Logaritmer
Tillämpningar
Historiska tillämpningar inom sjöfart
Filmerna visar hur man navigerade förr i tiden, hur sextanten och kronografens uppfinningar förbättrade precisionen i navigeringen.
För att bestämma positionen utifrån uppmätt solhöjd krävdes beräkningar som innefattade multiplikationer av stora tal vilket var tidsödande. Genom att logaritmera omvandlades multiplikationen till en addition vilket är mycket enklare och därmed tidsbesparande.
Logaritmvärdena hämtades ur tryckta tabeller.
Logaritmer och funktionen y = 10x
Logaritmen för ett tal a är den exponent x till vilket ett givet tal, basen b, måste upphöjas för att anta värdet a:
- a = bx
Logaritmernas uppfinnare anses skotten John Napier (1600-talet) vara.
Texten i ovanstående avsnitt kommer från Wikipedia.se
Logaritmerna var väldigt användbara genom att man kunde göra om en multiplikation till en addition. Istället för att multiplicera talen logaritmerar man talen adderar dem och tar sedan antilogaritmen av talen. Det låter krångligt men spar mycket tid om det är tal med många siffror som ska multipliceras. Från 1600-talet och framåt tog man fram tabeller med värden för logaritmen av olika tal, exempelvis 1-1000.
Läs mer här: Eng WP Läs stycket Logarithm tables, slide rules, and historical applications
Lektion med laborativa delar - Mäta solhöjden
Tillämpningar inom naturvetenskap
- Läs mer om: Linjära och exponentiella modeller
- Logaritmiska modeller exempel med pH, Richterskalan och decibel
Teori
Enkla tiopotenser
| Exempel |
|---|
| tiopotenser
Du behöver känna till några av de vanligaste tiopotenserna:
Tänk dig nu att det finns oändligt många fler potenser 10x där x inte är ett heltal. |
Inversen
Det finns en del motsatser, bland våra matematiska operationer, som upphäver varandras verkan.
Tänk bara på addition och subtraktion med plus (+) och minus (-).
Ibland talar man om inversen. Man säger att den additiva inversen till ett tal n är dess inversa element (det motsatta talet -n ) under den binära operationen addition. Det motsatta talet kan beräknas genom multiplikation med −1; det vill säga, −n = (−1) · n.
Multiplikation (*) och division (/) är en annan.
Den (multiplikativa) inversen till [math]\displaystyle{ x }[/math] är [math]\displaystyle{ \frac{1}{x} }[/math]. Det gäller också att : [math]\displaystyle{ x \cdot \frac{1}{x} = 1 }[/math]
Man talar om inversa funktioner.
Det är på samma sätt med potensfunktionen och logaritmen.
Invers funktion eller bara invers (av ”invertera” och av latinets invertere ”omvända”) är inom matematiken namnet på en funktion som upphäver en annan funktion. Den inversa funktionen [math]\displaystyle{ f^{-1} }[/math] till en funktion [math]\displaystyle{ f }[/math] är sådan att [math]\displaystyle{ f^{-1}(f(x)) = x. }[/math]
Om vi har en funktion [math]\displaystyle{ y=f(x) }[/math] kan vi söka lösa ekvationen med avseenda av x, så att [math]\displaystyle{ x=f^{-1}(y) }[/math]
| Exempel |
|---|
| Inversa funktioner
Några inversa funktioner är :
|
Alla värden är möjliga
Dra i glidare ovan så ser du att det finns ett y-värde för varje x-värde.
Och omvänt ett x-värde för varje y-värde.
Potensfunktionen gäller för både positiva och negativa x-värden men y blir alltid positivt. Y blir väldigt litet för stora negativa x.
| Uppgift |
|---|
| Gissa grafens utseende
Skriv en funktionen [math]\displaystyle{ f(x) = 10^x }[/math] Resonera dig fram till hur grafen [math]\displaystyle{ g(x) = \log_{10}{f(x)} }[/math] ser ut. Testa om det stämmer.
|
Förstå vad logaritmer är
| Definition |
|---|
| Logaritmer
Logaritmen av a är den exponent x till vilken man ska upphöja 10 för att få talet a eller [math]\displaystyle{ \log{a} = }[/math] är det talet basen 10 ska höjas med för att få a eller
eller [math]\displaystyle{ \log{10^x} = x }[/math] eller [math]\displaystyle{ 10^{\log{a}} = a }[/math] |
Andra beteckningar
Andra beteckningssätt för log10 a är log a och lg a.
Grafen för logaritmerna
Tänk på att potensfunktionen och logaritmen är inversa (motsatser.
Exempelvis kan 10 skrivas som 101. Därför är log 10 = 1.
Och 100 kan skrivas som 102. Därför är log 100 = 2.
Log 1 = 0
Man kan inte logaritmera ett negativt värde (utan att ta till komplexa tal).
Aktivitet
Repetera - Exponentialfunktioner
Potensfunktionen y=10x
Använd GeoGebra och skapa grafen f(x) = 10x.
Skapa en glidare a.
Lägg en punkt på grafen A = (a,f(a))
Lägg in linjer vinkelräta axlarna.
Skapa skärningspunkter mellan linjerna och axlarna.
Visa punkternas värden.
Lägg in text som visar (med Advanced och GGB-symbol) x-, respektive y-värdet. Ex x(B).
Positionera textrrutan i förhållande till punkten på axeln.
Ekvationen 2x = 3
Dessa och liknade ekvationer löser man genom att logaritmera båda sidorna.
Varför är det så?
Om 102a+3b = 10y så innebär det att 2a+3b = y
Om log(2a+3b) = log y så innebär det att 2a+3b = y
Om log 10x = log 27 så innebär det att 10x = 27
Om man går åt andra hållet kan man säga att om 10x = 27 så innebär det att log 10x = log 27
Nu har vi hittat en metod att lösa ekvationer med exponentialfunktioner. Den kallas att logaritmera.
Exempel
Lös ekvationen 102x = 200
Logaritmering av båda sidorna ger
log 102x = log 200
2x = log 200
x = log (200) /2
Tillämpningar på exponentiell förändring med några uppgifter och övningar
Lär mer
|
|
|
|
|
|
.svg)
Diagnos
Kort diagnos: mathcentre Överkurs (limes)