Algebra 2C: Skillnad mellan sidversioner

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök
VisuellWikitext
 
(148 mellanliggande sidversioner av 3 användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
Kapitel 1 i boken Matematik 2C innehåller 16 delar vilket rimligen bör ta omkring 16 lektionstillfällen eller fyra veckor i anspråk.
== [[Intro Algebra Ma2C]]==


= Repetition =
== [[Förenkling av uttryck]] ==


 
== [[Ekvationer Ma2C]] ==
== Mål för wikiskola på denna sida ==
 
Ett mål för denna kurs är att varje avsnitt om möjligt ska ha ett videoklipp med någon som förklarar, relevant länk till Khan samt en GGB el dyl som anknyter till bokens teoridel. Dessutom vore det fint med några egna övningsuppgifter och någon datorövning.
 
== Intro ==
 
'''Kuriosa:''' [http://www.google.se/search?q=3x^2%2B3x%2B3%3D5&ie=utf-8&oe=utf-8&aq=t&rls=org.mozilla:sv-SE:official&client=firefox-a#sclient=psy-ab&hl=sv&client=firefox-a&hs=aAn&rls=org.mozilla:sv-SE%3Aofficial&source=hp&q=y%3D3x^2%2B3x%2B3%2C+y%3D100&pbx=1&oq=y%3D3x^2%2B3x%2B3%2C+y%3D100&aq=f&aqi=&aql=&gs_sm=e&gs_upl=29l3131l2l3711l5l5l0l0l0l0l221l843l0.4.1l5l0&bav=on.2,or.r_gc.r_pw.,cf.osb&fp=26d2ec7e6f870a19&biw=1118&bih=595 Grafer på Google]
 
'''Algebraintroti boken på sid 3'''
 
[http://sv.wikipedia.org/wiki/Girolamo_Cardano Gerolamo Cardano] funderade över lösingen till följande ekvation
 
Kan vi dela talet 8 i två delar så att deras produkt blir 25?
x(8-x) = 25
 
Ekvationen har följande rötter:
 
x = 4 + rot(-9)
x = 4 - rot(-9)
 
Ekvationen kan skrivas om på detta sätt:
 
8x - x<sup>2</sup> = 25
 
x<sup>2</sup> - 8x + 25 = 0
 
Men vad är roten ur -9? Det är ett imagint tal, som skrivs 3i. Kolla gärna Wolfram Alpha för en [http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%288-x%29%20%3D%2025&t=ff3tb01 lösning] till ekvationen ovan
 
== Förenkling av uttryck ==
 
'''Sats: Distributiva lagen'''
 
a(b+c) = ab + ac
 
== Ekvationer ==
 
Vid lösning av ekvationer kan du tänka att det är tillåtet att göra samma sak på båda sidor av likhetstecknet. Du kan addera samma sak på båda sidorna. Eller subtrahera samma sak på båda sidorna. På samma sätt kan du multiplicera eller dividera med samma sak på båda sidorna.
 
Detta kan du använda för att förkorta bort något på ena sidan och resultatet blir att den saken byter upp på andra sidan men med motsatt tecken (plus blir minus osv).
 
På denna sida från Matteboken.se finns en förklaring [http://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/algebra/skriva-om-formler skriva om hur man ändrar i ekvationer på detta sätt]. Titta gärna på filmen på sidan också.
 
När man får kläm på det här sättet att ändra i ekvationer brukar man helt enkelt flytta över saker till andra sidan och byta tecken. På så sätt kan man ändra en ekvation så att man får sitt x (eller vilken variabel man nu vill lösa ut) ensamt på en sida.


= Kvadrerings- och konjugatregler =
= Kvadrerings- och konjugatregler =
{{flipp|-}}
== [[Parentesmultiplikation]] ==


== Parentesmultiplikation ==
== [[Kvadreringsregeln Ma2C]] ==
 
=== Multiplikationen är både algebra och geometri ===
 
[[Fil:Abcd.png|thumb|(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd]]
 
Hur funkar det om man multiplicerar två parenteser med varandra?
 
