Andragradsekvationer: Skillnad mellan sidversioner

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök
VisuellWikitext
 
(51 mellanliggande sidversioner av 2 användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
__NOTOC__
=Teori=
{{malruta | '''Andragradsekvationer'''
{{malruta | '''Andragradsekvationer'''


Du kommer att lära dig lösa andragradsekvationer med hjälp av den mytomspunna pq-formeln. }}
Du kommer att lära dig lösa andragradsekvationer med hjälp av den mytomspunna pq-formeln. }}


== Teori ==
===Fullständiga andragradsekvationer===


=== Enkla andragradsekvationer ===  
====pq-formeln - Förklaring====


{{#ev:youtube| Aa7M6Vzs71U|400|right}}
{{#ev:youtube|goYnB61nrjg|400|right|Mario om nyttan med andragradsekvationer.}}
Av Daniel Barker.


Även nu har vi att göra med andragradsekvationer som är enkla fall av den fullständiga ekvationen.
En generell beskrivning av en andragradsekvation ser ut så här:


Antingen förkortas x-termerna bort så att man får '''kvadrattermer''' kvar att ta roten ur
:<math> x^2 + px + q = 0 </math>


eller
där ''p'' och ''q'' är tal (siffror) i den speciella ekvationen.


så har man ett kvadraten på ett '''binom''' (ett parentesuttryck upphöjt till två) som man tar roten ur.
Den allmänna ekvationen har lösningen:


Det blir inga imaginära tal eller komplexa rötter i detta avsnitt.
:<math> x=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} </math>


{{exruta| '''Kvadratterm och binom'''
Om du vill lösa en ekvation behöver du bara ta reda på vad p och q motsvaras av i din ekvation och sedan sätter du in dessa siffror i formeln ovan.


Kvadratterm:
Tänk på att det inte ska stå någor framför <math>x^2 </math>-termen
: <math>2x^2=50</math>
: <math>x^2=25</math>
: <math>x=\pm 5</math>
 
Binom
: <math>(x-7)^2=64</math>
: <math>(x-7)=\pm 8</math>
: <math>(x-7)= +8</math> eller <math>(x-7)= -8</math>
: <math>x= 15</math> eller <math>x= -1</math>
}}
 
=== Dubbelrot ===
 
{{exruta|
: <math>(x-7)^2=0</math> ger dubbelroten
: <math>x=7</math>
}}
 
=== Nollproduktsmetoden ===
 
Om andragradsekvationen innehåller både kvadratterm och x-term men saknar konstantterm kan man bryta ut x och faktorisera. Om en produkt är lika med noll betyder det att någon av faktorerna är lika med noll.
 
{{exruta| '''Nollproduktsmetoden'''
 
: <math>x^2-4x=0</math>
: <math>x(x-4)=0</math>
: <math>x=0</math> eller <math>x-4=0</math>
: <math>x=0</math> eller <math>x=4</math>
}}
 
Nollproduktsmetoden ger rötter som är olika.
 
=== Ekvationen saknar reella rötter ===
 
Vissa andragradsekvationen saknar reella rötter (men det finns rötter som består av komplexa tal).
 
{{exruta| '''Ickereella rötter'''


: <math>x^2=-4</math>
Uttrycket inom rottecknet kallas ekvationens '''diskriminant'''.
: <math>x=\pm \sqrt{-4}</math>


Det komplexa talet <math>\sqrt{-4}</math> skrivs <math>2 i</math>
== Rötterna ==
}}


=== Fullständiga andragradsekvationer ===
Vi utgår från andragradsekvationen på standardform:


==== pq-formeln - Förklaring====
: <math> ax^2+bx+c = 0</math>


{{#ev:youtube|goYnB61nrjg|400|right|Mario om nyttan med andragradsekvationer.}}
Lösningen till andragradsekvatoner kallas rötter. Andragradsekvationer kan ha två rötter, en dubbelrot eller komplexa rötter (icke-reel lösning).


En generell beskrivning av en andragradsekvation ser ut så här:
[[File:SolutionsToQuadraticEquation-1.png|thumb|
'''A:''' Två skärningspunkter, två reella rötter<br>'''B:''' En skärningspunkt, en reell dubbelrot<br>'''C:''' Ingen skärningspunkt, rötterna komplexa]]
Att lösa en andragradsekvation med reella koefficienter motsvaras av att finna skärningspunkterna för parabeln
:<math>y=x^2</math>
och den räta linje|räta linjen
:<math>y = k\,x + m</math>
vars riktningskoefficient ''k'' är ''-b/a'' och som skär ''y''-axeln i punkten (''0, m''), där ''m = -c/a''. Andragradsekvationen kan därför skrivas som ett [[Ekvationssystem_Ma2c|ekvationssystem]]:
:<math>
\begin{cases}y=x^2 \\y=-\cfrac{b}{a} \ x - \cfrac{c}{a}\end{cases}
</math>
Om skärningspunkter saknas har ekvationssystemet endast komplexa lösningar.


