|
|
| (172 mellanliggande sidversioner av 3 användare visas inte) |
| Rad 1: |
Rad 1: |
| Kapitel 1 i boken Matematik 2C innehåller 16 delar vilket rimligen bör ta omkring 16 lektionstillfällen eller fyra veckor i anspråk.
| | == [[Intro Algebra Ma2C]]== |
|
| |
|
| = Repetition = | | == [[Förenkling av uttryck]] == |
|
| |
|
| | | == [[Ekvationer Ma2C]] == |
| == Mål för wikiskola på denna sida == | |
| | |
| Ett mål för denna kurs är att varje avsnitt om möjligt ska ha ett videoklipp med någon som förklarar, relevant länk till Khan samt en GGB el dyl som anknyter till bokens teoridel. Dessutom vore det fint med några egna övningsuppgifter och någon datorövning.
| |
| | |
| == Intro ==
| |
| | |
| '''Kuriosa:''' [http://www.google.se/search?q=3x^2%2B3x%2B3%3D5&ie=utf-8&oe=utf-8&aq=t&rls=org.mozilla:sv-SE:official&client=firefox-a#sclient=psy-ab&hl=sv&client=firefox-a&hs=aAn&rls=org.mozilla:sv-SE%3Aofficial&source=hp&q=y%3D3x^2%2B3x%2B3%2C+y%3D100&pbx=1&oq=y%3D3x^2%2B3x%2B3%2C+y%3D100&aq=f&aqi=&aql=&gs_sm=e&gs_upl=29l3131l2l3711l5l5l0l0l0l0l221l843l0.4.1l5l0&bav=on.2,or.r_gc.r_pw.,cf.osb&fp=26d2ec7e6f870a19&biw=1118&bih=595 Grafer på Google]
| |
| | |
| '''Algebraintroti boken på sid 3'''
| |
| | |
| [http://sv.wikipedia.org/wiki/Girolamo_Cardano Gerolamo Cardano] funderade över lösingen till följande ekvation | |
| | |
| Kan vi dela talet 8 i två delar så att deras produkt blir 25?
| |
| x(8-x) = 25
| |
| | |
| Ekvationen har följande rötter:
| |
| | |
| x = 4 + rot(-9)
| |
| x = 4 - rot(-9)
| |
| | |
| Ekvationen kan skrivas om på detta sätt:
| |
| | |
| 8x - x<sup>2</sup> = 25
| |
| | |
| x<sup>2</sup> - 8x + 25 = 0
| |
| | |
| Men vad är roten ur -9? Det är ett imagint tal, som skrivs 3i. Kolla gärna Wolfram Alpha för en [http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%288-x%29%20%3D%2025&t=ff3tb01 lösning] till ekvationen ovan
| |
| | |
| == Förenkling av uttryck ==
| |
| | |
| '''Sats: Distributiva lagen'''
| |
| | |
| a(b+c) = ab + ac
| |
| | |
| == Ekvationer ==
| |
| | |
| Vid lösning av ekvationer kan du tänka att det är tillåtet att göra samma sak på båda sidor av likhetstecknet. Du kan addera samma sak på båda sidorna. Eller subtrahera samma sak på båda sidorna. På samma sätt kan du multiplicera eller dividera med samma sak på båda sidorna.
| |
| | |
| Detta kan du använda för att förkorta bort något på ena sidan och resultatet blir att den saken byter upp på andra sidan men med motsatt tecken (plus blir minus osv).
| |
| | |
| På denna sida från Matteboken.se finns en förklaring [http://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/algebra/skriva-om-formler skriva om hur man ändrar i ekvationer på detta sätt]. Titta gärna på filmen på sidan också.
| |
| | |
| När man får kläm på det här sättet att ändra i ekvationer brukar man helt enkelt flytta över saker till andra sidan och byta tecken. På så sätt kan man ändra en ekvation så att man får sitt x (eller vilken variabel man nu vill lösa ut) ensamt på en sida.
| |
|
| |
|
| = Kvadrerings- och konjugatregler = | | = Kvadrerings- och konjugatregler = |
| | {{flipp|-}} |
| | == [[Parentesmultiplikation]] == |
|
| |
|
| == Parentesmultiplikation == | | == [[Kvadreringsregeln Ma2C]] == |
| | |
| === Multiplikationen är både algebra och geometri ===
| |
|
| |
|
| [[Fil:Abcd.png|thumb|(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd]]
| | == En första läxa == |
|
| |
|
| Hur funkar det om man multiplicerar två parenteser med varandra?
