|
|
| (155 mellanliggande sidversioner av 3 användare visas inte) |
| Rad 1: |
Rad 1: |
| Kapitel 1 i boken Matematik 2C innehåller 16 delar vilket rimligen bör ta omkring 16 lektionstillfällen eller fyra veckor i anspråk.
| | == [[Intro Algebra Ma2C]]== |
|
| |
|
| = Repetition = | | == [[Förenkling av uttryck]] == |
|
| |
|
| | | == [[Ekvationer Ma2C]] == |
| == Mål för wikiskola på denna sida == | |
| | |
| Ett mål för denna kurs är att varje avsnitt om möjligt ska ha ett videoklipp med någon som förklarar, relevant länk till Khan samt en GGB el dyl som anknyter till bokens teoridel. Dessutom vore det fint med några egna övningsuppgifter och någon datorövning.
| |
| | |
| == Intro ==
| |
| | |
| '''Kuriosa:''' [http://www.google.se/search?q=3x^2%2B3x%2B3%3D5&ie=utf-8&oe=utf-8&aq=t&rls=org.mozilla:sv-SE:official&client=firefox-a#sclient=psy-ab&hl=sv&client=firefox-a&hs=aAn&rls=org.mozilla:sv-SE%3Aofficial&source=hp&q=y%3D3x^2%2B3x%2B3%2C+y%3D100&pbx=1&oq=y%3D3x^2%2B3x%2B3%2C+y%3D100&aq=f&aqi=&aql=&gs_sm=e&gs_upl=29l3131l2l3711l5l5l0l0l0l0l221l843l0.4.1l5l0&bav=on.2,or.r_gc.r_pw.,cf.osb&fp=26d2ec7e6f870a19&biw=1118&bih=595 Grafer på Google]
| |
| | |
| '''Algebraintroti boken på sid 3'''
| |
| | |
| [http://sv.wikipedia.org/wiki/Girolamo_Cardano Gerolamo Cardano] funderade över lösingen till följande ekvation | |
| | |
| Kan vi dela talet 8 i två delar så att deras produkt blir 25?
| |
| x(8-x) = 25
| |
| | |
| Ekvationen har följande rötter:
| |
| | |
| x = 4 + rot(-9)
| |
| x = 4 - rot(-9)
| |
| | |
| Ekvationen kan skrivas om på detta sätt:
| |
| | |
| 8x - x<sup>2</sup> = 25
| |
| | |
| x<sup>2</sup> - 8x + 25 = 0
| |
| | |
| Men vad är roten ur -9? Det är ett imagint tal, som skrivs 3i. Kolla gärna Wolfram Alpha för en [http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%288-x%29%20%3D%2025&t=ff3tb01 lösning] till ekvationen ovan
| |
| | |
| == Förenkling av uttryck ==
| |
| | |
| '''Sats: Distributiva lagen'''
| |
| | |
| a(b+c) = ab + ac
| |
| | |
| == Ekvationer ==
| |
| | |
| Vid lösning av ekvationer kan du tänka att det är tillåtet att göra samma sak på båda sidor av likhetstecknet. Du kan addera samma sak på båda sidorna. Eller subtrahera samma sak på båda sidorna. På samma sätt kan du multiplicera eller dividera med samma sak på båda sidorna.
| |
| | |
| Detta kan du använda för att förkorta bort något på ena sidan och resultatet blir att den saken byter upp på andra sidan men med motsatt tecken (plus blir minus osv).
| |
| | |
| På denna sida från Matteboken.se finns en förklaring [http://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/algebra/skriva-om-formler skriva om hur man ändrar i ekvationer på detta sätt]. Titta gärna på filmen på sidan också.
| |
| | |
| När man får kläm på det här sättet att ändra i ekvationer brukar man helt enkelt flytta över saker till andra sidan och byta tecken. På så sätt kan man ändra en ekvation så att man får sitt x (eller vilken variabel man nu vill lösa ut) ensamt på en sida.
