|
|
| (10 mellanliggande sidversioner av samma användare visas inte) |
| Rad 35: |
Rad 35: |
| = Andragradsekvationer = | | = Andragradsekvationer = |
|
| |
|
| == Enkla andragradsekvationer == | | == [[Enkla andragradsekvationer]] == |
| {{flipp| - }}{{lm2c|pq-formeln|30-32 och 35-38}} {{TE12A|5}}
| |
|
| |
|
| {{#ev:youtube| Aa7M6Vzs71U}}
| | == [[Fullständiga andragradsekvationer]] == |
| Av Daniel Barker.
| |
|
| |
|
| Den här behöver man fundera på en stund. [http://www.geogebratube.org/student/m358 Quadratic equations in early Baghdad]
| | == [[Kvadratkomplettering]] == |
| | |
| Även nu har vi att göra med andragradsekvationer som är enkla fall av den fullständiga ekvationen.
| |
| | |
| Antingen förkortas x-termerna bort så att man får kvadrattermer kvar att ta roten ur
| |
| | |
| eller
| |
| | |
| så har man ett kvadraten på ett binom (ett parentesuttryck upphöjt till två) som man tar roten ur.
| |
| | |
| I båda fallen blir det en positiv och en negativ rot som svar (eller cdel av svaret men det blir inga imaginära tal eller komplexa rötter i detta avsnitt.
| |
| | |
| == Fullständiga andragradsekvationer ==
| |
| | |
| === pq-formeln - Förklaring===
| |
| {{Malruta|Du ska lära dig pq-formeln. Det är mycket viktigt.}}
| |
| | |
| En generell beskrivning av en andragradsekvation ser ut så här:
| |
| | |
| : <math> x^2 + px + q = 0 </math>
| |
| | |
| där p och q är tal (siffror) i den speciella ekvationen.
| |
| | |
| Den allmänna ekvationen har lösningen:
| |
| | |
| : <math> x=-p/2 \pm \sqrt{(p/2)^2-q} </math>
| |
| | |
| Om du vill lösa en ekvation behöver du bara ta reda på vad p och q motsvaras av i din ekvation och sedan sätter du in dessa siffror i formeln ovan.
| |
| | |
| Tänk på att det inte ska stå någor framför <math>x^2 </math>-termen
| |
| | |
| '''Flipp:''' Se två filmer med Michael Bondestam:
| |
| | |
| {{#ev:youtube|eQZEtWY_4kE|340|left}}{{#ev:youtube|FVMWj3PTn7U|340|right}}
| |
| | |
| <br>
| |
| <pdf>Peequu-01022012090823.pdf</pdf>
| |
| | |
| <br>
| |
| '''Räkna själv'''
| |
| | |
| '''Lösning:''' 1339 har jag gjort i ggb och den finns på hårddisken.
| |
| | |
| Mario om nytan med andragradsekvationer:
| |
| <br>
| |
| <youtube>goYnB61nrjg</youtube>
| |
| <br>
| |
| | |
| == Kvadratkomplettering == | |
| {{flipp| - }}
| |
| {{lm2c|Kvadratkomplettering|33-34}} {{TE12A|6}}
| |
| | |
| {{#ev:youtube|VacSvx3dRhs|340|right}}
| |
| Man kan börja med kvadratkomplettering som en inledande förklaring till pq-formeln men det är lika bra att ge sig på pq-formeln direkt. Sedan kan man gå tillbaks till kvadratkompletteringen för att få ett bevis för att pq-formeln fungerar.
| |
| | |
| | |
| === '''Uppgift:''' ===
| |
| | |
| {{khanruta|'''Solving Quadratics by facoring'''
| |
| Lös dessa [http://www.khanacademy.org/exercise/solving_quadratics_by_factoring Khan, relativt enkla andragradsekvationer]. De kan lösas genom att gissa eller faktorisera.
| |
| | |
| Möjligen kan det vara svårt att veta hur de menar att man ska göra på vissa uppgifter. Ta reda på rötterna och faktorisera så går et bra.
