradsekvationer Andragradsekvation] }}<br /> | ||
|} | |} | ||
Nuvarande version från 15 maj 2020 kl. 09.17