Logaritmer

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök


[redigera]
Mål för undervisningen Logaritmer

Här definierar, förklarar, undersöker och diskuterar vi logaritmer.


Här lär vi oss mer om exponentialfunktioner och hur vi med hjälp av logaritmer kan lösa exponentialekvationer. Logaritmen kan beskrivas som den inversa funktionen till exponentialfunktionen.


Logaritmer

Graf över tiologaritmen

Varje ruta på axlarna är en enhet. Samtliga grafer avbildar punkten (1,  0) då alla tal upphöjda till 0 är lika med 1 och dessutom punkten (b, 1) för basen b, då ett tal upphöjt till 1 är lika med talet självt. Graferna har högergränsvärdet -∞ då x -> 0 från höger.]]

Definition

Logaritmen för ett tal a är den exponent x till vilket ett givet tal, basen b, måste upphöjas för att anta värdet a:


Logaritmernas uppfinnare anses vara skotten John Napier (1600-talet).

Texten i ovanstående avsnitt kommer från Wikipedia.se

Logaritmerna var väldigt användbara genom att man kunde göra om en multiplikation till en addition. Istället för att multiplicera talen logaritmerar man talen adderar dem och tar sedan antilogaritmen av talen. Det låter krångligt men spar mycket tid om det är tal med många siffror som ska multipliceras. Från 1600-talet och framåt tog man fram tabeller med värden för logaritmen av olika tal, exempelvis 1-1000.

Läs mer här: Eng WP Läs stycket Logarithm tables, slide rules, and historical applications

Enkla tiopotenser

Exempel
tiopotenser

Du behöver känna till några av de vanligaste tiopotenserna:

1000 kan skrivas som 103
100 kan skrivas som 102
10 kan skrivas som 101
1 kan skrivas som 100
0.1 kan skrivas som 10-1
0.01 kan skrivas som 10-2

Tänk dig nu att det finns oändligt många fler potenser 10x där x inte är ett heltal.


Grafen för logaritmerna

Tänk dig att potenser och logaritmer är inverser (motsatser).

Exempelvis kan 10 skrivas som 101. Därför är log 10 = 1.

Och 100 kan skrivas som 102. Därför är log 100 = 2.

Log 1 = 0

Man kan inte logaritmera ett negativt värde (utan att ta till komplexa tal).

Inversen

Det finns en del motsatser, bland våra matematiska operationer, som upphäver varandras verkan.

Tänk bara på addition och subtraktion med plus (+) och minus (-).

Ibland talar man om inversen. Man säger att den additiva inversen till ett tal n är dess inversa element (det motsatta talet -n ) under den binära operationen addition. Det motsatta talet kan beräknas genom multiplikation med −1; det vill säga, −n = (−1) · n.

Multiplikation (*) och division (/) är en annan.

Den (multiplikativa) inversen till x är 1x. Det gäller också att : x1x=1

Man talar om inversa funktioner.

Det är på samma sätt med potensfunktionen och logaritmen.

Invers funktion eller bara invers (av ”invertera” och av latinets invertere ”omvända”) är inom matematiken namnet på en funktion som upphäver en annan funktion. Den inversa funktionen f1 till en funktion f är sådan att f1(f(x))=x.

Om vi har en funktion y=f(x) kan vi söka lösa ekvationen med avseenda av x, så att x=f1(y)

Exempel
Inversa funktioner

Några inversa funktioner är :

f(x)=x+a och f1(x)=xa
f(x)=xa och f1(x)=xa,a0
f(x)=x och f1(x)=1x,x0
f(x)=sinx och f1(x)=sin1(x)=arcsin(x),1x1
f(x)=ex och f1(x)=ln(x). Det gäller att eln(x)=x.
f(x)=ln(x) och f1(x)=ex. Det gäller att ln(ex)=x.


Alla värden är möjliga

Dra i glidare ovan så ser du att det finns ett y-värde för varje x-värde.

Och omvänt ett x-värde för varje y-värde.

Exponentialfunktionen gäller för både positiva och negativa x-värden men y blir alltid positivt. Y blir väldigt litet för stora negativa x.

Förstå vad logaritmer är

Definition
Logaritmer

Logaritmen av a är den exponent x till vilken man ska upphöja 10 för att få talet a

eller

loga= är det talet basen 10 ska höjas med för att få a

eller

a=10xx=log10a.

eller

log10x=x

eller

10loga=a


Andra beteckningar

Andra beteckningssätt för log10 a är log a och lg a.