| |
| }}
| |
|
| |
|
| == Diagnos 2 med pq-formeln == | | == Diagnos 2 med pq-formeln == |
| Rad 109: |
Rad 45: |
| {{print|[http://wikiskola.se/images/Snabbdiagnos2_kvadrerings_och_pq.pdf Snabbdiagnos 2]}} | | {{print|[http://wikiskola.se/images/Snabbdiagnos2_kvadrerings_och_pq.pdf Snabbdiagnos 2]}} |
|
| |
|
| == Andragradsekvationer och rötter == | | == [[Andragradsekvationer och rötter]] == |
| | |
| {{flipp| - }}{{lm2c|Diverse|39-44}} {{TE12A|7}}
| |
| | |
| {{exruta|Lös ekvationen:
| |
| :<math>x^2-8x+16=0</math>
| |
| | |
| Vad händer?
| |
| | |
| Pröva nu ekvationen:
| |
| :<math>x^2-8x+17=0</math>
| |
| | |
| här har vi en ekvation som saknar reella lösningar.
| |
| }}
| |
| | |
| | |
| [[Fil:Exempel1_sid_35_Ma2c.PNG|300px|right|CC By --[[Användare:Hakan|hakan]] 3 februari 2012 kl. 17.50 (UTC)]] | |
| | |
| | |
| {{defruta|
| |
| En andragradsekvation kan ha
| |
| två reella rötter ''eller''
| |
| en dubbelrot ''eller''
| |
| två komplexa rötter
| |
| }}
| |
| | |
| {{#ev:youtube|LTR1s87IC2I|320|right}}
| |
| | |
| | |
| {{Uppgruta|
| |
| : Lös uppgifterna i denna gamla [http://wikiskola.se/images/Veckodiagnos12.pdf Diagnos 12]
| |
| : Genomgång av diagnosen: [[Facit till Diagnos 12]]
| |
| }}
| |
| | |
| == Komplexa tal ==
| |
| | |
| | |
| === Teori ===
| |
| {{defruta|'''Komplexa tal'''
| |
| <br />
| |
| :<math>\sqrt{-1} = i </math>
| |
| | |
| : <math> i^2 = -1 </math>
| |
| <br />
| |
| | |
| Ett komplext tal består av en realdel <math>a</math> och en imaginärdel <math>b</math>.
| |
| <br />
| |
| : <math> z = a + bi </math>
| |
| }}
| |
| <br />
| |
| '''Läs mer:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/Komplexa_tal Komplexa tal på wikipedia]
| |
| | |
| === Vad ska man ha komplexa tal till? ===
| |
| {{#ev:youtube|DHoRnxqnWrw|320|right|komplexa tal}}
| |
| | |
| * Komplexa tal '''används''' när man räknar på växelström.
| |
| ** Titta på denna [http://www.tsl.uu.se/~pomp/elektroteknik/del_3_a_liten.pdf ppt från Uppsala].
| |
| ** [http://sv.wikipedia.org/wiki/J%CF%89-metoden j-omegametoden]
| |
| | |
| === Komplexa rötter ===
| |
| | |
| [http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^2%3D-16 x<sup>2</sup> = -16] har ingen reell rot men däremot två komplexa. Det beror på att lösningen är roten ut ett negativt tal. Roten ur -16 är +4i respektive -4i.
| |
| | |
| [http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^2%2B3x%2B16%3D0 x<sup>2</sup>+3x+16=0] har också två komplexa rötter fast här beror varje rot av både en realdel och en imaginärdel.
| |
| {{clear}}
| |
| | |
| == Rotekvationer ==
| |
| {{flipp| - }}{{lm2c|Diverse|45-49}} {{TE12A|8}}
| |
| {{#ev:youtube|8hY6gm_NTMg|320|right|Rotekvationen}}
| |
| | |
| '''Teori'''
| |
| | |
| Rotekvationer innehåller x-termer och roten ur x-termer. Man löser dem genom att kvadrera båda leden.
