Logaritmer

Tillämpningar

Historiska tillämpningar inom sjöfart

Load video

YouTube

YouTube might collect personal data. Privacy Policy

ContinueDismiss

How to Navigate by the Sun

Load video

YouTube

YouTube might collect personal data. Privacy Policy

ContinueDismiss

How does math guide our ships at sea? - George Christoph

Load video

YouTube

YouTube might collect personal data. Privacy Policy

ContinueDismiss

Från TEDEd

Filmerna visar hur man navigerade förr i tiden, hur sextanten och kronografens uppfinningar förbättrade precisionen i navigeringen.

För att bestämma positionen utifrån uppmätt solhöjd krävdes beräkningar som innefattade multiplikationer av stora tal vilket var tidsödande. Genom att logaritmera omvandlades multiplikationen till en addition vilket är mycket enklare och därmed tidsbesparande.

Logaritmvärdena hämtades ur tryckta tabeller.

Logaritmer och funktionen y = 10^x

Logaritmfunktioner, ritade för olika baser. Röd graf svarar mot basen e, grön graf mot basen 10, och lila graf mot basen 1.7. Varje ruta på axlarna är en enhet. Samtliga grafer avbildar punkten (1,  0) då alla tal upphöjda till 0 är lika med 1 och dessutom punkten (b, 1) för basen b, då ett tal upphöjt till 1 är lika med talet självt. Graferna har högergränsvärdet -∞ då x -> 0 från höger.

Logaritmen för ett tal a är den exponent x till vilket ett givet tal, basen b, måste upphöjas för att anta värdet a:

a = b^x

Logaritmernas uppfinnare anses skotten John Napier (1600-talet) vara.

Texten i ovanstående avsnitt kommer från Wikipedia.se

Logaritmerna var väldigt användbara genom att man kunde göra om en multiplikation till en addition. Istället för att multiplicera talen logaritmerar man talen adderar dem och tar sedan antilogaritmen av talen. Det låter krångligt men spar mycket tid om det är tal med många siffror som ska multipliceras. Från 1600-talet och framåt tog man fram tabeller med värden för logaritmen av olika tal, exempelvis 1-1000.

Läs mer här: Eng WP Läs stycket Logarithm tables, slide rules, and historical applications

Tillämpningar inom naturvetenskap

Läs mer om: Linjära och exponentiella modeller

Logaritmiska modeller exempel med pH, Richterskalan och decibel

Teori

Enkla tiopotenser

Exempel
tiopotenser Du behöver känna till några av de vanligaste tiopotenserna: 1000 kan skrivas som 103 100 kan skrivas som 102 10 kan skrivas som 101 1 kan skrivas som 100 0.1 kan skrivas som 10-1 0.01 kan skrivas som 10-2 Tänk dig nu att det finns oändligt många fler potenser 10x där x inte är ett heltal.

Inversen

Det finns en del motsatser, bland våra matematiska operationer, som upphäver varandras verkan.

Tänk bara på addition och subtraktion med plus (+) och minus (-).

Ibland talar man om inversen. Man säger att den additiva inversen till ett tal n är dess inversa element (det motsatta talet -n ) under den binära operationen addition. Det motsatta talet kan beräknas genom multiplikation med −1; det vill säga, −n = (−1) · n.

Multiplikation (*) och division (/) är en annan.

Den (multiplikativa) inversen till [math]\displaystyle{ x }[/math] är [math]\displaystyle{ \frac{1}{x} }[/math]. Det gäller också att : [math]\displaystyle{ x \cdot \frac{1}{x} = 1 }[/math]

Man talar om inversa funktioner.

Det är på samma sätt med potensfunktionen och logaritmen.

