Potensekvationer: Skillnad mellan sidversioner
Hoppa till navigering
Hoppa till sök
Hakan (diskussion | bidrag) |
Hakan (diskussion | bidrag) Ingen redigeringssammanfattning |
||
(46 mellanliggande sidversioner av 3 användare visas inte) | |||
Rad 1: | Rad 1: | ||
__NOTOC__ | |||
= Teori = | |||
{{malruta | Potensekvationer | |||
Vi ska lära oss hur man löser potensekvationer. | Vi ska lära oss hur man löser potensekvationer. | ||
} | }} | ||
'''Potensekvationen''': | |||
En potensekvation är en typ av ekvation där exakt en potens ingår, och basen okänd medan exponenten är ett känt reellt tal. | |||
Ekvationen | |||
<math> x^a = b </math> | <math> x^a = b </math> | ||
där a och b är reella tal | där a och b är reella tal, är en potensekvation. | ||
När vi möter potensekvationer i Matematik 1c är exponenten <math>a</math> ofta 2, 3, 1/2 eller 1/3 | |||
: | '''Lösning''': balansera ekvation genom exponentiering ("upphöjning"). | ||
: <math>x = b^ | : <math>(x^a)^{1/a} = b^{1/a}</math> | ||
: <math>x = b^{1/a}</math> | |||
'''Exempel''': | {{viktigt| | ||
'''Observera''': Vid jämna exponenter finns det två lösningar, en positiv och en negativ. | |||
'''Exempel på en potensekvation med negativ rot''': | |||
: <math>x^2 = 4</math> | : <math>x^2 = 4</math> | ||
: <math>x = | : <math>x = \pm4 ^{1/2}</math> | ||
: <math>x = \pm 2</math> | : <math>x = \pm 2</math> | ||
: Alltså: <math>x_1 = - 2,~x_2 = 2</math> | |||
}} | |||
= Exempel = | |||
'''Exempel 1''': | |||
: <math>x^2 = 4</math> | |||
: <math>x = \pm4 ^{\frac{1}{2}}</math> | |||
: <math>x = \pm 2</math> | |||
Observera den '''negativa roten'''. | |||
'''Exempel 2''': | |||
: <math>x^3 = 8</math> | |||
: <math>x = 8^{\frac{1}{3}}</math> | |||
: <math>x = 2</math> | |||
'''Exempel 3''': | |||
: <math>x^2 = -1 </math> | |||
Denna ekvation saknar reella lösningar. Vi kan inte ta roten ur ett negativt tal (ännu, vi lär oss det i ma2c) för då bildas imaginära tal. | |||
'''Exempel 4''': | |||
: <math>(x + 1)^2 = 16</math> | |||
Två fall: | |||
: <math>(x + 1) = -4</math> och : <math>(x + 1) = 4</math> | |||
Med lösningarna: | |||
: <math> x + = -5</math> och : <math> x = 3 </math> | |||
'''Exempel 5''': | |||
En kvadrat har arean 144 cm<sup>2</sup>. Hur lång är kvadratens sida? | |||
Lösning: | |||
: <math> x^2 = 144 </math> | |||
: <math> x = \sqrt{144} </math> | |||
: <math> x = \pm{12} </math> | |||
Eftersom sidor inte kan vara negativa är svaret 12 cm. | |||
{{clear}} | {{clear}} | ||
== Aktivitet | = En löst uppgift = | ||
<pdf>Fil:Uppgift_20481.pdf</pdf> | |||
= Aktivitet = | |||
=== Undersök GGB:n. === | === Undersök GGB:n. === | ||
Använd GeoGebran Nedan för att lösa följande uppgifter: | |||
# <math> x^2 = 4 </math> | |||
# <math> x^2 = 9 </math> | |||
# <math> x^3 = 8 </math> | |||
# <math> x^4 = 6 </math> | |||
# <math> x^3 = 27 </math> | |||
# <math> x^{1.5} = 5.5 </math> | |||
# <math> 2 \cdot x^2 = 8 </math> | |||
GeoGebran visar '''<math> x^a = b </math>''' | |||
{{clear}} | |||
'''Tips''': Du kan skala en axel genom att trycka Shift och klicka och dra i axeln. | |||
<br /> | |||
<html> | <html> | ||
<iframe scrolling="no" title="Potensekvationer" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/VZjfJN2x/width/ | <iframe scrolling="no" title="Potensekvationer" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/VZjfJN2x/width/701/height/498/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="701px" height="498px" style="border:0px;"> </iframe> | ||
</html> | </html> | ||