: <math> x^2 + px + q = 0 </math>
En andragradsekvation har, i enlighet med algebrans fundamentalsats, alltid två lösningar, som är reella eller komplexa tal, beroende på ekvationens koefficienter:  
* <math>x^2 + 2x + 1 = 0</math>  
:har två lösningar som är identiska reella tal (dubbelrot)
* <math>x^2+2x-1=0</math>
:har två reella lösningar
* <math>x^2 + 2x + 2 = 0</math>
:har två lösningar som är komplexa tal
Ekvationens ''diskriminant'' avgör vilket av de tre fallen som gäller.


där ''p'' och ''q'' är tal (siffror) i den speciella ekvationen.
''Delar av texten i detta avsnitt kommer från [https://sv.wikipedia.org/wiki/Andragradsekvation Wikipedia]''


Den allmänna ekvationen har lösningen:
= Exempel =


: <math> x=-p/2 \pm \sqrt{(p/2)^2-q} </math>
====pq-formeln - Exempel====
 
Om du vill lösa en ekvation behöver du bara ta reda på vad p och q motsvaras av i din ekvation och sedan sätter du in dessa siffror i formeln ovan.
 
Tänk på att det inte ska stå någor framför <math>x^2 </math>-termen
 
==== pq-formeln - Exempel ====


{{exruta|pq-formeln på standardandragradsekvation
{{exruta|pq-formeln på standardandragradsekvation
Rad 114: Rad 89:
}}
}}


=== Härledning av pq-formeln genom kvadratkomplettering ===
===Faktorisering för att lösa andragradsekvationer===
{{#ev:youtube|VacSvx3dRhs|340|right}}
 
Man kan börja med kvadratkomplettering som en inledande förklaring till pq-formeln men det är lika bra att ge sig på pq-formeln direkt. Sedan kan man gå tillbaks till kvadratkompletteringen för att få ett bevis för att pq-formeln fungerar.
: {{svwp|Kvadratkomplettering}}
: {{svwp|Andragradsekvation}}
{{clear}}
 
<pdf>Peequu-01022012090823.pdf</pdf>
 
<br>
 
=== Faktorisering för att lösa andragradsekvationer ===


{{exruta| Lös ekvationen
{{exruta| Lös ekvationen
Rad 137: Rad 100:
}}
}}


== Aktivitet ==
= En sammanfattning =
 
 
=== Hur det började ===
<pdf>Fil:Andragradsekvationer_sammanfattning.pdf</pdf>
Den här behöver man fundera på en stund.
 
: [https://www.geogebra.org/m/PVUFVf3W  How AlKhawarizmi Solved Quadratic Equation]
= Uppgifter =
: eller [http://www.geogebratube.org/student/m358 Quadratic equations in early Baghdad]
 
== Klurig uppgift ==


=== GGB-bok===
{{uppgruta|
Ekvationen <math>( x+3)(x-4) = 0</math>


Bläddra igenom den här GeoGebraboken och få en överblick över hur andragradsekvationer fungerar
har rötterna  <math>  x=-3 </math> och <math>  x=4.</math>
: https://ggbm.at/drMyunCX


=== Kan du kvadratkomplettera? ===
Förklara hur du vet det.


{{uppgruta| '''Lös följande andragradsekvation genom kvadratkomplettering'''
Multiplicera nu ihop faktorerna och lös ekvationen med pq-formeln.


: <math>x^2-6x =16</math>
Vad visar denna övning?
}}
}}


==== '''Lös andragradsekvationer på Khan academy:'''  ====
== Uppgiftsblad ==
<br>
<pdf>File:Övning_pq2.pdf</pdf>
{{khanruta|'''Solving Quadratics by facoring'''
 
Lös dessa [http://www.khanacademy.org/exercise/solving_quadratics_by_factoring Khan, relativt enkla andragradsekvationer]. De kan lösas genom att gissa eller faktorisera.
= Programmering =
 
===Pythonlösning===
 
{{Python|[[Andragradsekvation_Python|Andragradsekvation Python]]}}
{{clear}}
 
== Dataövning ==
 
*[[Dataövning - konsekutiva tal]]
 
= Aktivitet =
 
===Hur det började===
 
Den här behöver man fundera på en stund.
 