'''Först inleder vi med ett exempel med siffror'''
 
En övning som visar exemplet nedan i bilder. Ett tal kan delas upp i sin entalsdel och sin tiotalsdel innan en multiplikation. <font color=darkgreen>PowerPoint</font color=darkgreen>. [[Media:Ganger_med_bilder.ppt|Gånger av tvåsiffriga tal ]]visas med hjälp av bilder. ''Detta är [[Övningar_tal_och_räkning_6B|ett exempel från grundskolan]].''
 
exempelvis
12*13=(10+2)*(10+3)=100+30+20+6.
 
'''Repetition aritmetik:''' Pappersövning i [[Media:Skriftlig_huvudrakning_ovning.doc|skriftlig huvudräkning]].
 
Tänk sedan att du gör samma sak med bokstäver
 
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
<br>
<ggb_applet width="796" height="511"  version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
[http://www.geogebratube.org/student/m3460 Hela filen kan laddas ner här].
<br>
<br>
=== Bevis som utgår från distributiva lagen ===
 
x(c+d) = xc+xd
 
Antag att x = a+b och sätt in i uttrycket ovan.
 
(a+b)c+(a+b)d
c(a+b)+d(a+b)
ca+cb+da+db
ac+bc+ad+bd    V.S.B.
 
Läs om [http://www.webbmatte.se/display_page.php?id=35&on_menu=231&page_id_to_fetch=668&lang=arabic&no_cache=163542237# distrributiva lagen på wwebbmatte].
 
== Kvadreringsregeln ==
 
(a+b)<sup>2</sup> = a<sup>2</sup>+2ab+b<sup>2</sup>
 
(a-b)<sup>2</sup> =  a<sup>2</sup>-2ab+b<sup>2</sup>
 
Förklaring
(a-b)<sup>2</sup> = 
(a-b)(a-b) =
a<sup>2</sup>-ab-ba+b<sup>2</sup> =          ( och ab = ba )
a<sup>2</sup>-2ab+b<sup>2</sup>                V.S.B.
 
 
'''Länkar:'''
 
* [http://matteboken.se/lektioner/matte-b/algebra-och-geometri/kvadreringsreglerna matteboken om kvadreringsreglerna]
* [http://sv.wikipedia.org/wiki/Kvadreringsregeln  Kvadreringsregeln på Wikipedia] (syns även nedan)
 
Bondestam respektive Wille på Mattecentrum om kvadreringsregeln:
 
<youtube>-r6q69yktQo</youtube><youtube>z752eJNWsXA</youtube>
<br>
<br>
Wikipedia (i utskriftsvänlig version) om kvadreringsregeln, nedan inklippt:
 
<html><iframe frameborder="0" marginheight="10"
marginwidth="10" name="wikipedia" scrolling="auto" src="http://sv.wikipedia.org/w/index.php?title=Kvadreringsreglerna&printable=yes" width="900" height="550"></iframe></html>
 
''Texten ovan är från Wikipedia och inklippt i en frame ''
 
== Konjugatregeln ==
 
=== Diagnos 11 ===
 
[[Lösningar till diagnos 11]]
 
'''Rättelse:''' I lösningen till uppgift 6 finns tyvärr inte med att lösningen även har en negativ rot. Detta kommer vi att gå in noggrannare på i avsnitt 1.3 som behandlar andragradsekvationer.
 
=== Teori ===
 
    Så här ser den ut:
    a<sup>2</sup>-b<sup>2</sup> = (a-b)(a+b)
 
    utför multiplikationen
    (a-b)(a+b) = a<sup>2</sup>ab-ba-b<sup>2</sup>
    (a-b)(a+b) = a<sup>2</sup>ab-ab-b<sup>2</sup>
    (a-b)(a+b) = a<sup>2</sup>b<sup>2</sup>
    V.S.B.
 
'''Länk:''' [http://en.wikipedia.org/wiki/Difference_of_two_squares engelska Wikipedia]
 
=== Film ===
 
Bondestam (tv) respektive Matteboken (th) förklarar:
 
<youtube>TmLbY5t3N5o</youtube><youtube>_cf5hMjgNR0</youtube>
 
 
=== Geometriskt bevis av konjugatregeln ===


'''Första beviset'''
== En första läxa ==


[[Fil:Difference_of_two_squares.png]]
Det är viktigt att vi kommer igång med att lära oss Geogebra.


