Andragradsekvationer: Skillnad mellan sidversioner

VisuellWikitext

Nuvarande version från 15 maj 2020 kl. 09.17

[redigera]

Mål för undervisningen Andragradsekvationer

Du kommer att lära dig lösa andragradsekvationer med hjälp av den mytomspunna pq-formeln.

Fullständiga andragradsekvationer

pq-formeln - Förklaring

Mario om nyttan med andragradsekvationer.

En generell beskrivning av en andragradsekvation ser ut så här:

[math]\displaystyle{ x^2 + px + q = 0 }[/math]

där p och q är tal (siffror) i den speciella ekvationen.

Den allmänna ekvationen har lösningen:

[math]\displaystyle{ x=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} }[/math]

Om du vill lösa en ekvation behöver du bara ta reda på vad p och q motsvaras av i din ekvation och sedan sätter du in dessa siffror i formeln ovan.

Tänk på att det inte ska stå någor framför [math]\displaystyle{ x^2 }[/math]-termen

Uttrycket inom rottecknet kallas ekvationens diskriminant.

Rötterna

Vi utgår från andragradsekvationen på standardform:

[math]\displaystyle{ ax^2+bx+c = 0 }[/math]

Lösningen till andragradsekvatoner kallas rötter. Andragradsekvationer kan ha två rötter, en dubbelrot eller komplexa rötter (icke-reel lösning).

A: Två skärningspunkter, två reella rötter
B: En skärningspunkt, en reell dubbelrot
C: Ingen skärningspunkt, rötterna komplexa

Att lösa en andragradsekvation med reella koefficienter motsvaras av att finna skärningspunkterna för parabeln

[math]\displaystyle{ y=x^2 }[/math]

och den räta linje|räta linjen

[math]\displaystyle{ y = k\,x + m }[/math]

vars riktningskoefficient k är -b/a och som skär y-axeln i punkten (0, m), där m = -c/a. Andragradsekvationen kan därför skrivas som ett ekvationssystem:

[math]\displaystyle{ \begin{cases}y=x^2 \\y=-\cfrac{b}{a} \ x - \cfrac{c}{a}\end{cases} }[/math]

Om skärningspunkter saknas har ekvationssystemet endast komplexa lösningar.

En andragradsekvation har, i enlighet med algebrans fundamentalsats, alltid två lösningar, som är reella eller komplexa tal, beroende på ekvationens koefficienter:

[math]\displaystyle{ x^2 + 2x + 1 = 0 }[/math]

har två lösningar som är identiska reella tal (dubbelrot)

[math]\displaystyle{ x^2+2x-1=0 }[/math]

har två reella lösningar

[math]\displaystyle{ x^2 + 2x + 2 = 0 }[/math]

har två lösningar som är komplexa tal

Ekvationens diskriminant avgör vilket av de tre fallen som gäller.

Delar av texten i detta avsnitt kommer från Wikipedia

[redigera]

pq-formeln - Exempel

Exempel
pq-formeln på standardandragradsekvation [math]\displaystyle{ x^2+4x-5=0 }[/math] [math]\displaystyle{ x=-\frac{4}{2} \pm \sqrt{(\frac{4}{2})^2+5} }[/math] [math]\displaystyle{ x=-2 \pm \sqrt{(2)^2+5} }[/math] [math]\displaystyle{ x=-2 \pm \sqrt{4+5} }[/math] [math]\displaystyle{ x=-2 \pm 3 }[/math] [math]\displaystyle{ x_1=-2 + 3=1 }[/math] [math]\displaystyle{ x_2=-2 - 3=-5 }[/math]

Exempel

pq-formeln på knepigare ragradsekvation

[math]\displaystyle{ 3x^2-9x=12 }[/math]

[math]\displaystyle{ 3x^2-9x-12=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ x^2-3x-4=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ x=\frac{3}{2} \pm \sqrt{(\frac{3}{2})^2+4} }[/math]

[math]\displaystyle{ x=\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}+4} }[/math]

[math]\displaystyle{ x=\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}+\frac{16}{4}} }[/math]