= | = GeoGebra - Öva själv = | ||
Potensekvationer, av Svetlana Yushmanova. | Potensekvationer, av Svetlana Yushmanova. | ||
Rad 67: | Rad 139: | ||
</html> | </html> | ||
== Lär mer == | = Python - Gissa talet = | ||
[[Kategori:Python]] [[Kategori:Ma1c]] [[Kategori:Aritmetik]] [[Kategori:Årskurs 7-9]] | |||
{{python|[[Python|Python-hjälp]] [https://wikiskola.se/index.php?title{{=}}Kategori:Python Fler uppgifter]}} | |||
{{malruta| '''Kom igång med programmering i matematiken.''' | |||
Det är lämpligt att starta lektionen med detta program. | |||
Målet är att du ska köra programmet och spela spelet Gissa talet för att komma till insikt om något som du har nytta av på denna lektion. | |||
}} | |||
== Gissa talet == | |||
{{uppgruta| '''Gissa ett tal''' | |||
# Kör programmet tillsammans med en kompis. | |||
# Kör det flera gånger. | |||
# Vilken strategi ger minst antal gissningar? | |||
# Finns det ett maximalt antal gissningar om man följer strategin? | |||
# Hur kan du uttrycka maximala antalet gissningar som en funktion av intervallet talet ligger i? | |||
}} | |||
== Python-koden == | |||
<pre> | |||
# förklarar syftet med spelet | |||
print("Detta spel handlar om att din kamrat ska gissa det tal som du matar in. Skriv in kamratens gissningar och läs upp vad programmet säger. ") | |||
# Ange ett tal | |||
number = input("Ange ett hemligt tal mellan 1 - 100. ") | |||
# använd heltal | |||
number = int(number) | |||
# räknare | |||
guess = 0 | |||
count = 0 | |||
# räknare | |||
while guess != number: | |||
# gissa talet | |||
guess = input ("Skriv in talet (mellan 1-100) din kamrat gissar på: ") | |||
if guess == "exit": | |||
break | |||
# räkna gissningar | |||
guess = int(guess) | |||
count += 1 | |||
# jämför gissning med tal | |||
if guess < number: | |||
print("Talet du angav ar mindre än mitt hemliga tal.") | |||
elif guess > number: | |||
print("Talet du angav är större än mitt hemliga tal.") | |||
else: | |||
print("Grattis! Du har gissat talet som jag tänkt på (matat in).") | |||
print("Talet är:",number,) | |||
print("Och det har tagit dig",count,"gissningar.") | |||
# visar resultatet så länge vi vill | |||
input("Tryck Enter för att avsluta programmet") | |||
</pre> | |||
Uppgiften är inspirerad av Attila Szabo, Utbildningsförvaltningen Stockholm. | |||
= Uppgifter = | |||
=== Uppgift 1 === | |||
Lös ekvationen: | |||
: <math> 9 x^5 = 63 </math> | |||
=== Uppgift definitionsmängd === | |||
GeoGebra är ett dynamiskt verktyg vilket innebär att du kan pröva vad som händer om man varierar en parameter. Till detta används glidare (sliders). | |||
{{uppgruta|'''När är funktionen definierad för negativa x-värden?''' | |||
# Skapa en glidare som heter k i Geogebra. Skriv helt enkelt k och klicka Skapa glidare. Glidaren kommer kommer automatiskt att ha intervallet <math>-5 \leq k \leq 5 </math> | |||
# Skapa funktionen <math>f(x) = x^k</math> | |||
# För vilka värden på k är funktionen definierad för negativa värden på x? | |||
}} | |||
= Lär mer = | |||
{|wikitable align=right | |||
|- | |||
| {{Sway | [https://sway.com/PR1MAbs7WLqAa1ES?ref{{=}}Link Potensekvationer] }}<br /> | |||
{{wplink| [https://sv.wikipedia.org/wiki/Potens Potenser ] }}<br /> | |||
{{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/algebra/potensekvationer Potensekvationer] }}<br /> | |||
|} | |||
=== Lär mer GeoGebra === | |||
Sidan [[GeoGebra]] ger länkar till tutorials och en långfilm med Jonas Hall. | |||
== Exit ticket == | == Exit ticket == | ||
<headertabs /> |