| |
|
| |
|
| = Kvadrerings- och konjugatregler = | | = Kvadrerings- och konjugatregler = |
| | {{flipp|-}} |
| | == [[Parentesmultiplikation]] == |
|
| |
|
| == Parentesmultiplikation == | | == [[Kvadreringsregeln Ma2C]] == |
| | |
| === Multiplikationen är både algebra och geometri ===
| |
| | |
| [[Fil:Abcd.png|thumb|(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd]] | |
| | |
| Hur funkar det om man multiplicerar två parenteser med varandra?
| |
| | |
| '''Först inleder vi med ett exempel med siffror'''
| |
| | |
| En övning som visar exemplet nedan i bilder. Ett tal kan delas upp i sin entalsdel och sin tiotalsdel innan en multiplikation. <font color=darkgreen>PowerPoint</font color=darkgreen>. [[Media:Ganger_med_bilder.ppt|Gånger av tvåsiffriga tal ]]visas med hjälp av bilder. ''Detta är [[Övningar_tal_och_räkning_6B|ett exempel från grundskolan]].''
| |
| | |
| exempelvis
| |
| 12*13=(10+2)*(10+3)=100+30+20+6.
| |
| | |
| '''Repetition aritmetik:''' Pappersövning i [[Media:Skriftlig_huvudrakning_ovning.doc|skriftlig huvudräkning]].
| |
| | |
| Tänk sedan att du gör samma sak med bokstäver
| |
| | |
| (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
| |
| <br>
| |
| <ggb_applet width="796" height="511" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
| |
| [http://www.geogebratube.org/student/m3460 Hela filen kan laddas ner här].
| |
| <br>
| |
| <br>
| |
| === Bevis som utgår från distributiva lagen ===
| |
| | |
| x(c+d) = xc+xd
| |
| | |
| Antag att x = a+b och sätt in i uttrycket ovan.
| |
| | |
| (a+b)c+(a+b)d
| |
|
| |
| c(a+b)+d(a+b)
| |
|
| |
| ca+cb+da+db
| |
|
| |
| ac+bc+ad+bd V.S.B.
| |
| | |
| Läs om [http://www.webbmatte.se/display_page.php?id=35&on_menu=231&page_id_to_fetch=668&lang=arabic&no_cache=163542237# distrributiva lagen på wwebbmatte].
| |
| | |
| == Kvadreringsregeln ==
| |
| | |
| (a+b)<sup>2</sup> = a<sup>2</sup>+2ab+b<sup>2</sup>
| |
|
| |
|
| (a-b)<sup>2</sup> = a<sup>2</sup>-2ab+b<sup>2</sup>
| | == En första läxa == |
|
| |
|
| Förklaring
| | Det är viktigt att vi kommer igång med att lära oss Geogebra. |
|
| |
| (a-b)<sup>2</sup> =
| |
| (a-b)(a-b) =
| |
| a<sup>2</sup>-ab-ba+b<sup>2</sup> = ( och ab = ba )
| |
| a<sup>2</sup>-2ab+b<sup>2</sup> V.S.B.
| |
|
| |
|
| | Första naturliga ingången är egentligen räta linjen där det blir en tydlig koppling mellan funktion och utseende. |
|
| |
|
| '''Länkar:'''
| | === GGB-uppgift 1 === |
|
| |
|
| * [http://matteboken.se/lektioner/matte-b/algebra-och-geometri/kvadreringsreglerna matteboken om kvadreringsreglerna]
| | Ladda ner programmet. |
| * [http://sv.wikipedia.org/wiki/Kvadreringsregeln Kvadreringsregeln på Wikipedia] (syns även nedan)
| |
|
| |
|
| Bondestam respektive Wille på Mattecentrum om kvadreringsregeln:
| | Skriv in en valfri räta linjens funktion. |
|
| |
|
| <youtube>-r6q69yktQo</youtube><youtube>z752eJNWsXA</youtube>
| | Ändra färg och tjocklek på grafen. |
| <br>
| |
| <br>
| |
| Wikipedia (i utskriftsvänlig version) om kvadreringsregeln, nedan inklippt:
| |
|
| |
|
| <html><iframe frameborder="0" marginheight="10"
| | Ändra så att grafens egenskap syns. |
| marginwidth="10" name="wikipedia" scrolling="auto" src="http://sv.wikipedia.org/w/index.php?title=Kvadreringsreglerna&printable=yes" width="900" height="550"></iframe></html>
| |
|
| |
|
| ''Texten ovan är från Wikipedia och inklippt i en frame ''
| | Mejla filen till din lärare. |
|
| |
|
| == Konjugatregeln == | | == [[Konjugatregeln Ma2C]] == |
|
| |
|
| === Diagnos 11 === | | == [[Ekvationer med x^2-term]] == |
| | |
| [[Lösningar till diagnos 11]]
| |
| | |
| '''Rättelse:''' I lösningen till uppgift 6 finns tyvärr inte med att lösningen även har en negativ rot. Detta kommer vi att gå in noggrannare på i avsnitt 1.3 som behandlar andragradsekvationer.