:[https://www.geogebra.org/m/PVUFVf3W How AlKhawarizmi Solved Quadratic Equation]
:eller [http://www.geogebratube.org/student/m358 Quadratic equations in early Baghdad]
 
===GGB-bok===
 
Bläddra igenom den här GeoGebraboken och få en överblick över hur andragradsekvationer fungerar


Möjligen kan det vara svårt att veta hur de menar att man ska göra på vissa uppgifter. Ta reda på rötterna och faktorisera så går et bra.
: https://ggbm.at/drMyunCX
}}


=== Dataövning ===


* [[Dataövning - konsekutiva tal]]
= Tävning =


=== Matematikdueller ===
=== Matematikdueller ===
Rad 181: Rad 165:
}}
}}


=== Sorteringsövningar och val av metod ===
= Öva val av metod =
 
Öva strategier med denna fina övning med facit: [https://www.geogebra.org/m/CCtqSQU5 andragradsekvationer alla metoder] av Svetlana och Anders.
 
<html>
<iframe scrolling="no" title="" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/CCtqSQU5/width/1233/height/608/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="1233px" height="608px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>
 
= GGB - Grafisk lösning =


: En [https://www.geogebra.org/m/fUjg9FG5  Sorteringsövning] Klicka och dra!
<html>
: Och en fin övning med facit: [https://www.geogebra.org/m/CCtqSQU5 andragradsekvationer alla metoder] av Svetlana och Anders.
<iframe scrolling="no" title="Andragradsekvation med grafisk lösning" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/kmeg9yyb/width/857/height/581/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="857px" height="581px" style="border:0px;"> </iframe>
: [https://www.geogebra.org/m/y3HzVGv9 Faktorisera andragradsekvationer (nollpunktsmetoden)]. Här är det givet att du ska faktorisera men du får öva dig på hur.
</html>


== Lär mer ==
= GGB - funktion =


{| class="wikitable" align=right
===Förstå rötterna grafiskt===
 
<html>
<iframe scrolling="no" title="Andragradsekvationer med pq-formeln" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/B4vtTgKP/width/782/height/450/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="782px" height="450px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>
 
[https://www.geogebra.org/m/M7qzyh9M Hela konnstruktionen finns här] (med frågor och diskussioner).
 
= Problemlösning =
 
<pdf>Fil:Fru_Anderssonska_hägn2.pdf</pdf>
 
=Lär mer=
 
{| class="wikitable" align="right"
|-
|-
| {{sway | [https://sway.com/FTDCByRbfHyodx4y?ref{{=}}Link Andragradskvationer]}}<br />
|{{sway | [https://sway.com/FTDCByRbfHyodx4y?ref{{=}}Link Andragradskvationer]}}<br />
|-
|-
| {{gleerups| [https://gleerupsportal.se/laromedel/exponent-2c/article/9981b409-ebba-40a5-9550-39005f0006a9 Enkla andragradsekvationer] }}<br />
|{{wplink| [https://sv.wikipedia.org/wiki/Andragradsekvation Andragradsekvationer] }}<br />
|-
|-
| {{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-2/andragradsekvationer/andragradsekvationer Andragradsekvationer] }}<br />
|{{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-2/andragradsekvationer/andragradsekvationer Andragradsekvation] }}<br />
|}
|}


* [[Problemlösning med ekvationer]]
*[[Problemlösning med ekvationer]]


* [[Repetition inför prov Algebra Ma2C]]  
*[[Repetition inför prov Algebra Ma2C]]
* Facit och bedömning: Christers bedömningsmall från mellandagen bör finnas [[media:Prov_1_-_Lösnförslag.ppsx| här]]. Lösningen är till Prov 1 ver 4 (2013). Lägg på SlideShare.
*Facit och bedömning: Christers bedömningsmall från mellandagen bör finnas [//wikiskola.se/images/Prov_1_-_L%C3%B6snf%C3%B6rslag.ppsx här]. Lösningen är till Prov 1 ver 4 (2013). Lägg på SlideShare.
* Diagnos 2 med pq-formeln  
*Diagnos 2 med pq-formeln
{{print|[http://wikiskola.se/images/Snabbdiagnos2_kvadrerings_och_pq.pdf Snabbdiagnos 2]}}
{{print|[http://wikiskola.se/images/Snabbdiagnos2_kvadrerings_och_pq.pdf Snabbdiagnos 2]}}


