Potensekvationer

Teori

Exempel

En löst uppgift

Aktivitet

GeoGebra - Öva själv

Python - Gissa talet

Uppgifter

Lär mer

[redigera]

Potensekvationen:

En potensekvation är en typ av ekvation där exakt en potens ingår, och basen okänd medan exponenten är ett känt reellt tal.

Ekvationen [math]\displaystyle{ x^a = b }[/math]

där a och b är reella tal, är en potensekvation.

När vi möter potensekvationer i Matematik 1c är exponenten [math]\displaystyle{ a }[/math] ofta 2, 3, 1/2 eller 1/3

Lösning: balansera ekvation genom exponentiering ("upphöjning").

[math]\displaystyle{ (x^a)^{1/a} = b^{1/a} }[/math]

[math]\displaystyle{ x = b^{1/a} }[/math]

Viktigt
Observera: Vid jämna exponenter finns det två lösningar, en positiv och en negativ. Exempel på en potensekvation med negativ rot: [math]\displaystyle{ x^2 = 4 }[/math] [math]\displaystyle{ x = \pm4 ^{1/2} }[/math] [math]\displaystyle{ x = \pm 2 }[/math] Alltså: [math]\displaystyle{ x_1 = - 2,~x_2 = 2 }[/math]

[redigera]

Exempel 1:

[math]\displaystyle{ x^2 = 4 }[/math]

[math]\displaystyle{ x = \pm4 ^{\frac{1}{2}} }[/math]

[math]\displaystyle{ x = \pm 2 }[/math]

Observera den negativa roten.

Exempel 2:

[math]\displaystyle{ x^3 = 8 }[/math]

[math]\displaystyle{ x = 8^{\frac{1}{3}} }[/math]

[math]\displaystyle{ x = 2 }[/math]

Exempel 3:

[math]\displaystyle{ x^2 = -1 }[/math]

Denna ekvation saknar reella lösningar. Vi kan inte ta roten ur ett negativt tal (ännu, vi lär oss det i ma2c) för då bildas imaginära tal.

Exempel 4:

[math]\displaystyle{ (x + 1)^2 = 16 }[/math]

Två fall:

[math]\displaystyle{ (x + 1) = -4 }[/math] och : [math]\displaystyle{ (x + 1) = 4 }[/math]

Med lösningarna:

[math]\displaystyle{ x + = -5 }[/math] och : [math]\displaystyle{ x = 3 }[/math]

Exempel 5:

En kvadrat har arean 144 cm². Hur lång är kvadratens sida?

Lösning:

[math]\displaystyle{ x^2 = 144 }[/math]

[math]\displaystyle{ x = \sqrt{144} }[/math]

[math]\displaystyle{ x = \pm{12} }[/math]

Eftersom sidor inte kan vara negativa är svaret 12 cm.

[redigera]

[redigera]

Undersök GGB:n.

Använd GeoGebran Nedan för att lösa följande uppgifter:

1. [math]\displaystyle{ x^2 = 4 }[/math]
2. [math]\displaystyle{ x^2 = 9 }[/math]
3. [math]\displaystyle{ x^3 = 8 }[/math]
4. [math]\displaystyle{ x^4 = 6 }[/math]
5. [math]\displaystyle{ x^3 = 27 }[/math]
6. [math]\displaystyle{ x^{1.5} = 5.5 }[/math]
7. [math]\displaystyle{ 2 \cdot x^2 = 8 }[/math]

GeoGebran visar [math]\displaystyle{ x^a = b }[/math]

Tips: Du kan skala en axel genom att trycka Shift och klicka och dra i axeln.

[redigera]

Potensekvationer, av Svetlana Yushmanova.

Potensekvationer 2

[redigera]

Gissa talet

Uppgift
Gissa ett tal Kör programmet tillsammans med en kompis. Kör det flera gånger. Vilken strategi ger minst antal gissningar? Finns det ett maximalt antal gissningar om man följer strategin? Hur kan du uttrycka maximala antalet gissningar som en funktion av intervallet talet ligger i?

Python-koden

# förklarar syftet med spelet
print("Detta spel handlar om att din kamrat ska gissa det tal som du matar in. Skriv in kamratens gissningar och läs upp vad programmet säger. ")

# Ange ett tal
number = input("Ange ett hemligt tal mellan 1 - 100. ")

# använd heltal
number = int(number)

# räknare
guess = 0
count = 0

# räknare
while guess != number:

# gissa talet
    guess = input ("Skriv in talet (mellan 1-100) din kamrat gissar på: ")
    if guess == "exit":
        break
# räkna gissningar
    guess = int(guess)
    count += 1
       
# jämför gissning med tal
    if guess < number:
        print("Talet du angav ar mindre än mitt hemliga tal.")
    elif guess > number:
        print("Talet du angav är större än mitt hemliga tal.")
    else:
        print("Grattis! Du har gissat talet som jag tänkt på  (matat in).")
        print("Talet är:",number,)        
        print("Och det har tagit dig",count,"gissningar.")
        
# visar resultatet så länge vi vill 
input("Tryck Enter för att avsluta programmet")

Uppgiften är inspirerad av Attila Szabo, Utbildningsförvaltningen Stockholm.

[redigera]

Uppgift 1

Lös ekvationen:

[math]\displaystyle{ 9 x^5 = 63 }[/math]

Uppgift definitionsmängd

GeoGebra är ett dynamiskt verktyg vilket innebär att du kan pröva vad som händer om man varierar en parameter. Till detta används glidare (sliders).

Uppgift
När är funktionen definierad för negativa x-värden? Skapa en glidare som heter k i Geogebra. Skriv helt enkelt k och klicka Skapa glidare. Glidaren kommer kommer automatiskt att ha intervallet [math]\displaystyle{ -5 \leq k \leq 5 }[/math] Skapa funktionen [math]\displaystyle{ f(x) = x^k }[/math] För vilka värden på k är funktionen definierad för negativa värden på x?

[redigera]

Lär mer GeoGebra

Sidan GeoGebra ger länkar till tutorials och en långfilm med Jonas Hall.

Exit ticket