Andragradsekvationer

[redigera]

Mål för undervisningen Andragradsekvationer

Du kommer att lära dig lösa andragradsekvationer med hjälp av den mytomspunna pq-formeln.

Fullständiga andragradsekvationer

pq-formeln - Förklaring

Mario om nyttan med andragradsekvationer.

En generell beskrivning av en andragradsekvation ser ut så här:

[math]\displaystyle{ x^2 + px + q = 0 }[/math]

där p och q är tal (siffror) i den speciella ekvationen.

Den allmänna ekvationen har lösningen:

[math]\displaystyle{ x=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} }[/math]

Om du vill lösa en ekvation behöver du bara ta reda på vad p och q motsvaras av i din ekvation och sedan sätter du in dessa siffror i formeln ovan.

Tänk på att det inte ska stå någor framför [math]\displaystyle{ x^2 }[/math]-termen

Uttrycket inom rottecknet kallas ekvationens diskriminant.

Rötterna

Lösningen till andragradsekvatoner kallas rötter. Andragradsekvationer kan ha två rötter, en dubbelrot eller komplexa rötter (icke-reel lösning).

Att lösa en andragradsekvation med reella koefficienter motsvaras av att finna skärningspunkterna för parabeln

[math]\displaystyle{ y=x^2 }[/math]

och den räta linjen

[math]\displaystyle{ y = k\,x + m }[/math]

vars riktningskoefficient k är -b/a och som skär y-axeln i punkten (0, m), där m = -c/a. Andragradsekvationen kan därför skrivas som ett ekvationssystem:

[math]\displaystyle{ \begin{cases}y=x^2 \\y=-\cfrac{b}{a} \ x - \cfrac{c}{a}\end{cases} }[/math]

Om skärningspunkter saknas har ekvationssystemet endast komplexa lösningar.

En andragradsekvation har, i enlighet med algebrans fundamentalsats, alltid två lösningar, som är reella eller komplexa tal, beroende på ekvationens koefficienter:

[math]\displaystyle{ x^2 + 2x + 1 = 0 }[/math]

har två lösningar som är identiska reella tal (dubbelrot)

[math]\displaystyle{ x^2+2x-1=0 }[/math]

har två reella lösningar

[math]\displaystyle{ x^2 + 2x + 2 = 0 }[/math]

har två lösningar som är komplexa tal

Ekvationens diskriminant (se nedan) avgör vilket av de tre fallen som gäller.

Delar av texten i detta avsnitt kommer från Wikipedia

[redigera]

pq-formeln - Exempel

Exempel
pq-formeln på standardandragradsekvation [math]\displaystyle{ x^2+4x-5=0 }[/math] [math]\displaystyle{ x=-\frac{4}{2} \pm \sqrt{(\frac{4}{2})^2+5} }[/math] [math]\displaystyle{ x=-2 \pm \sqrt{(2)^2+5} }[/math] [math]\displaystyle{ x=-2 \pm \sqrt{4+5} }[/math] [math]\displaystyle{ x=-2 \pm 3 }[/math] [math]\displaystyle{ x_1=-2 + 3=1 }[/math] [math]\displaystyle{ x_2=-2 - 3=-5 }[/math]

Exempel

pq-formeln på knepigare ragradsekvation

[math]\displaystyle{ 3x^2-9x=12 }[/math]

[math]\displaystyle{ 3x^2-9x-12=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ x^2-3x-4=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ x=\frac{3}{2} \pm \sqrt{(\frac{3}{2})^2+4} }[/math]

[math]\displaystyle{ x=\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}+4} }[/math]

[math]\displaystyle{ x=\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}+\frac{16}{4}} }[/math]

[math]\displaystyle{ x=\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{4}} }[/math]

[math]\displaystyle{ x=\frac{3}{2} \pm \frac{5}{2} }[/math]

[math]\displaystyle{ x_1=\frac{3}{2} - \frac{5}{2}=-\frac{2}{2}= -1 }[/math]

[math]\displaystyle{ x_2=\frac{3}{2} + \frac{5}{2}=\frac{8}{2}=4 }[/math]

Faktorisering för att lösa andragradsekvationer

Exempel

Lös ekvationen

[math]\displaystyle{ x^2+7x+12=0 }[/math]

Hitta faktorerna

[math]\displaystyle{ (x+3)(x+4)=0 }[/math]

Rötterna ges av nollproduktmetoden

[math]\displaystyle{ x_1=-4, \qquad x_2=-3 }[/math]

[redigera]

Kan du kvadratkomplettera?

Uppgift
Lös följande andragradsekvation genom kvadratkomplettering [math]\displaystyle{ x^2-6x =16 }[/math]

Lös andragradsekvationer på Khan academy:

Öva på Khan: Solving Quadratics by facoring

Lös dessa Khan, relativt enkla andragradsekvationer. De kan lösas genom att gissa eller faktorisera.

Möjligen kan det vara svårt att veta hur de menar att man ska göra på vissa uppgifter. Ta reda på rötterna och faktorisera så går et bra.

[redigera]

Sorteringsövningar och val av metod

Exempel

Gör dessa i helklass

Testa själva.

Diskutera vilken GGB som var bäst och varför.

Vad kunde förbättras?

En Sorteringsövning Klicka och dra!

Och en fin övning med facit: andragradsekvationer alla metoder av Svetlana och Anders.

Faktorisera andragradsekvationer (nollpunktsmetoden). Här är det givet att du ska faktorisera men du får öva dig på hur.

[redigera]

Swayen till detta avsnitt: Andragradskvationer
Wikipedia Andragradsekvationer
Läs om Andragradsekvation

Problemlösning med ekvationer

Repetition inför prov Algebra Ma2C
Facit och bedömning: Christers bedömningsmall från mellandagen bör finnas här. Lösningen är till Prov 1 ver 4 (2013). Lägg på SlideShare.
Diagnos 2 med pq-formeln

Du kan printa denna! Snabbdiagnos 2

rs-formeln

rs-formeln är en variant av pq-formeln:

[math]\displaystyle{ x^2 = rx + s }[/math]

ger

[math]\displaystyle{ x = \frac{r}{2} \pm \sqrt{(\frac{r}{2})^2+s} }[/math]

(Färre minustecken.)

Kan du förklara hur rs-formeln funkar?

Lär dig begreppen på engelska

Genom att se PowerPointen till höger blir du bättre på att lösa andragradsekvationer genom faktorisering.

Rs solving graphingquadraticequation

Andragradsekvationer

Fullständiga andragradsekvationer

pq-formeln - Förklaring

Rötterna

pq-formeln - Exempel

Faktorisering för att lösa andragradsekvationer

Pythonlösning

Dataövning

Hur det började

GGB-bok

Kan du kvadratkomplettera?

Lös andragradsekvationer på Khan academy:

Matematikdueller

Sorteringsövningar och val av metod

Förstå rötterna grafiskt

rs-formeln

Lär dig begreppen på engelska

Välja lämplig metod för att lösa en andragradsekvation

Se två filmer med Michael Bondestam

Exit ticket

Navigeringsmeny

Andragradsekvationer

Fullständiga andragradsekvationer

pq-formeln - Förklaring

Rötterna

Navigeringsmeny

Sök