=== rs-formeln ===
===rs-formeln===


rs-formeln är en variant av pq-formeln:
rs-formeln är en variant av pq-formeln:


: <math>x^2 = rx + s</math>
:<math>x^2 = rx + s</math>
 
ger
ger
: <math>x = \frac{r}{2} \pm \sqrt{(\frac{r}{2})^2+s}</math>
 
:<math>x = \frac{r}{2} \pm \sqrt{(\frac{r}{2})^2+s}</math>


(Färre minustecken.)  
(Färre minustecken.)  
Rad 218: Rad 226:
{{clear}}
{{clear}}


=== Lär dig begreppen på engelska ===
===Lär dig begreppen på engelska===


<html>
<html>
Rad 229: Rad 237:
{{clear}}
{{clear}}


=== Se två filmer med Michael Bondestam ===
 
===[https://www.geogebra.org/m/gT97AMuj Välja lämplig metod för att lösa en andragradsekvation]===
 
<html>
<iframe scrolling="no" title="" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/gT97AMuj/width/750/height/616/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="750px" height="616px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>
 
===Se två filmer med Michael Bondestam===


{{#ev:youtube|eQZEtWY_4kE|340|left}}{{#ev:youtube|FVMWj3PTn7U|340|right}}
{{#ev:youtube|eQZEtWY_4kE|340|left}}{{#ev:youtube|FVMWj3PTn7U|340|right}}
Rad 236: Rad 251:
{{clear}}
{{clear}}


== Exit ticket ==
==Exit ticket==
 
<headertabs />

Nuvarande version från 15 maj 2020 kl. 09.17


[redigera]
Mål för undervisningen Andragradsekvationer

Du kommer att lära dig lösa andragradsekvationer med hjälp av den mytomspunna pq-formeln.


Fullständiga andragradsekvationer

pq-formeln - Förklaring

Load video
YouTube
Mario om nyttan med andragradsekvationer.

En generell beskrivning av en andragradsekvation ser ut så här:

[math]\displaystyle{ x^2 + px + q = 0 }[/math]

där p och q är tal (siffror) i den speciella ekvationen.

Den allmänna ekvationen har lösningen:

[math]\displaystyle{ x=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} }[/math]

Om du vill lösa en ekvation behöver du bara ta reda på vad p och q motsvaras av i din ekvation och sedan sätter du in dessa siffror i formeln ovan.

Tänk på att det inte ska stå någor framför [math]\displaystyle{ x^2 }[/math]-termen

Uttrycket inom rottecknet kallas ekvationens diskriminant.

Rötterna

Vi utgår från andragradsekvationen på standardform:

[math]\displaystyle{ ax^2+bx+c = 0 }[/math]

Lösningen till andragradsekvatoner kallas rötter. Andragradsekvationer kan ha två rötter, en dubbelrot eller komplexa rötter (icke-reel lösning).

A: Två skärningspunkter, två reella rötter
B: En skärningspunkt, en reell dubbelrot
C: Ingen skärningspunkt, rötterna komplexa

Att lösa en andragradsekvation med reella koefficienter motsvaras av att finna skärningspunkterna för parabeln

[math]\displaystyle{ y=x^2 }[/math]

och den räta linje|räta linjen

[math]\displaystyle{ y = k\,x + m }[/math]

vars riktningskoefficient k är -b/a och som skär y-axeln i punkten (0, m), där m = -c/a. Andragradsekvationen kan därför skrivas som ett ekvationssystem:

[math]\displaystyle{ \begin{cases}y=x^2 \\y=-\cfrac{b}{a} \ x - \cfrac{c}{a}\end{cases} }[/math]

Om skärningspunkter saknas har ekvationssystemet endast komplexa lösningar.

En andragradsekvation har, i enlighet med algebrans fundamentalsats, alltid två lösningar, som är reella eller komplexa tal, beroende på ekvationens koefficienter:

  • [math]\displaystyle{ x^2 + 2x + 1 = 0 }[/math]
har två lösningar som är identiska reella tal (dubbelrot)
  • [math]\displaystyle{ x^2+2x-1=0 }[/math]
har två reella lösningar
  • [math]\displaystyle{ x^2 + 2x + 2 = 0 }[/math]
har två lösningar som är komplexa tal

Ekvationens diskriminant avgör vilket av de tre fallen som gäller.