[math]\displaystyle{ x=\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{4}} }[/math]

[math]\displaystyle{ x=\frac{3}{2} \pm \frac{5}{2} }[/math]

[math]\displaystyle{ x_1=\frac{3}{2} - \frac{5}{2}=-\frac{2}{2}= -1 }[/math]

[math]\displaystyle{ x_2=\frac{3}{2} + \frac{5}{2}=\frac{8}{2}=4 }[/math]

Faktorisering för att lösa andragradsekvationer

Exempel

Lös ekvationen

[math]\displaystyle{ x^2+7x+12=0 }[/math]

Hitta faktorerna

[math]\displaystyle{ (x+3)(x+4)=0 }[/math]

Rötterna ges av nollproduktmetoden

[math]\displaystyle{ x_1=-4, \qquad x_2=-3 }[/math]

[redigera]

Klurig uppgift

Uppgift

Ekvationen [math]\displaystyle{ ( x+3)(x-4) = 0 }[/math]

har rötterna [math]\displaystyle{ x=-3 }[/math] och [math]\displaystyle{ x=4. }[/math]

Förklara hur du vet det.

Multiplicera nu ihop faktorerna och lös ekvationen med pq-formeln.

Vad visar denna övning?

Uppgiftsblad

[redigera]

Pythonlösning

Programmeringsuppgift

Andragradsekvation Python

Dataövning

Dataövning - konsekutiva tal

[redigera]

Hur det började

Den här behöver man fundera på en stund.

How AlKhawarizmi Solved Quadratic Equation

eller Quadratic equations in early Baghdad

GGB-bok

Bläddra igenom den här GeoGebraboken och få en överblick över hur andragradsekvationer fungerar

https://ggbm.at/drMyunCX

[redigera]

Matematikdueller

Uppgift

Matematikduellernas uppgifter är hemliga

Men så här går de till:

Kval

Grundomgång

Finaler

[redigera]

Öva strategier med denna fina övning med facit: andragradsekvationer alla metoder av Svetlana och Anders.

[redigera]

Förstå rötterna grafiskt

Hela konnstruktionen finns här (med frågor och diskussioner).

[redigera]

Swayen till detta avsnitt: Andragradskvationer
Wikipedia Andragradsekvationer
Läs om Andragradsekvation

Problemlösning med ekvationer

Repetition inför prov Algebra Ma2C
Facit och bedömning: Christers bedömningsmall från mellandagen bör finnas här. Lösningen är till Prov 1 ver 4 (2013). Lägg på SlideShare.
Diagnos 2 med pq-formeln

Du kan printa denna! Snabbdiagnos 2

rs-formeln

rs-formeln är en variant av pq-formeln:

[math]\displaystyle{ x^2 = rx + s }[/math]

ger

[math]\displaystyle{ x = \frac{r}{2} \pm \sqrt{(\frac{r}{2})^2+s} }[/math]

(Färre minustecken.)

Kan du förklara hur rs-formeln funkar?

Lär dig begreppen på engelska

Genom att se PowerPointen till höger blir du bättre på att lösa andragradsekvationer genom faktorisering.