'''Andra beviset'''
Första naturliga ingången är egentligen räta linjen där det blir en tydlig koppling mellan funktion och utseende.


[[Fil:800px-Difference_of_two_squares_geometric_proof.png]]
=== GGB-uppgift 1 ===


=== Uppgifter ===
Ladda ner programmet.


'''Khan: Parentesmultiplikation'''
Skriv in en valfri räta linjens funktion.


Hunnet så här långt kan vi repetera genom att lösa lite uppgifter på Khan Academy. De är dels av typen (a+b)(c+d) men också sådana som tillämpar kvadreringsregeln.
Ändra färg och tjocklek på grafen.


[http://www.khanacademy.org/exercise/multiplying_expressions_1 Khan om hur man multiplicerar binom] ska du verkligen öva på.
Ändra så att grafens egenskap syns.


'''Webbmatte'''
Mejla filen till din lärare.


* [http://www.webbmatte.se/display_page.php?id=35&on_menu=231&page_id_to_fetch=671&lang=arabic Konjugatregeln på Webbmatte]
== [[Konjugatregeln Ma2C]] ==


== Ekvationer med x<sup>2</sup>-term ==
== [[Ekvationer med x^2-term]] ==
 
'''Repetition'''
 
Uppgiften från förra lektionen att göra Khan ett tagskulle kunna vara en vettig repetition av föregående vecka.
 
=== Intro ===
 
Detta avsnitt handlar om ingenting kan man säga. Det handlar nämligen om ekvationer med x<sup>2</sup>-termer som försvinner vid förenklingen.
 
=== Räkna uppgifterna: 1245-1258 ===
 
* Uppgift 1251: Här gör du skissen i GeoGebra.
* Uppgift 1257: Läs om en [http://sv.wikipedia.org/wiki/Ellips_%28matematik%29 Ellips på Wikipedia].
** Pröva att göra en ellips i GeoGebra. Ledining skriv in ekvationen (x/a)^2+(y/b)^2=1. Välj själv värden på a och b.
** Sök på Ellipse på GeoGebraTube.org. [[Inte ett facit till ellipsen]].
** Titta på en ellips i Wolfram|Alpha. Skriv in en formel eller skriv ordet Ellipse. [http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x%2F2%29^2%2B%28y%2F11%29^2%3D1 fuskväg]


= Andragradsekvationer =
= Andragradsekvationer =


Vi repeterar föregående avsnitt genom denna övning:
== [[Enkla andragradsekvationer]] ==


=== Övning: Pascals triangel ===
== [[Fullständiga andragradsekvationer]] ==


Gör övningen på sidan 24-25. Titta även på [http://sv.wikipedia.org/wiki/Pascals_triangel Wikipedia om Pascals triangel].
== [[Kvadratkomplettering]] ==


'''Inlämning:''' Vi gör övningen på uppkopierat papper med inlämning och rättning.
== Diagnos 2 med pq-formeln ==


När du är klar med uppgiften jobbar du med Khan Academy. Länkar finns på föregående avsnitt.
{{print|[http://wikiskola.se/images/Snabbdiagnos2_kvadrerings_och_pq.pdf Snabbdiagnos 2]}}


'''Lösning:''' Så här utvecklar du [[Pascal-algebra|(a+b)<sup>4</sup>]]
== [[Andragradsekvationer och rötter]] ==


== Enkla andragradsekvationer ==
== [[Komplexa tal Ma2C]] ==


Den här behöver man fundera på en stund. [http://www.geogebratube.org/student/m358 Quadratic equations in early Baghdad]
== [[Rotekvationer]] ==


Även nu har vi att göra med andragradsekvationer som är enkla fall av den fullständiga ekvationen.
== [[Problemlösning med ekvationer]] ==


Antingen förkortas x-termerna bort så att man får kvadrattermer kvar att ta roten ur
=[[Ekvationslösning med faktorisering]] =


eller
== Faktorisering och ekvationer ==


så har man ett kvadraten på ett binom (ett parentesuttryck upphöjt till två) som man tar roten ur.
Onsdag


I båda fallen blir det en positiv och en negativ rot som svar (eller cdel av svaret men det blir inga imaginära tal eller komplexa rötter i detta avsnitt.
Repetera lösbladet från förra lektionen en gång till. I övrigt struntar vi i beting på faktorisering med kvadreringsregelerna.


