Logaritmer

Teori

Aktivitet - Skapa GGB

Resonemangsuppgift

Historiska tillämpningar

Lär mer

[redigera]

Här lär vi oss mer om exponentialfunktioner och hur vi med hjälp av logaritmer kan lösa exponentialekvationer. Logaritmen kan beskrivas som den inversa funktionen till exponentialfunktionen.

Logaritmer

Graf över tiologaritmen

Varje ruta på axlarna är en enhet. Samtliga grafer avbildar punkten (1,  0) då alla tal upphöjda till 0 är lika med 1 och dessutom punkten (b, 1) för basen b, då ett tal upphöjt till 1 är lika med talet självt. Graferna har högergränsvärdet -∞ då x -> 0 från höger.]]

Definition
Logaritmen för ett tal a är den exponent x till vilket ett givet tal, basen b, måste upphöjas för att anta värdet a:

Logaritmernas uppfinnare anses vara skotten John Napier (1600-talet).

Texten i ovanstående avsnitt kommer från Wikipedia.se

Logaritmerna var väldigt användbara genom att man kunde göra om en multiplikation till en addition. Istället för att multiplicera talen logaritmerar man talen adderar dem och tar sedan antilogaritmen av talen. Det låter krångligt men spar mycket tid om det är tal med många siffror som ska multipliceras. Från 1600-talet och framåt tog man fram tabeller med värden för logaritmen av olika tal, exempelvis 1-1000.

Läs mer här: Eng WP Läs stycket Logarithm tables, slide rules, and historical applications

Enkla tiopotenser

Exempel
tiopotenser Du behöver känna till några av de vanligaste tiopotenserna: 1000 kan skrivas som 103 100 kan skrivas som 102 10 kan skrivas som 101 1 kan skrivas som 100 0.1 kan skrivas som 10-1 0.01 kan skrivas som 10-2 Tänk dig nu att det finns oändligt många fler potenser 10x där x inte är ett heltal.

Grafen för logaritmerna

Tänk dig att potenser och logaritmer är inverser (motsatser).

Exempelvis kan 10 skrivas som 10¹. Därför är log 10 = 1.

Och 100 kan skrivas som 10². Därför är log 100 = 2.

Log 1 = 0

Man kan inte logaritmera ett negativt värde (utan att ta till komplexa tal).

Inversen

Det finns en del motsatser, bland våra matematiska operationer, som upphäver varandras verkan.

Tänk bara på addition och subtraktion med plus (+) och minus (-).

Ibland talar man om inversen. Man säger att den additiva inversen till ett tal n är dess inversa element (det motsatta talet -n ) under den binära operationen addition. Det motsatta talet kan beräknas genom multiplikation med −1; det vill säga, −n = (−1) · n.

Multiplikation (*) och division (/) är en annan.

Den (multiplikativa) inversen till [math]\displaystyle{ x }[/math] är [math]\displaystyle{ \frac{1}{x} }[/math]. Det gäller också att : [math]\displaystyle{ x \cdot \frac{1}{x} = 1 }[/math]

Man talar om inversa funktioner.

Det är på samma sätt med potensfunktionen och logaritmen.

Invers funktion eller bara invers (av ”invertera” och av latinets invertere ”omvända”) är inom matematiken namnet på en funktion som upphäver en annan funktion. Den inversa funktionen [math]\displaystyle{ f^{-1} }[/math] till en funktion [math]\displaystyle{ f }[/math] är sådan att [math]\displaystyle{ f^{-1}(f(x)) = x. }[/math]

Om vi har en funktion [math]\displaystyle{ y=f(x) }[/math] kan vi söka lösa ekvationen med avseenda av x, så att [math]\displaystyle{ x=f^{-1}(y) }[/math]

Exempel

Inversa funktioner Några inversa funktioner är : [math]\displaystyle{ f(x)=x+a }[/math] och [math]\displaystyle{ f^{-1}(x)= x-a }[/math] [math]\displaystyle{ f(x)=x\cdot a }[/math] och [math]\displaystyle{ f^{-1}(x)= \frac{x}{a}, a \ne 0 }[/math] [math]\displaystyle{ f(x)= x }[/math] och [math]\displaystyle{ f^{-1}(x)= \frac{1}{x}, x \ne 0 }[/math] [math]\displaystyle{ f(x)=sin x }[/math] och [math]\displaystyle{ f^{-1}(x)= sin^{-1}(x)=\arcsin(x), -1 \le x \le 1 }[/math] [math]\displaystyle{ f(x)=e^x }[/math] och [math]\displaystyle{ f^{-1}(x)=ln(x) }[/math]. Det gäller att [math]\displaystyle{ e^{ln(x)}= x. }[/math] [math]\displaystyle{ f(x)=ln(x) }[/math] och [math]\displaystyle{ f^{-1}(x)=e^x }[/math]. Det gäller att [math]\displaystyle{ ln(e^x)= x. }[/math]

Alla värden är möjliga

Dra i glidare ovan så ser du att det finns ett y-värde för varje x-värde.