| |
| | |
| : <math> \sqrt{x+2} = x </math>
| |
| | |
| Kvadrera båda sidorna:
| |
| | |
| : <math> x+2 = x^2 </math>
| |
| | |
| : <math> x^2 - x - 2 = 0 </math>
| |
| | |
| : <math> x = \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} + 2} </math>
| |
| | |
| : <math> x = \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{8}{4}} </math>
| |
| | |
| : <math> x = \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}} </math>
| |
| | |
| : <math> x = \frac{1}{2} \pm \frac{3}{2} </math>
| |
| | |
| : <math> x_1 = - 1, x_2 = 2 </math>
| |
| | |
| Viktigt att kolla om man har falska rötter.
| |
| | |
| <math>-1 </math> är en falsk rot eftersom den inte gör att vänster led och höger led blir lika i ursprungsekvationen.
| |
| | |
| Svaret är alltså <math>x = 2</math>
| |
| {{clear}}
| |
| | |
| == Problemlösning med ekvationer ==
| |
| | |
| === Professionell matte ===
| |
| | |
| Har ni tänkt på att det är ett tag sedan vi gjorde matte som man har nytta av i vardagen? Kvadreingsregeln, konjugatregeln, kvadratkompletteringen och pq-formel hör inte till vardagsmatten. De hör till den professionella matten. Sådan matte som ingenjörer använder.
| |
| | |
| === Vad ska man ha andragradsekvationer till? ===
| |
| | |
| De används i spel till exempel.
| |
| | |
| * Wikipedia om projectile motion
| |
| * [[Programmering_och_simulering#Fysiken_bakom_spelen_-_inspiration_till_matten|Här finns länkar om fysikmotorn bakom Angry Birds och mycket annat]]
| |
| * Det finns [[Flashexempel_för_undervisning:_Två_bollar|ett exempel med två bollar som faller]] och där den ena även far i x-led. Banan beskriver en parabel och det är ett klassiskt exempel på en andragradsekvation. Du kan se Action Script-koden.
| |
| | |
| === PhET ===
| |
|
| |
|
| <br>
| | == [[Komplexa tal Ma2C]] == |
| <html><iframe src="http://phet.colorado.edu/sims/projectile-motion/projectile-motion_en.html" width="800" height="600"></iframe></html>
| |
| <br>
| |
| <br>
| |
| En idé kan vara att ta en screenshot på en projektilbana från PhET-simuleringen ovan och klistra in i GeoGebra. Sedan sätter man tre eller fler punkter på kurvan och anpassar till en andragradsekvation. Det visar om inte annat bakvägen att fysiken innehåller andragradsfunktioner. Om man är osäker på hur man anpassar punkter till en funktion så har jag gjort det med mätvärdena från laborationen på [[Laborationer_i_Fysik_A#GeoGebra|tyngdacceleration]].
| |
|
| |
|
| =Ekvationslösning med faktorisering = | | == [[Rotekvationer]] == |
|
| |
|
| {{flipp| - }}{{lm2c|Faktorisering|50-56}} {{TE12A|9-10}}
| | == [[Problemlösning med ekvationer]] == |
|
| |
|
| Diagnosen blir läxa att göra om hemma och denna gång ska den ha alla rätt. Det gäller alla. Facit kommer upp på tisdag så kan alla rätta själva.
| | =[[Ekvationslösning med faktorisering]] = |
| * [[Facit till Diagnos 13]]
| |
| | |
| På tisdag som är en lång lektion kommer vi att göra uppdelning i faktorer både med konjugatregeln och kvadreringsreglerna om det går.
| |
| | |
| == Uppdelning i faktorer med konjugatregeln ==
| |
| | |
| {{uppgruta|
| |
| Först ska vi [[repetera konjugatregeln]] med ett lösblad där det är rad snabba uppgifter. Dessa uppgifter bör klaras av på mindre än tre minuter.
| |
| }}
| |
| | |
| == Uppdelning i faktorer med kvadreringsreglerna ==
| |
| {{uppgruta|
| |
| Här ska vi också [[repetera kvadreringsreglerna]] med ett lösblad.