| | Det är viktigt att vi kommer igång med att lära oss Geogebra. |
|
| |
|
| '''Först inleder vi med ett exempel med siffror'''
| | Första naturliga ingången är egentligen räta linjen där det blir en tydlig koppling mellan funktion och utseende. |
|
| |
|
| En övning som visar exemplet nedan i bilder. Ett tal kan delas upp i sin entalsdel och sin tiotalsdel innan en multiplikation. <font color=darkgreen>PowerPoint</font color=darkgreen>. [[Media:Ganger_med_bilder.ppt|Gånger av tvåsiffriga tal ]]visas med hjälp av bilder. ''Detta är [[Övningar_tal_och_räkning_6B|ett exempel från grundskolan]].''
| | === GGB-uppgift 1 === |
|
| |
|
| exempelvis
| | Ladda ner programmet. |
| 12*13=(10+2)*(10+3)=100+30+20+6.
| |
|
| |
|
| '''Repetition aritmetik:''' Pappersövning i [[Media:Skriftlig_huvudrakning_ovning.doc|skriftlig huvudräkning]].
| | Skriv in en valfri räta linjens funktion. |
|
| |
|
| Tänk sedan att du gör samma sak med bokstäver
| | Ändra färg och tjocklek på grafen. |
|
| |
|
| (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
| | Ändra så att grafens egenskap syns. |
| <br>
| |
| <ggb_applet width="796" height="511" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
| |
| [http://www.geogebratube.org/student/m3460 Hela filen kan laddas ner här].
| |
| <br>
| |
| <br>
| |
| === Bevis som utgår från distributiva lagen ===
| |
|
| |
|
| x(c+d) = xc+xd
| | Mejla filen till din lärare. |
|
| |
|
| Antag att x = a+b och sätt in i uttrycket ovan.
| | == [[Konjugatregeln Ma2C]] == |
|
| |
|
| (a+b)c+(a+b)d
| | == [[Ekvationer med x^2-term]] == |
|
| |
| c(a+b)+d(a+b)
| |
|
| |
| ca+cb+da+db
| |
|
| |
| ac+bc+ad+bd V.S.B.
| |
| | |
| == Kvadreringsregeln == | |
| | |
| (a+b)<sup>2</sup> = a<sup>2</sup>+2ab+b<sup>2</sup>
| |
| | |
| (a-b)<sup>2</sup> = a<sup>2</sup>-2ab+b<sup>2</sup>
| |
| | |
| Förklaring
| |
|
| |
| (a-b)<sup>2</sup> =
| |
| (a-b)(a-b) =
| |
| a<sup>2</sup>-ab-ba+b<sup>2</sup> = ( och ab = ba )
| |
| a<sup>2</sup>-2ab+b<sup>2</sup> V.S.B.
| |
| | |
| | |
| '''Länkar:'''
| |
| | |
| * [http://matteboken.se/lektioner/matte-b/algebra-och-geometri/kvadreringsreglerna matteboken om kvadreringsreglerna]
| |
| * [http://sv.wikipedia.org/wiki/Kvadreringsregeln Kvadreringsregeln på Wikipedia] (syns även nedan)
| |
| | |
| Bondestam respektive Wille på Mattecentrum om kvadreringsregeln:
| |
| | |
| <youtube>-r6q69yktQo</youtube><youtube>z752eJNWsXA</youtube>
| |
| <br>
| |
| <br>
| |
| Wikipedia (i utskriftsvänlig version) om kvadreringsregeln, nedan inklippt:
| |
| | |
| <html><iframe frameborder="0" marginheight="10"
| |
| marginwidth="10" name="wikipedia" scrolling="auto" src="http://sv.wikipedia.org/w/index.php?title=Kvadreringsreglerna&printable=yes" width="900" height="550"></iframe></html>
| |
| | |
| ''Texten ovan är från Wikipedia och inklippt i en frame ''
| |
| | |
| == Konjugatregeln ==
| |
| | |
| === Teori ===
| |
| | |
| Så här ser den ut:
| |
|
| |
| a<sup>2</sup>-b<sup>2</sup> = (a-b)(a+b)
| |
| | |
| utför multiplikationen
| |
| (a-b)(a+b) = a<sup>2</sup>ab-ba-b<sup>2</sup>
| |
|
| |
| (a-b)(a+b) = a<sup>2</sup>ab-ab-b<sup>2</sup>
| |
|
| |
| (a-b)(a+b) = a<sup>2</sup>b<sup>2</sup>
| |
|
| |
| V.S.B.