Och omvänt ett x-värde för varje y-värde.

Exponentialfunktionen gäller för både positiva och negativa x-värden men y blir alltid positivt. Y blir väldigt litet för stora negativa x.

Förstå vad logaritmer är

Definition
Logaritmer Logaritmen av a är den exponent x till vilken man ska upphöja 10 för att få talet a eller [math]\displaystyle{ \log{a} = }[/math] är det talet basen 10 ska höjas med för att få a eller [math]\displaystyle{ a = 10^x \Leftrightarrow x = \log_{10}a }[/math]. eller [math]\displaystyle{ \log{10^x} = x }[/math] eller [math]\displaystyle{ 10^{\log{a}} = a }[/math]

Andra beteckningar

Andra beteckningssätt för log₁₀ a är log a och lg a.

[redigera]

Repetera - Exponentialfunktioner

Potensfunktionen y=10^x

Använd GeoGebra och skapa grafen f(x) = 10^x.

Skapa en glidare a.

Lägg en punkt på grafen A = (a,f(a))

Lägg in linjer vinkelräta axlarna.

Skapa skärningspunkter mellan linjerna och axlarna.

Visa punkternas värden.

Lägg in text som visar (med Advanced och GGB-symbol) x-, respektive y-värdet. Ex x(B).

Positionera textrrutan i förhållande till punkten på axeln.

Exponentialekvationer

Du kan gå vidare till detta avsnitt som kommer senare,

[redigera]

Uppgift
Gissa grafens utseende Skriv en funktionen [math]\displaystyle{ f(x) = 10^x }[/math] Resonera dig fram till hur grafen [math]\displaystyle{ g(x) = \log_{10}{f(x)} }[/math] ser ut. Testa om det stämmer.

[redigera]

Historiska tillämpningar inom sjöfart

Filmerna visar hur man navigerade förr i tiden, hur sextanten och kronografens uppfinningar förbättrade precisionen i navigeringen.

För att bestämma positionen utifrån uppmätt solhöjd krävdes beräkningar som innefattade multiplikationer av stora tal vilket var tidsödande. Genom att logaritmera omvandlades multiplikationen till en addition vilket är mycket enklare och därmed tidsbesparande.

Logaritmvärdena hämtades ur tryckta tabeller.

[redigera]

Logaritmer på andra baser

[[Fil:Logarithms.png|left|thumb|Logaritmfunktioner, ritade för olika baser. Röd graf svarar mot basen e, grön graf mot basen 10, och lila graf mot basen 1.7.

Hittills har vi bara gått igenom logaritmer med basen 10, men det går att definiera alla positiva tal som potenser av andra baser än 10 till exempel

[math]\displaystyle{ 9=3^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ 16=2^4 }[/math]

Och eftersom vi kan skriva alla tal som potenser med andra baser så kan vi också skriva dem på andra logaritmer. På samma sätt som vi kan skriva tal på basen 10 som tiologaritmer så kan vi skriva potenser med basen 3 på trelogaritmer.

Definitionen för logaritmer med basen a ser ut som följer

[math]\displaystyle{ y=a^x⇔log_a y = x }[/math]

Den här definitionen gäller som du sett tidigare för tiologartimer

[math]\displaystyle{ 1000=10^3 ⇔ log_{10}~1000 = 3 }[/math]

Med exemplen på andra baser ovan ser vi att:

[math]\displaystyle{ 9=3^2 ⇔ log_3~9 = 2 }[/math]

[math]\displaystyle{ 16=2^4 ⇔ log_2~16 = 4 }[/math]

Uppgift
Logaritmer på andra baser Vad är: [math]\displaystyle{ log_4~64 }[/math] ?

Repetera

Repetition logaritmer med exempellösningar och fler länkar och filmer.

Fördjupning med laborativa delar - Mäta solhöjden

Tillämpningar inom naturvetenskap

Läs mer om: Linjära och exponentiella modeller

Wikipedia:Mathematical_table

Logaritmiska modeller exempel med pH, Richterskalan och decibel

En svår diagnos

Kort diagnos: mathcentre Överkurs (limes)

Exit ticket

Exit ticket: Quiz i Canvas utifrån logaritmfilmen (den tredje)