Andragradsekvationer

[redigera]

Mål för undervisningen Andragradsekvationer

Du kommer att lära dig lösa andragradsekvationer med hjälp av den mytomspunna pq-formeln.

Fullständiga andragradsekvationer

pq-formeln - Förklaring

Mario om nyttan med andragradsekvationer.

En generell beskrivning av en andragradsekvation ser ut så här:

[math]\displaystyle{ x^2 + px + q = 0 }[/math]

där p och q är tal (siffror) i den speciella ekvationen.

Den allmänna ekvationen har lösningen:

[math]\displaystyle{ x=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} }[/math]

Om du vill lösa en ekvation behöver du bara ta reda på vad p och q motsvaras av i din ekvation och sedan sätter du in dessa siffror i formeln ovan.

Tänk på att det inte ska stå någor framför [math]\displaystyle{ x^2 }[/math]-termen

[redigera]

pq-formeln - Exempel

Exempel
pq-formeln på standardandragradsekvation [math]\displaystyle{ x^2+4x-5=0 }[/math] [math]\displaystyle{ x=-\frac{4}{2} \pm \sqrt{(\frac{4}{2})^2+5} }[/math] [math]\displaystyle{ x=-2 \pm \sqrt{(2)^2+5} }[/math] [math]\displaystyle{ x=-2 \pm \sqrt{4+5} }[/math] [math]\displaystyle{ x=-2 \pm 3 }[/math] [math]\displaystyle{ x_1=-2 + 3=1 }[/math] [math]\displaystyle{ x_2=-2 - 3=-5 }[/math]

Exempel

pq-formeln på knepigare ragradsekvation

[math]\displaystyle{ 3x^2-9x=12 }[/math]

[math]\displaystyle{ 3x^2-9x-12=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ x^2-3x-4=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ x=\frac{3}{2} \pm \sqrt{(\frac{3}{2})^2+4} }[/math]

[math]\displaystyle{ x=\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}+4} }[/math]

[math]\displaystyle{ x=\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}+\frac{16}{4}} }[/math]

[math]\displaystyle{ x=\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{4}} }[/math]

[math]\displaystyle{ x=\frac{3}{2} \pm \frac{5}{2} }[/math]

[math]\displaystyle{ x_1=\frac{3}{2} - \frac{5}{2}=-\frac{2}{2}= -1 }[/math]

[math]\displaystyle{ x_2=\frac{3}{2} + \frac{5}{2}=\frac{8}{2}=4 }[/math]

Faktorisering för att lösa andragradsekvationer

Exempel

Lös ekvationen

[math]\displaystyle{ x^2+7x+12=0 }[/math]

Hitta faktorerna

[math]\displaystyle{ (x+3)(x+4)=0 }[/math]

Rötterna ges av nollproduktmetoden

[math]\displaystyle{ x_1=-4, \qquad x_2=-3 }[/math]

[redigera]

Härledning av pq-formeln genom kvadratkomplettering

Man kan börja med kvadratkomplettering som en inledande förklaring till pq-formeln men det är lika bra att ge sig på pq-formeln direkt. Sedan kan man gå tillbaks till kvadratkompletteringen för att få ett bevis för att pq-formeln fungerar.

Wikipedia skriver om Kvadratkomplettering - Läs verkligen den här framställningen.

Wikipedia skriver om Andragradsekvation

[redigera]

Pythonlösning

Programmeringsuppgift

Andragradsekvation Python

Dataövning

Dataövning - konsekutiva tal

[redigera]

Hur det började

Den här behöver man fundera på en stund.

How AlKhawarizmi Solved Quadratic Equation

eller Quadratic equations in early Baghdad

GGB-bok

Bläddra igenom den här GeoGebraboken och få en överblick över hur andragradsekvationer fungerar

https://ggbm.at/drMyunCX

[redigera]

Kan du kvadratkomplettera?

Uppgift
Lös följande andragradsekvation genom kvadratkomplettering [math]\displaystyle{ x^2-6x =16 }[/math]

Lös andragradsekvationer på Khan academy:

Öva på Khan: Solving Quadratics by facoring

Lös dessa Khan, relativt enkla andragradsekvationer. De kan lösas genom att gissa eller faktorisera.

Möjligen kan det vara svårt att veta hur de menar att man ska göra på vissa uppgifter. Ta reda på rötterna och faktorisera så går et bra.

[redigera]

Matematikdueller

Uppgift

Matematikduellernas uppgifter är hemliga

Men så här går de till:

Kval

Grundomgång

Finaler

[redigera]

Sorteringsövningar och val av metod

Exempel

Gör dessa i helklass

Testa själva.

Diskutera vilken GGB som var bäst och varför.

Vad kunde förbättras?

En Sorteringsövning Klicka och dra!

Och en fin övning med facit: andragradsekvationer alla metoder av Svetlana och Anders.

Faktorisera andragradsekvationer (nollpunktsmetoden). Här är det givet att du ska faktorisera men du får öva dig på hur.

[redigera]

Förstå rötterna grafiskt

Hela konnstruktionen finns här (med frågor och diskussioner).

[redigera]

Swayen till detta avsnitt: Andragradskvationer
läromedel: Enkla andragradsekvationer
Läs om Andragradsekvationer

Problemlösning med ekvationer

Repetition inför prov Algebra Ma2C
Facit och bedömning: Christers bedömningsmall från mellandagen bör finnas här. Lösningen är till Prov 1 ver 4 (2013). Lägg på SlideShare.
Diagnos 2 med pq-formeln

Du kan printa denna! Snabbdiagnos 2

rs-formeln

rs-formeln är en variant av pq-formeln:

[math]\displaystyle{ x^2 = rx + s }[/math]

ger

[math]\displaystyle{ x = \frac{r}{2} \pm \sqrt{(\frac{r}{2})^2+s} }[/math]

(Färre minustecken.)

Kan du förklara hur rs-formeln funkar?

Lär dig begreppen på engelska

Genom att se PowerPointen till höger blir du bättre på att lösa andragradsekvationer genom faktorisering.

Rs solving graphingquadraticequation

Andragradsekvationer

Fullständiga andragradsekvationer

pq-formeln - Förklaring

pq-formeln - Exempel

Faktorisering för att lösa andragradsekvationer

Härledning av pq-formeln genom kvadratkomplettering

Pythonlösning

Dataövning

Hur det började

GGB-bok

Kan du kvadratkomplettera?

Lös andragradsekvationer på Khan academy:

Matematikdueller

Sorteringsövningar och val av metod

Förstå rötterna grafiskt

rs-formeln

Lär dig begreppen på engelska

Välja lämplig metod för att lösa en andragradsekvation

Se två filmer med Michael Bondestam

Exit ticket

Navigeringsmeny

Andragradsekvationer

Fullständiga andragradsekvationer

pq-formeln - Förklaring

pq-formeln - Exempel

Faktorisering för att lösa andragradsekvationer

Härledning av pq-formeln genom kvadratkomplettering

Pythonlösning

Dataövning

Hur det började

GGB-bok

Kan du kvadratkomplettera?

Lös andragradsekvationer på Khan academy:

Matematikdueller

Sorteringsövningar och val av metod

Förstå rötterna grafiskt

rs-formeln

Lär dig begreppen på engelska

Välja lämplig metod för att lösa en andragradsekvation

Se två filmer med Michael Bondestam

Exit ticket

Navigeringsmeny

Sök