| |
| | |
| === Teori ===
| |
| | |
| Så här ser den ut:
| |
|
| |
| a<sup>2</sup>-b<sup>2</sup> = (a-b)(a+b)
| |
| | |
| utför multiplikationen
| |
| (a-b)(a+b) = a<sup>2</sup>ab-ba-b<sup>2</sup>
| |
|
| |
| (a-b)(a+b) = a<sup>2</sup>ab-ab-b<sup>2</sup>
| |
|
| |
| (a-b)(a+b) = a<sup>2</sup>b<sup>2</sup>
| |
|
| |
| V.S.B.
| |
| | |
| '''Länk:''' [http://en.wikipedia.org/wiki/Difference_of_two_squares engelska Wikipedia]
| |
| | |
| === Film ===
| |
| | |
| Bondestam (tv) respektive Matteboken (th) förklarar:
| |
| | |
| <youtube>TmLbY5t3N5o</youtube><youtube>_cf5hMjgNR0</youtube>
| |
| | |
| | |
| === Geometriskt bevis av konjugatregeln ===
| |
| | |
| '''Första beviset'''
| |
| | |
| [[Fil:Difference_of_two_squares.png]]
| |
| | |
| '''Andra beviset'''
| |
| | |
| [[Fil:800px-Difference_of_two_squares_geometric_proof.png]]
| |
| | |
| === Uppgifter ===
| |
| | |
| '''Khan: Parentesmultiplikation'''
| |
| | |
| Hunnet så här långt kan vi repetera genom att lösa lite uppgifter på Khan Academy. De är dels av typen (a+b)(c+d) men också sådana som tillämpar kvadreringsregeln.
| |
| | |
| [http://www.khanacademy.org/exercise/multiplying_expressions_1 Khan om hur man multiplicerar binom] ska du verkligen öva på. | |
| | |
| '''Webbmatte'''
| |
| | |
| * [http://www.webbmatte.se/display_page.php?id=35&on_menu=231&page_id_to_fetch=671&lang=arabic Konjugatregeln på Webbmatte]
| |
| | |
| == Ekvationer med x<sup>2</sup>-term ==
| |
| | |
| '''Repetition'''
| |
| | |
| Uppgiften från förra lektionen att göra Khan ett tagskulle kunna vara en vettig repetition av föregående vecka.
| |
| | |
| === Intro ===
| |
| | |
| Detta avsnitt handlar om ingenting kan man säga. Det handlar nämligen om ekvationer med x<sup>2</sup>-termer som försvinner vid förenklingen.
| |
| | |
| === Räkna uppgifterna: 1245-1258 ===
| |
| | |
| * Uppgift 1251: Här gör du skissen i GeoGebra.
| |
| * Uppgift 1257: Läs om en [http://sv.wikipedia.org/wiki/Ellips_%28matematik%29 Ellips på Wikipedia].
| |
| ** Pröva att göra en ellips i GeoGebra. Ledining skriv in ekvationen (x/a)^2+(y/b)^2=1. Välj själv värden på a och b.
| |
| ** Sök på Ellipse på GeoGebraTube.org. [[Inte ett facit till ellipsen]].