Rs solving graphingquadraticequation

Andragradsekvationer: Skillnad mellan sidversioner

Nuvarande version från 15 maj 2020 kl. 09.17

Fullständiga andragradsekvationer

pq-formeln - Förklaring

Rötterna

pq-formeln - Exempel

Faktorisering för att lösa andragradsekvationer

Klurig uppgift

Uppgiftsblad

Pythonlösning

Dataövning

Hur det började

GGB-bok

Matematikdueller

Förstå rötterna grafiskt

rs-formeln

Lär dig begreppen på engelska

Välja lämplig metod för att lösa en andragradsekvation

Se två filmer med Michael Bondestam

Exit ticket

Navigeringsmeny

@@ Rad 1: / Rad 1: @@
+__NOTOC__
+=Teori=
 {{malruta | '''Andragradsekvationer'''
 Du kommer att lära dig lösa andragradsekvationer med hjälp av den mytomspunna pq-formeln. }}
-== Teori ==
+===Fullständiga andragradsekvationer===
+====pq-formeln - Förklaring====
+{{#ev:youtube|goYnB61nrjg|400|right|Mario om nyttan med andragradsekvationer.}}
+En generell beskrivning av en andragradsekvation ser ut så här:
-=== Enkla andragradsekvationer ===
+:<math> x^2 + px + q = 0 </math>
-{{#ev:youtube| Aa7M6Vzs71U|400|right}}
+där ''p'' och ''q'' är tal (siffror) i den speciella ekvationen.
-Av Daniel Barker.
-Även nu har vi att göra med andragradsekvationer som är enkla fall av den fullständiga ekvationen.
+Den allmänna ekvationen har lösningen:
-Antingen förkortas x-termerna bort så att man får '''kvadrattermer''' kvar att ta roten ur
+:<math> x=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} </math>
-eller
+Om du vill lösa en ekvation behöver du bara ta reda på vad p och q motsvaras av i din ekvation och sedan sätter du in dessa siffror i formeln ovan.
-så har man ett kvadraten på ett '''binom''' (ett parentesuttryck upphöjt till två) som man tar roten ur.
+Tänk på att det inte ska stå någor framför <math>x^2 </math>-termen
-Det blir inga imaginära tal eller komplexa rötter i detta avsnitt.
+Uttrycket inom rottecknet kallas ekvationens '''diskriminant'''.
-{{exruta| '''Kvadratterm och binom'''
+== Rötterna ==
-Kvadratterm:
+Vi utgår från andragradsekvationen på standardform:
-: <math>2x^2=50</math>
-: <math>x^2=25</math>
-: <math>x=\pm 5</math>
-Binom
+: <math> ax^2+bx+c = 0</math>
-: <math>(x-7)^2=64</math>
-: <math>(x-7)=\pm 8</math>
-: <math>(x-7)= +8</math> eller <math>(x-7)= -8</math>
-: <math>x= 15</math> eller <math>x= -1</math>
-}}
-=== Dubbelrot ===
+Lösningen till andragradsekvatoner kallas rötter. Andragradsekvationer kan ha två rötter, en dubbelrot eller komplexa rötter (icke-reel lösning).
-{{exruta|
+[[File:SolutionsToQuadraticEquation-1.png|thumb|
-: <math>(x-7)^2=0</math> ger dubbelroten
+'''A:''' Två skärningspunkter, två reella rötter<br>'''B:''' En skärningspunkt, en reell dubbelrot<br>'''C:''' Ingen skärningspunkt, rötterna komplexa]]
-: <math>x=7</math>
+Att lösa en andragradsekvation med reella koefficienter motsvaras av att finna skärningspunkterna för parabeln
-}}
+:<math>y=x^2</math>
+och den räta linje|räta linjen
+:<math>y = k\,x + m</math>
+vars riktningskoefficient ''k'' är ''-b/a'' och som skär ''y''-axeln i punkten (''0, m''), där ''m = -c/a''. Andragradsekvationen kan därför skrivas som ett [[Ekvationssystem_Ma2c|ekvationssystem]]:
+:<math>
+\begin{cases}y=x^2 \\y=-\cfrac{b}{a} \ x - \cfrac{c}{a}\end{cases}
+</math>
+Om skärningspunkter saknas har ekvationssystemet endast komplexa lösningar.
-=== Nollproduktsmetoden ===