== Kvadratkomplettering ==
'''Dagens beting:''' 1426-1430


== [[Dataövning - konsekutiva tal]] ==


=== '''Uppgift:''' Khan Academy ===
== [[Repetition inför prov Algebra Ma2C]] ==
 
Lös dessa [http://www.khanacademy.org/exercise/solving_quadratics_by_factoring Khan, relativt enkla andragradsekvationer]. De kan lösas genom att gissa eller faktorisera.
 
== Fullständiga andragradsekvationer ==
 
'''pq-formeln'''
 
x<sup>2</sup>+px+q=0
x=-p/2+-((p/2)<sup>2</sup>-q)<sup>0.5</sup>
 
Se en film med Michael Bondestam:
<youtube>eQZEtWY_4kE</youtube>
 
== Andragradsekvationer och rötter ==
 
 
== Komplexa tal ==
 
=== Komplexa rötter ===
 
[http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^2%3D-16 x<sup>2</sup> = -16] har ingen reell rot men däremot två komplexa. Det beror på att lösningen är roten ut ett negativt tal. Roten ur -16 är +4i respektive -4i.
 
[http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^2%2B3x%2B16%3D0 x<sup>2</sup>+3x+16=0] har också två komplexa rötter fast här beror varje rot av både en realdel och en imaginärdel.
 
== Rotekvationer ==
 
 
== Problemlösning med ekvationer ==
 
=Ekvationslösning med faktorisering =
 
== Uppdelning i faktorer med konjugatregeln ==
 
 
== Uppdelning i faktorer med kvadreringsreglerna ==
 
== Faktorisering och ekvationer ==
 
== Prov fredag vecka 6 ==


Provet skall vara fredag vecka 6 (ligger på Schoolsoft).
== Facit och bedömning ==


(men det kan finnas skäl att ändra det)
Christers bedömningsmall från mellandagen bör finnas [[media:Prov_1_-_Lösnförslag.ppsx| här]]. Lösningen är till Prov 1 ver 4 (2013)

Nuvarande version från 3 januari 2016 kl. 21.20

Intro Algebra Ma2C

Förenkling av uttryck

Ekvationer Ma2C

Kvadrerings- och konjugatregler

Flipped lesson: arbeta igenom innehållet till nästa lektion innan lektionen. Det vinner du på!

Parentesmultiplikation

Kvadreringsregeln Ma2C

En första läxa

Det är viktigt att vi kommer igång med att lära oss Geogebra.

Första naturliga ingången är egentligen räta linjen där det blir en tydlig koppling mellan funktion och utseende.

GGB-uppgift 1

Ladda ner programmet.

Skriv in en valfri räta linjens funktion.

Ändra färg och tjocklek på grafen.

Ändra så att grafens egenskap syns.

Mejla filen till din lärare.

Konjugatregeln Ma2C

Ekvationer med x^2-term

Andragradsekvationer

Enkla andragradsekvationer

Fullständiga andragradsekvationer

Kvadratkomplettering

Diagnos 2 med pq-formeln

Du kan printa denna! Snabbdiagnos 2


Andragradsekvationer och rötter

Komplexa tal Ma2C

Rotekvationer

Problemlösning med ekvationer

Ekvationslösning med faktorisering

Faktorisering och ekvationer

Onsdag

Repetera lösbladet från förra lektionen en gång till. I övrigt struntar vi i beting på faktorisering med kvadreringsregelerna.

Dagens beting: 1426-1430

Dataövning - konsekutiva tal

Repetition inför prov Algebra Ma2C

Facit och bedömning

Christers bedömningsmall från mellandagen bör finnas här. Lösningen är till Prov 1 ver 4 (2013)

Hämtad från ”https://wikiskola.se/index.php?title=Algebra_2C&oldid=33532”