| |
| | |
| '''Länk:''' [http://en.wikipedia.org/wiki/Difference_of_two_squares engelska Wikipedia]
| |
| | |
| === Film ===
| |
| | |
| Bondestam (tv) respektive Matteboken (th) förklarar:
| |
| | |
| <youtube>TmLbY5t3N5o</youtube><youtube>_cf5hMjgNR0</youtube>
| |
| | |
| | |
| === Geometriskt bevis av konjugatregeln ===
| |
| | |
| '''Första beviset'''
| |
| | |
| [[Fil:Difference_of_two_squares.png]]
| |
| | |
| '''Andra beviset'''
| |
| | |
| [[Fil:800px-Difference_of_two_squares_geometric_proof.png]] | |
| | |
| === Uppgifter: parentesmultiplikation ===
| |
| | |
| Hunnet så här långt kan vi repetera genom att lösa lite uppgifter på Khan Academy. De är dels av typen (a+b)(c+d) men också sådana som tillämpar kvadreringsregeln.
| |
| | |
| [http://www.khanacademy.org/exercise/multiplying_expressions_1 Khan om hur man multiplicerar binom] ska du verkligen öva på.
| |
| | |
| == Ekvationer med x<sup>2</sup>-term ==
| |
| | |
| [http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^2%3D-16 x<sup>2</sup> = -16] har ingen reell rot men däremot två komplexa. Det beror på att lösningen är roten ut ett negativt tal. Roten ur -16 är +4i respektive -4i.
| |
| | |
| [http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^2%2B3x%2B16%3D0 x<sup>2</sup>+3x+16=0] har också två komplexa rötter fast här beror varje rot av både en realdel och en imaginärdel.
| |
|
| |
|
| = Andragradsekvationer = | | = Andragradsekvationer = |
|
| |
|
| == Enkla andragradsekvationer == | | == [[Enkla andragradsekvationer]] == |
|
| |
|
| Den här behöver man fundera på en stund. [http://www.geogebratube.org/student/m358 Quadratic equations in early Baghdad]
| | == [[Fullständiga andragradsekvationer]] == |
|
| |
|
| == Kvadratkomplettering == | | == [[Kvadratkomplettering]] == |
|
| |
|
| | == Diagnos 2 med pq-formeln == |
|
| |
|
| === '''Uppgift:''' Khan Academy ===
| | {{print|[http://wikiskola.se/images/Snabbdiagnos2_kvadrerings_och_pq.pdf Snabbdiagnos 2]}} |
|
| |
|
| Lös dessa [http://www.khanacademy.org/exercise/solving_quadratics_by_factoring Khan, relativt enkla andragradsekvationer]. De kan lösas genom att gissa eller faktorisera.
| | == [[Andragradsekvationer och rötter]] == |
|
| |
|
| == Fullständiga andragradsekvationer == | | == [[Komplexa tal Ma2C]] == |
|
| |
|
| '''pq-formeln'''
| | == [[Rotekvationer]] == |
|
| |
|
| x<sup>2</sup>+px+q=0
| | == [[Problemlösning med ekvationer]] == |
| x=-p/2+-((p/2)<sup>2</sup>-q)<sup>0.5</sup>
| |
|
| |
|
| Se en film med Michael Bondestam:
| | =[[Ekvationslösning med faktorisering]] = |
| <youtube>eQZEtWY_4kE</youtube>
| |
| | |
| == Andragradsekvationer och rötter ==
| |
|
| |
|
| | == Faktorisering och ekvationer == |
|
| |
|
| == Komplexa tal ==
| | Onsdag |
|
| |
|
| | Repetera lösbladet från förra lektionen en gång till. I övrigt struntar vi i beting på faktorisering med kvadreringsregelerna. |
|
| |
|
| == Rotekvationer ==
| | '''Dagens beting:''' 1426-1430 |
|
| |
|
| | == [[Dataövning - konsekutiva tal]] == |
|
| |
|
| == Problemlösning med ekvationer == | | == [[Repetition inför prov Algebra Ma2C]] == |
|
| |
|
| =Ekvationslösning med faktorisering = | | == Facit och bedömning == |
|
| |
|
| == Uppdelning i faktorer med konjugatregeln ==
| | Christers bedömningsmall från mellandagen bör finnas [[media:Prov_1_-_Lösnförslag.ppsx| här]]. Lösningen är till Prov 1 ver 4 (2013) |
| | |
| | |
| == Uppdelning i faktorer med kvadreringsreglerna ==
| |
| | |
| == Faktorisering och ekvationer ==
| |