+En andragradsekvation har, i enlighet med algebrans fundamentalsats, alltid två lösningar, som är reella eller komplexa tal, beroende på ekvationens koefficienter:
+* <math>x^2 + 2x + 1 = 0</math>
+:har två lösningar som är identiska reella tal (dubbelrot)
+* <math>x^2+2x-1=0</math>
+:har två reella lösningar
+* <math>x^2 + 2x + 2 = 0</math>
+:har två lösningar som är komplexa tal
+Ekvationens ''diskriminant'' avgör vilket av de tre fallen som gäller.
-Om andragradsekvationen innehåller både kvadratterm och x-term men saknar konstantterm kan man bryta ut x och faktorisera. Om en produkt är lika med noll betyder det att någon av faktorerna är lika med noll.
+''Delar av texten i detta avsnitt kommer från [https://sv.wikipedia.org/wiki/Andragradsekvation Wikipedia]''
-{{exruta| '''Nollproduktsmetoden'''
+= Exempel =
-: <math>x^2-4x=0</math>
+====pq-formeln - Exempel====
-: <math>x(x-4)=0</math>
-: <math>x=0</math> eller <math>x-4=0</math>
-: <math>x=0</math> eller <math>x=4</math>
-}}
-Nollproduktsmetoden ger rötter som är olika.
+{{exruta|pq-formeln på standardandragradsekvation
-=== Ekvationen saknar reella rötter ===
+: <math>x^2+4x-5=0</math>
+: <math>x=-\frac{4}{2} \pm \sqrt{(\frac{4}{2})^2+5}</math>
+: <math>x=-2 \pm \sqrt{(2)^2+5}</math>
+: <math>x=-2 \pm \sqrt{4+5}</math>
+: <math>x=-2 \pm 3</math>
+: <math>x_1=-2 + 3=1</math>
+: <math>x_2=-2 - 3=-5</math>
+}}
+<br>
+{{exruta|pq-formeln på knepigare ragradsekvation
-Vissa andragradsekvationen saknar reella rötter (men det finns rötter som består av komplexa tal).
+: <math>3x^2-9x=12</math>
+: <math>3x^2-9x-12=0</math>
+: <math>x^2-3x-4=0</math>
+: <math>x=\frac{3}{2} \pm \sqrt{(\frac{3}{2})^2+4}</math>
+: <math>x=\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}+4}</math>
+: <math>x=\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}+\frac{16}{4}}</math>
+: <math>x=\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{4}}</math>
+: <math>x=\frac{3}{2} \pm \frac{5}{2}</math>
+: <math>x_1=\frac{3}{2} - \frac{5}{2}=-\frac{2}{2}= -1</math>
+: <math>x_2=\frac{3}{2} + \frac{5}{2}=\frac{8}{2}=4</math>
+}}
-{{exruta| '''Ickereella rötter'''
+===Faktorisering för att lösa andragradsekvationer===
-: <math>x^2=-4</math>
+{{exruta| Lös ekvationen
-: <math>x=\pm \sqrt{-4}</math>
-Det komplexa talet <math>\sqrt{-4}</math> skrivs <math>2 i</math>
+: <math>x^2+7x+12=0 </math>
+Hitta faktorerna
+: <math>(x+3)(x+4)=0</math>
+Rötterna ges av nollproduktmetoden
+: <math>x_1=-4, \qquad x_2=-3</math>
 }}
-=== Fullständiga andragradsekvationer ===
+= En sammanfattning =
-==== pq-formeln - Förklaring====
+<pdf>Fil:Andragradsekvationer_sammanfattning.pdf</pdf>
-{{#ev:youtube|goYnB61nrjg|400|right|Mario om nyttan med andragradsekvationer.}}
+= Uppgifter =
+== Klurig uppgift ==
-En generell beskrivning av en andragradsekvation ser ut så här:
+{{uppgruta|
+Ekvationen <math>( x+3)(x-4) = 0</math>
-: <math> x^2 + px + q = 0 </math>
+har rötterna  <math>  x=-3 </math> och <math>  x=4.</math>
-där ''p'' och ''q'' är tal (siffror) i den speciella ekvationen.
+Förklara hur du vet det.
-Den allmänna ekvationen har lösningen:
+Multiplicera nu ihop faktorerna och lös ekvationen med pq-formeln.
-: <math> x=-p/2 \pm \sqrt{(p/2)^2-q} </math>
+Vad visar denna övning?
+}}
-Om du vill lösa en ekvation behöver du bara ta reda på vad p och q motsvaras av i din ekvation och sedan sätter du in dessa siffror i formeln ovan.