| |
| }}
| |
|
| |
|
| == Faktorisering och ekvationer == | | == Faktorisering och ekvationer == |
| Rad 258: |
Rad 63: |
| '''Dagens beting:''' 1426-1430 | | '''Dagens beting:''' 1426-1430 |
|
| |
|
| == Dataövning - konsekutiva tal == | | == [[Dataövning - konsekutiva tal]] == |
| {{flipp| - }}{{lm2c|Konsekutiva tal|57}}
| |
| [[Fil:Fredrik_problem_konsekutiva_tal.jpg|300px|right|Fredriks lösning.]] | |
| | |
| '''Del ett''' (n-1)(n+1)+1
| |
| | |
| '''Del två'''
| |
| | |
| Del tv är svårare. Det handlar om fyra konsekutiva tal. Addera ett till produkten av de fyra talen och ta roten ur. Detta ska bli ett heltal.
| |
| * [http://www.wolframalpha.com/input/?i=sqr%28n%28n%2B1%29%28n%2B2%29%28n%2B3%29%2B1%29 Wolfram|Alpha] har en lösning men ingen förklaring.
| |
| * Med hjälp av den ledtråden från Wolfram ser [[Media:Konsek_he-13022012163805.pdf|min lösning ut så här]].
| |
| * [[Media:Tanja_konsekutiva_tal.pdf|Tanja]] löser uppgiften genom att pröva.
| |
| * Fredrik använder kvadratkomplettering och substitution för att lösa uppgiften. Lösningen syns i bilden till höger.
| |
| * [[Media:Konsek_charles-13022012163848.pdf|Charlie i NV11]] löser det genom att hitta mönster i de tal han prövar med och ...
| |
| | |
| == Prov onsdag vecka 6 ==
| |
| | |
| {{TE12A|11-12}}
| |
| | |
| {{uppgruta|'''Diagnos 14'''
| |
| | |
| * [[Media:Veckodiagnos14.pdf|Diagnos 14]]
| |
| * [[Media:Veckodiagnos14-Facit.pdf|Diagnos 14 Facit]]
| |
| }}
| |
| | |
| '''Repetition på fredag och måndag'''
| |
| | |
| '''Uppgift:''' Khan Academy
| |
| {{khanruta|
| |
| # [http://www.khanacademy.org/exercise/multiplying_expressions_1 Khan om hur man multiplicerar binom] ska du verkligen öva på.
| |
| }}
| |
| | |
| '''Uppgifter'''
| |
| | |
| * Läs sammanfattningen på sidan 54.
| |
| * Gör Test 1 på sidan 55.
| |
| | |
| '''pappersövningar'''
| |
| | |
| # Öva ekvationer (= Extrablad ekvationer): finns bara på papper
| |
| # Faktorisering: finns bara på papper
| |
| # Öva enkla andragradsekvationer: finns bara på papper
| |
| | |
| {{print|
| |
| '''Nöt in detta som du måste kunna!'''
| |
| # [[Media:Öva_konjugatregeln.pdf|Öva konjugatregeln]]
| |
| # [[Media:Öva_kvadreringsreglerna.pdf|Öva kvadreringsreglerna]]
| |
| # [[Media:Öva_pq-formeln.pdf|Öva pq-formeln]]
| |
| }}
| |
|
| |
|
| '''Provet''' skall vara tisdag vecka 7 (ligger på SchoolSoft).
| | == [[Repetition inför prov Algebra Ma2C]] == |
|
| |
|
| == Facit och bedömning == | | == Facit och bedömning == |
|
| |
|
| Christers bedömningsmall från mellandagen bör finnas [[media:Prov_1_-_Lösnförslag.ppsx| här]]. Lösningen är till Prov 1 ver 4 (2013) | | Christers bedömningsmall från mellandagen bör finnas [[media:Prov_1_-_Lösnförslag.ppsx| här]]. Lösningen är till Prov 1 ver 4 (2013) |