Delar av texten i detta avsnitt kommer från Wikipedia

[redigera]

pq-formeln - Exempel

Exempel
pq-formeln på standardandragradsekvation
[math]\displaystyle{ x^2+4x-5=0 }[/math]
[math]\displaystyle{ x=-\frac{4}{2} \pm \sqrt{(\frac{4}{2})^2+5} }[/math]
[math]\displaystyle{ x=-2 \pm \sqrt{(2)^2+5} }[/math]
[math]\displaystyle{ x=-2 \pm \sqrt{4+5} }[/math]
[math]\displaystyle{ x=-2 \pm 3 }[/math]
[math]\displaystyle{ x_1=-2 + 3=1 }[/math]
[math]\displaystyle{ x_2=-2 - 3=-5 }[/math]


Exempel
pq-formeln på knepigare ragradsekvation
[math]\displaystyle{ 3x^2-9x=12 }[/math]
[math]\displaystyle{ 3x^2-9x-12=0 }[/math]
[math]\displaystyle{ x^2-3x-4=0 }[/math]
[math]\displaystyle{ x=\frac{3}{2} \pm \sqrt{(\frac{3}{2})^2+4} }[/math]
[math]\displaystyle{ x=\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}+4} }[/math]
[math]\displaystyle{ x=\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}+\frac{16}{4}} }[/math]
[math]\displaystyle{ x=\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{4}} }[/math]
[math]\displaystyle{ x=\frac{3}{2} \pm \frac{5}{2} }[/math]
[math]\displaystyle{ x_1=\frac{3}{2} - \frac{5}{2}=-\frac{2}{2}= -1 }[/math]
[math]\displaystyle{ x_2=\frac{3}{2} + \frac{5}{2}=\frac{8}{2}=4 }[/math]


Faktorisering för att lösa andragradsekvationer

Exempel
Lös ekvationen
[math]\displaystyle{ x^2+7x+12=0 }[/math]

Hitta faktorerna

[math]\displaystyle{ (x+3)(x+4)=0 }[/math]

Rötterna ges av nollproduktmetoden

[math]\displaystyle{ x_1=-4, \qquad x_2=-3 }[/math]


[redigera]

Klurig uppgift

Uppgift

Ekvationen [math]\displaystyle{ ( x+3)(x-4) = 0 }[/math]

har rötterna [math]\displaystyle{ x=-3 }[/math] och [math]\displaystyle{ x=4. }[/math]

Förklara hur du vet det.

Multiplicera nu ihop faktorerna och lös ekvationen med pq-formeln.

Vad visar denna övning?


Uppgiftsblad

[redigera]

Pythonlösning

Programmeringsuppgift

Andragradsekvation Python

Dataövning

[redigera]

Hur det började

Den här behöver man fundera på en stund.

How AlKhawarizmi Solved Quadratic Equation
eller Quadratic equations in early Baghdad

GGB-bok

Bläddra igenom den här GeoGebraboken och få en överblick över hur andragradsekvationer fungerar

https://ggbm.at/drMyunCX


[redigera]

Matematikdueller

Uppgift
Matematikduellernas uppgifter är hemliga
Så går duellerna till
Så går duellerna till

Men så här går de till:

Kval
Grundomgång
Finaler



[redigera]

Öva strategier med denna fina övning med facit: andragradsekvationer alla metoder av Svetlana och Anders.

[redigera]

[redigera]

Förstå rötterna grafiskt

Hela konnstruktionen finns här (med frågor och diskussioner).

[redigera]
Swayen till detta avsnitt: Andragradskvationer


Wikipedia Andragradsekvationer


Läs om Andragradsekvation


  • Repetition inför prov Algebra Ma2C
  • Facit och bedömning: Christers bedömningsmall från mellandagen bör finnas här. Lösningen är till Prov 1 ver 4 (2013). Lägg på SlideShare.
  • Diagnos 2 med pq-formeln
Du kan printa denna! Snabbdiagnos 2


rs-formeln

rs-formeln är en variant av pq-formeln:

[math]\displaystyle{ x^2 = rx + s }[/math]

ger

[math]\displaystyle{ x = \frac{r}{2} \pm \sqrt{(\frac{r}{2})^2+s} }[/math]

(Färre minustecken.) 

Kan du förklara hur rs-formeln funkar?

Lär dig begreppen på engelska

Genom att se PowerPointen till höger blir du bättre på att lösa andragradsekvationer genom faktorisering.

Rs solving graphingquadraticequation


Välja lämplig metod för att lösa en andragradsekvation

Se två filmer med Michael Bondestam

Load video
YouTube
Load video
YouTube


Exit ticket

Hämtad från ”https://wikiskola.se/index.php?title=Andragradsekvationer&oldid=54412”