| |
| ** Titta på en ellips i Wolfram|Alpha. Skriv in en formel eller skriv ordet Ellipse. [http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x%2F2%29^2%2B%28y%2F11%29^2%3D1 fuskväg]
| |
|
| |
|
| = Andragradsekvationer = | | = Andragradsekvationer = |
|
| |
|
| Vi repeterar föregående avsnitt genom denna övning:
| | == [[Enkla andragradsekvationer]] == |
|
| |
|
| === Övning: Pascals triangel === | | == [[Fullständiga andragradsekvationer]] == |
|
| |
|
| Gör övningen på sidan 24-25. Titta även på [http://sv.wikipedia.org/wiki/Pascals_triangel Wikipedia om Pascals triangel].
| | == [[Kvadratkomplettering]] == |
|
| |
|
| == Enkla andragradsekvationer == | | == Diagnos 2 med pq-formeln == |
|
| |
|
| Den här behöver man fundera på en stund. [http://www.geogebratube.org/student/m358 Quadratic equations in early Baghdad]
| | {{print|[http://wikiskola.se/images/Snabbdiagnos2_kvadrerings_och_pq.pdf Snabbdiagnos 2]}} |
|
| |
|
| === Komplexa rötter === | | == [[Andragradsekvationer och rötter]] == |
|
| |
|
| [http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^2%3D-16 x<sup>2</sup> = -16] har ingen reell rot men däremot två komplexa. Det beror på att lösningen är roten ut ett negativt tal. Roten ur -16 är +4i respektive -4i. | | == [[Komplexa tal Ma2C]] == |
|
| |
|
| [http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^2%2B3x%2B16%3D0 x<sup>2</sup>+3x+16=0] har också två komplexa rötter fast här beror varje rot av både en realdel och en imaginärdel. | | == [[Rotekvationer]] == |
|
| |
|
| == Kvadratkomplettering == | | == [[Problemlösning med ekvationer]] == |
|
| |
|
| | =[[Ekvationslösning med faktorisering]] = |
|
| |
|
| === '''Uppgift:''' Khan Academy === | | == Faktorisering och ekvationer == |
| | |
| Lös dessa [http://www.khanacademy.org/exercise/solving_quadratics_by_factoring Khan, relativt enkla andragradsekvationer]. De kan lösas genom att gissa eller faktorisera.
| |
|
| |
|
| == Fullständiga andragradsekvationer ==
| | Onsdag |
|
| |
|
| '''pq-formeln'''
| | Repetera lösbladet från förra lektionen en gång till. I övrigt struntar vi i beting på faktorisering med kvadreringsregelerna. |
|
| |
|
| x<sup>2</sup>+px+q=0
| | '''Dagens beting:''' 1426-1430 |
| x=-p/2+-((p/2)<sup>2</sup>-q)<sup>0.5</sup>
| |
|
| |
|
| Se en film med Michael Bondestam:
| | == [[Dataövning - konsekutiva tal]] == |
| <youtube>eQZEtWY_4kE</youtube>
| |
| | |
| == Andragradsekvationer och rötter == | |
| | |
| | |
| == Komplexa tal ==
| |
| | |
| | |
| == Rotekvationer ==
| |
| | |
| | |
| == Problemlösning med ekvationer ==
| |
| | |
| =Ekvationslösning med faktorisering =
| |
| | |
| == Uppdelning i faktorer med konjugatregeln ==
| |
| | |
| | |
| == Uppdelning i faktorer med kvadreringsreglerna ==
| |
| | |
| == Faktorisering och ekvationer ==
| |
|
| |
|
| == Prov == | | == [[Repetition inför prov Algebra Ma2C]] == |
|
| |
|
| Provet skall vara fredag vecka 6.
| | == Facit och bedömning == |
|
| |
|
| (men det kan finnas skäl att ändra det) | | Christers bedömningsmall från mellandagen bör finnas [[media:Prov_1_-_Lösnförslag.ppsx| här]]. Lösningen är till Prov 1 ver 4 (2013) |