Invers funktion eller bara invers (av ”invertera” och av latinets invertere ”omvända”) är inom matematiken namnet på en funktion som upphäver en annan funktion. Den inversa funktionen [math]\displaystyle{ f^{-1} }[/math] till en funktion [math]\displaystyle{ f }[/math] är sådan att [math]\displaystyle{ f^{-1}(f(x)) = x. }[/math]

Om vi har en funktion [math]\displaystyle{ y=f(x) }[/math] kan vi söka lösa ekvationen med avseenda av x, så att [math]\displaystyle{ x=f^{-1}(y) }[/math] och sedxan

Exempel

Inversa funktioner Några inversa funktioner är : [math]\displaystyle{ f(x)=x+a }[/math] och [math]\displaystyle{ f^{-1}(x)= x-a }[/math] [math]\displaystyle{ f(x)=x\cdot a }[/math] och [math]\displaystyle{ f^{-1}(x)= \frac{x}{a}, a \ne 0 }[/math] [math]\displaystyle{ f(x)= x }[/math] och [math]\displaystyle{ f^{-1}(x)= \frac{1}{x}, x \ne 0 }[/math] [math]\displaystyle{ f(x)=sin x }[/math] och [math]\displaystyle{ f^{-1}(x)= sin^{-1}(x)=\arcsin(x), -1 \le x \le 1 }[/math] [math]\displaystyle{ f(x)=e^x }[/math] och [math]\displaystyle{ f^{-1}(x)=ln(x) }[/math]. Det gäller att [math]\displaystyle{ e^{ln(x)}= x. }[/math] [math]\displaystyle{ f(x)=ln(x) }[/math] och [math]\displaystyle{ f^{-1}(x)=e^x }[/math]. Det gäller att [math]\displaystyle{ ln(e^x)= x. }[/math]

Alla värden är möjliga

Dra i glidare ovan så ser du att det finns ett y-värde för varje x-värde.

Och omvänt ett x-värde för varje y-värde.

Potensfunktionen gäller för både positiva och negativa x-värden men y blir alltid positivt. Y blir väldigt litet för stora negativa x.

Uppgift
Gissa grafens utseende Skriv en funktionen [math]\displaystyle{ f(x) = 10^x }[/math] Resonera dig fram till hur grafen [math]\displaystyle{ g(x) = \log_{10}{f(x)} }[/math] ser ut. Testa om det stämmer.

Definitioner

Definition
Logaritmer Logaritmen av a är den exponent x till vilken man ska upphöja 10 för att få talet a eller [math]\displaystyle{ \log{a} = }[/math] är det talet basen 10 ska höjas med för att få a eller [math]\displaystyle{ a = 10^x \Leftrightarrow x = \log_{10}a }[/math]. eller [math]\displaystyle{ \log{10^x} = x }[/math] eller [math]\displaystyle{ 10^{\log{a}} = a }[/math]

Andra beteckningar

Andra beteckningssätt för log₁₀ a är log a och lg a.

Grafen för logaritmerna

Graf över tiologaritmen

Tänk på att potensfunktionen och logaritmen är inversa (motsatser.

Exempelvis kan 10 skrivas som 10¹. Därför är log 10 = 1.

Och 100 kan skrivas som 10². Därför är log 100 = 2.

Log 1 = 0

Man kan inte logaritmera ett negativt värde (utan att ta till komplexa tal).

Aktivitet

Potensfunktionen y=10^x

grafen visar y = 10^x

För varje x-värde finns ett y-värde som är 10^x

Omvänt gäller också: För varje y-värde finns ett finns ett x-värde som är log y

Originalet finns på min HD.

Ekvationen 2^x = 3

Dessa och liknade ekvationer löser man genom att logaritmera båda sidorna.

Varför är det så?

Om 10^2a+3b = 10^y så innebär det att 2a+3b = y

Om log(2a+3b) = log y så innebär det att 2a+3b = y

Om log 10^x = log 27 så innebär det att 10^x = 27

Om man går åt andra hållet kan man säga att om 10^x = 27 så innebär det att log 10^x = log 27

Nu har vi hittat en metod att lösa ekvationer med exponentialfunktioner. Den kallas att logaritmera.

Exempel

Lös ekvationen 10^2x = 200

Logaritmering av båda sidorna ger

log 10^2x = log 200

2x = log 200

x = log (200) /2

Lär mer

Repetition logaritmer

Diagnos

Kort diagnos: mathcentre Överkurs (limes)