+== Uppgiftsblad ==
+<pdf>File:Övning_pq2.pdf</pdf>
-Tänk på att det inte ska stå någor framför <math>x^2 </math>-termen
+= Programmering =
-=== Härledning av pq-formeln genom kvadratkomplettering ===
+===Pythonlösning===
-{{#ev:youtube|VacSvx3dRhs|340|right}}
-Man kan börja med kvadratkomplettering som en inledande förklaring till pq-formeln men det är lika bra att ge sig på pq-formeln direkt. Sedan kan man gå tillbaks till kvadratkompletteringen för att få ett bevis för att pq-formeln fungerar.
+{{Python|[[Andragradsekvation_Python|Andragradsekvation Python]]}}
-: {{svwp|Kvadratkomplettering}}
-: {{svwp|Andragradsekvation}}
 {{clear}}
-<pdf>Peequu-01022012090823.pdf</pdf>
+== Dataövning ==
-<br>
+*[[Dataövning - konsekutiva tal]]
+= Aktivitet =
+===Hur det började===
-== Aktivitet ==
-=== Hur det började ===
 Den här behöver man fundera på en stund.
-: [https://www.geogebra.org/m/PVUFVf3W  How AlKhawarizmi Solved Quadratic Equation]
-: eller [http://www.geogebratube.org/student/m358 Quadratic equations in early Baghdad]
-=== GGB-bok===
+:[https://www.geogebra.org/m/PVUFVf3W How AlKhawarizmi Solved Quadratic Equation]
+:eller [http://www.geogebratube.org/student/m358 Quadratic equations in early Baghdad]
+===GGB-bok===
 Bläddra igenom den här GeoGebraboken och få en överblick över hur andragradsekvationer fungerar
 : https://ggbm.at/drMyunCX
-=== kan du kvadratkomplettera? ===
-{{uppgruta| '''Lös en andragradsekvation genom kvadratkomplettering''''
+= Tävning =
+=== Matematikdueller ===
+{{uppgruta| Matematikduellernas uppgifter är hemliga
+[[Fil:Pq-spelen.png|200px|höger|Så går duellerna till]]
+Men så här går de till:
+: Kval
+: Grundomgång
+: Finaler
 }}
-==== '''Uppgift:'''  ====
+= Öva val av metod =
+Öva strategier med denna fina övning med facit: [https://www.geogebra.org/m/CCtqSQU5 andragradsekvationer alla metoder] av Svetlana och Anders.
+<html>
+<iframe scrolling="no" title="" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/CCtqSQU5/width/1233/height/608/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="1233px" height="608px" style="border:0px;"> </iframe>
+</html>
+= GGB - Grafisk lösning =
+<html>
+<iframe scrolling="no" title="Andragradsekvation med grafisk lösning" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/kmeg9yyb/width/857/height/581/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="857px" height="581px" style="border:0px;"> </iframe>
+</html>
-{{khanruta|'''Solving Quadratics by facoring'''
+= GGB - funktion =
-Lös dessa [http://www.khanacademy.org/exercise/solving_quadratics_by_factoring Khan, relativt enkla andragradsekvationer]. De kan lösas genom att gissa eller faktorisera.
-Möjligen kan det vara svårt att veta hur de menar att man ska göra på vissa uppgifter. Ta reda på rötterna och faktorisera så går et bra.
+===Förstå rötterna grafiskt===
-}}
+<html>
+<iframe scrolling="no" title="Andragradsekvationer med pq-formeln" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/B4vtTgKP/width/782/height/450/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="782px" height="450px" style="border:0px;"> </iframe>
+</html>
+[https://www.geogebra.org/m/M7qzyh9M Hela konnstruktionen finns här] (med frågor och diskussioner).
-=== Dataövning ===
+= Problemlösning =
-* [[Dataövning - konsekutiva tal]]
+<pdf>Fil:Fru_Anderssonska_hägn2.pdf</pdf>
-== Lär mer ==
+=Lär mer=
