Lägesmått och spridningsmått

Teori

Exempeluppgift - medelvärde

Uppgift

GeoGebra

Excel & Drive

Python

Lär mer

[redigera]

Medelvärde och standardavvikelse

Medelvärde

Det lägesmått som är det vanligast använda kallas för medelvärdet. Medelvärdet är definierat som summan av alla ingående observationer dividerat med antalet observationer. Medelvärdet ger ofta en bra sammanfattning av en serie observationer, men om det är stor spridning på ens observationers värden kan man få ett visserligen korrekt, men missvisande, medelvärde.

Median

Om vi sorterar alla våra observationer i storleksordning och sedan undersöker det värde som hamnar i mitten av denna sorterade serie observationer, så har vi hittat medianen. Har vi ett jämnt antal observationer i vår serie så har man inget enskilt observationsvärde som kan utgöra medianen - i dessa fall beräknar man medianen som medelvärdet av de två mittersta observationsvärdena.

Medianen är ett lämpligare lägesmått än medelvärdet om vi har en serie observationer där det finns enstaka värden (mycket stora eller mycket små värden) som annars riskerar att leda till att medelvärdet ger en skev bild av serien som helhet.

Typvärde

Det observationsvärde som förekommer flest antal gånger i en serie värden kallas för typvärdet.

Medelvärde, median och typvärde är alla exempel på olika lägesmått. Lägesmått kan vara användbara eftersom de ger en snabb överblick över en stor mängd observationsvärden och därigenom förhoppningsvis säger någonting om värdena i serien.

För att kunna jämföra olika serier observationsvärden vill vi även veta hur stor spridningen är bland värdena. På samma sätt som det finns olika lägesmått finns det olika spridningsmått.

Standardavvikelse

Standardavvikelsen är ett spridningsmått som ofta används.

Med standardavvikelsen menar vi ett mått på den genomsnittliga avvikelsen från medelvärdet i en serie observationsvärden. Ju större standardavvikelsen är, desto större är spridningen bland våra observationsvärden.

Definition

Medelvärde, variationsbredd och standardavvikelse Aritmetiskt medelvärde: [math]\displaystyle{ \, M(x) =\mu = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i }[/math] Medelvärdet kan även anges som [math]\displaystyle{ \overline{x} }[/math]. Variationsbredd är inom statistik ett mått på skillnaden mellan det minsta och största värdet i ett givet material. Variationsbredden räknas ut genom att ta skillnaden mellan max- och min-värdet i en datatabell. Standardavvikelse för ett stickprov kan skrivas: [math]\displaystyle{ s = \sqrt{\frac{ (x_1 - \overline{x})^2 + (x_2 - \overline{x})^2 + ... + (x_n - \overline{x})^2}{n-1} }. }[/math] där s är standardavvikelsen, [math]\displaystyle{ \overline{x} }[/math] är medlevärdet och n är antalet värden.

Mycket av texten på denna sida kommer från Matteboken.

Varationsbredd och låddiagram

Figure 2. Boxplot with whiskers from minimum to maximum

Definition

Låddiagram Lådagram, låddiagram eller boxplot är ett diagram där ett statistiskt material åskådliggörs i form av en låda, som rymmer den mittersta hälften av materialet. Lådagrammet sammanfattar materialet med hjälp av fem värden: medianvärdet, undre och övre kvartilen samt minimum och maximum. Eventuella extremvärden betraktas som utliggare och markeras med egna symboler. Wikipedia skriver om Lådagram

Låddiagram är inte så vanligt förekommande i nyhetsprogram och tidningar men dyker ofta upp på prov i Ma2c.

[redigera]

[redigera]

Polarisen

Uppgift
När började polarisarna smälta Följ länken till Arctic Sea Ice News & Analysis Undersök vilket år isens areae hamnade utanför två standardavvikelser från medelvärdet under åren 1979-2000.

[redigera]

Statistikfunktioner i GeoGebra Graphic

Mått

Det finns kommandon som ger dig medelvärde, standardavvikelse, Standardavvikelse för urval, mm som du kör i Grafikläget. I dessa exempel kan du ersätta listan med namnet på en lista.

Skapa en lista med värden. l1= {1,3,2,4,11,12}

Standardavvikelse: stdev( <Lista med tal (rådata)> )

Typvärde: Typvärde( <Lista med tal> )

Minsta värde: Min( <List> )

Största värde: Max( <List> )

Diagrram

Det finns kommandon som ger dig diagram, exempelvis stapeldiagram

Låddiagram: BoxPlot[0,1,{4, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 9, 11, 12, 3, 4}] så får du ditt diagram i ritfönstret:

Stapeldiagram: Stapeldiagram( <Lista med rådata>, <Staplarnas bredd>, <Vertikal Skalfaktor (optional)> )

Stolpdiagram: Stolpdiagram( <Lista med punkter> ) Exempelvis Lista3= {A,B,C,D,E,F,G,H,I,J}

Stapeldiagram: Histogram( <Lista med klassgränser>, <Lista med höjder> )

Du kan även leta rätt på andra kommandon för vad du nu vill skapa. Börjar du skriva på kommandoraden så får du förslag från GGB.

Standardavvikelse i GeoGebra

Kör GeoGebra som Grafräknare.

Skapa listan genom att skriva in exempelvis {1,3,2,4,11,12}. GeoGebra kommer att döpa din lista till Lista₁.

Nu kan du skriva standardavvikelse och GeoGebra kommer att ge dig olika förslag. Välj till exempel standardavvikelse för urval och Skriv in Lista₁ (här får du använda under score).

Övning

Här kan du också lära dig skapa stapeldiagram i Geogebra

GeoGebra Classic

Siffrorna ovan kan man exempelvis klippa in i GeoGebra Classics kalkylblad. Problemet är att data kommer på en rad och är svåröverskådliga men man kan få fram medelvärde, standardavvikelse mm genom att klicka på en knapp.

Tips: Det finns enklare sätt att få in data men om man kopiera direkt hamnar alla tal i en ruta. Sätter man däremot listan mellan måsvingar så skapaas en lista.

{4, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 9, 11, 12, 3, 4}

Klicka på knappen för analys, se bildens.

[redigera]

Excel

Skriv likhetstecken i cellen, välj kommando och markera de celler där data ingår.

Google Drive

Skriv likhetstecken i cellen, välj kommando och markera de celler där data ingår.

[redigera]

Undersök statistikfunktionen i Python

Här är några enkla statisktikfunktioenr som finns i Python.

Statistikbibliotek i Python

Det finns ett bibliotek med fler statistikfunktioner.

Medelvärde med listor i Python

[redigera]

Statistik i Excel – en introduktion, avThommy Perlinger, SU.

Exit ticket