-{| class="wikitable" align=right
+{| class="wikitable" align="right"
 |-
-| {{sway | [https://sway.com/FTDCByRbfHyodx4y?ref{{=}}Link Andragradskvationer]}}<br />
+|{{sway | [https://sway.com/FTDCByRbfHyodx4y?ref{{=}}Link Andragradskvationer]}}<br />
 |-
-| {{gleerups| [https://gleerupsportal.se/laromedel/exponent-2c/article/9981b409-ebba-40a5-9550-39005f0006a9 Enkla andragradsekvationer] }}<br />
+|{{wplink| [https://sv.wikipedia.org/wiki/Andragradsekvation Andragradsekvationer] }}<br />
 |-
-| {{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-2/andragradsekvationer/andragradsekvationer Andragradsekvationer] }}<br />
+|{{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-2/andragradsekvationer/andragradsekvationer Andragradsekvation] }}<br />
 |}
-* [[Problemlösning med ekvationer]]
+*[[Problemlösning med ekvationer]]
-* [[Repetition inför prov Algebra Ma2C]]
+*[[Repetition inför prov Algebra Ma2C]]
-* Facit och bedömning: Christers bedömningsmall från mellandagen bör finnas [[media:Prov_1_-_Lösnförslag.ppsx| här]]. Lösningen är till Prov 1 ver 4 (2013). Lägg på SlideShare.
+*Facit och bedömning: Christers bedömningsmall från mellandagen bör finnas [//wikiskola.se/images/Prov_1_-_L%C3%B6snf%C3%B6rslag.ppsx  här]. Lösningen är till Prov 1 ver 4 (2013). Lägg på SlideShare.
-* Diagnos 2 med pq-formeln
+*Diagnos 2 med pq-formeln
 {{print|[http://wikiskola.se/images/Snabbdiagnos2_kvadrerings_och_pq.pdf Snabbdiagnos 2]}}
+===rs-formeln===
+rs-formeln är en variant av pq-formeln:
+:<math>x^2 = rx + s</math>
+ger
+:<math>x = \frac{r}{2} \pm \sqrt{(\frac{r}{2})^2+s}</math>
+(Färre minustecken.)
+ Kan du förklara hur rs-formeln funkar?
+{{clear}}
+===Lär dig begreppen på engelska===
+<html>
+<iframe src="//www.slideshare.net/slideshow/embed_code/key/1DznnbwHsnbfVb" width="425" height="355" frameborder="0" align="right" marginwidth="0" marginheight="0" scrolling="no" style="border:1px solid #CCC; border-width:1px; margin-bottom:5px; max-width: 100%;" allowfullscreen> </iframe>
+</html>
+Genom att se PowerPointen till höger blir du bättre på att lösa andragradsekvationer genom faktorisering.
+[http://www.slideshare.net/yvettelee3956/rs-solving-graphingquadraticequation Rs solving graphingquadraticequation]
 {{clear}}
-=== Se två filmer med Michael Bondestam ===
+===[https://www.geogebra.org/m/gT97AMuj Välja lämplig metod för att lösa en andragradsekvation]===
+<html>
+<iframe scrolling="no" title="" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/gT97AMuj/width/750/height/616/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="750px" height="616px" style="border:0px;"> </iframe>
+</html>
+===Se två filmer med Michael Bondestam===
 {{#ev:youtube|eQZEtWY_4kE|340|left}}{{#ev:youtube|FVMWj3PTn7U|340|right}}
@@ Rad 156: / Rad 251: @@
 {{clear}}
-== Exit ticket ==
+==Exit ticket==
+<headertabs />

Andragradsekvationer: Skillnad mellan sidversioner

Nuvarande version från 15 maj 2020 kl. 09.17

Fullständiga andragradsekvationer

pq-formeln - Förklaring

Rötterna

pq-formeln - Exempel

Faktorisering för att lösa andragradsekvationer

Klurig uppgift

Uppgiftsblad

Pythonlösning

Dataövning

Hur det började

GGB-bok

Matematikdueller

Förstå rötterna grafiskt

rs-formeln

Lär dig begreppen på engelska

Välja lämplig metod för att lösa en andragradsekvation

Se två filmer med Michael Bondestam

Exit ticket

Navigeringsmeny

Sök