Algebra 2C: Skillnad mellan sidversioner

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök
VisuellWikitext
 
(14 mellanliggande sidversioner av samma användare visas inte)
Rad 7: Rad 7:
= Kvadrerings- och konjugatregler =
= Kvadrerings- och konjugatregler =
{{flipp|-}}
{{flipp|-}}
== Parentesmultiplikation ==
== [[Parentesmultiplikation]] ==


=== Multiplikationen är både algebra och geometri ===
== [[Kvadreringsregeln Ma2C]] ==
<html>
<iframe src="http://www.slideshare.net/slideshow/embed_code/14577014" width="342" height="291" align="right" frameborder="0" marginwidth="0" marginheight="0" scrolling="no" style="border:1px solid #CCC;border-width:1px 1px 0;margin-bottom:5px" allowfullscreen> </iframe> <div style="margin-bottom:5px"> <strong> <a href="http://www.slideshare.net/HkanElderstig/gnger-med-bilder" title="Gånger med bilder" target="_blank">Gånger med bilder</a> </strong> from <strong><a href="http://www.slideshare.net/HkanElderstig" target="_blank">Håkan Elderstig</a></strong> </div>
</html>
 
Hur funkar det om man multiplicerar två parenteser med varandra?
 
'''Först inleder vi med ett exempel med siffror'''
 
En övning som visar exemplet nedan i bilder. Ett tal kan delas upp i sin entalsdel och sin tiotalsdel innan en multiplikation. <font color=darkgreen>PowerPoint</font color=darkgreen>. [[Media:Ganger_med_bilder.ppt|Gånger av tvåsiffriga tal ]]visas med hjälp av bilder. ''Detta är [[Övningar_tal_och_räkning_6B|ett exempel från grundskolan]].'' Det syns till höger.
 
'''Exempelvis'''
: <math> 12*13=(10+2)*(10+3)=100+30+20+6.  </math>
<br />
 
'''Repetition aritmetik:''' Pappersövning i [[Media:Skriftlig_huvudrakning_ovning.doc|skriftlig huvudräkning]].
{{clear}}
 
=== Och nu med bokstäver ===
{{#ev:youtube| HPAorEQ3gm4|240|right}}
[[Fil:Abcd.png|thumb|(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd]]
 
Tänk sedan att du gör samma sak med bokstäver
 
: <math> (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd</math>
<br>
<html>
<iframe scrolling="no" src="https://tube.geogebra.org/material/iframe/id/3460/width/804/height/646/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/true/smb/false/stb/false/stbh/true/ld/false/sri/true/at/auto" width="804px" height="646px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>
[http://www.geogebratube.org/student/m3460 Hela filen kan laddas ner här].
<br>
<br>
 
=== Bevis som utgår från distributiva lagen ===
 
: <Math> x(c+d) = xc+xd</Math>
<br />
Antag att <Math>x = a+b</Math> och sätt in i uttrycket ovan.
 
:<Math> (a+b) c+(a+b)d</Math>
 
:<Math>  c(a+b)+d(a+b)</Math>
 
:<Math>  ca+cb+da+db</Math>
 
:<Math>  ac+bc+ad+bd  </Math>  V.S.B.
<br />
Läs om [http://www.webbmatte.se/display_page.php?id=35&on_menu=231&page_id_to_fetch=668&lang=arabic&no_cache=163542237# distributiva lagen på wwebbmatte].
 
{{Khanruta|Hitta faktorerna till ett uttryck:
 
[http://www.khanacademy.org/math/algebra/quadtratics/e/solving_quadratics_by_factoring solving quadratics by factoring]}}
 
'''Öva hos OlleH''': http://olleh.se/start/frageprogramMa3.php
 
== Kvadreringsregeln ==
{{flipp| - }} {{TE12A|2}}{{Malruta|Du ska lära dig kvadreringsreglerna. Det är mycket viktigt.}}
{{:kvadreringsregeln}}


== En första läxa ==
== En första läxa ==
Rad 88: Rad 29:
Mejla filen till din lärare.
Mejla filen till din lärare.


== Konjugatregeln ==
== [[Konjugatregeln Ma2C]] ==
{{flipp| - }} {{TE12A|3}}{{Malruta|Du ska lära dig konjugatregeln. Det är mycket viktigt.}}
{{:konjugatregeln}}
 
{{uppgruta|Diagnos 11
* [http://wikiskola.se/images/Veckodiagnos_11.pdf Veckodiagnos 11]
* [[Lösningar till diagnos 11]]
 
'''Rättelse:''' I lösningen till uppgift 6 finns tyvärr inte med att lösningen även har en negativ rot. Detta kommer vi att gå in noggrannare på i avsnitt 1.3 som behandlar andragradsekvationer.
}}
=== Snabbdiagnos 1 ===
 
{{print|[http://wikiskola.se/images/Snabbdiagnos1_kvadrerings.pdf snabbdiagnos1 kvadrerings- och konjugatreglerna]
}}
 
== Ekvationer med x<sup>2</sup>-term ==
 
{{flipp| - }}{{lm2c|Ekvationer|25-29}}  {{TE12A|4}} 
'''Repetition'''
 
Gör Khan-uppgiften från förra avsnittet om du inte redan gjort det.
 
=== Intro ===


Detta avsnitt handlar om ingenting kan man säga. Det handlar nämligen om ekvationer med x<sup>2</sup>-termer som försvinner vid förenklingen.
== [[Ekvationer med x^2-term]] ==
 
=== Räkna uppgifterna: 1245-1258 ===
{{läxa|Gör dessa uppgifter i GeoGebra
* Uppgift 1251: Här gör du skissen i GeoGebra.
* Uppgift 1257: Läs om en [http://sv.wikipedia.org/wiki/Ellips_%28matematik%29 Ellips på Wikipedia].
** Pröva att göra en ellips i GeoGebra. Ledining skriv in ekvationen (x/a)^2+(y/b)^2{{=}}1. Välj själv värden på a och b.
** Sök på Ellipse på GeoGebraTube.org. [[Inte ett facit till ellipsen]].
** Titta på en ellips i Wolfram|Alpha. Skriv in en formel eller skriv ordet Ellipse. [http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x%2F2%29^2%2B%28y%2F11%29^2%3D1 fuskväg]
}}
 
=== En laborativ datorövning på pascals triangel ===
 
{{transclude|{{:Pascals_triangel}}}}


= Andragradsekvationer =
= Andragradsekvationer =


== Enkla andragradsekvationer ==
== [[Enkla andragradsekvationer]] ==
{{flipp| - }}{{lm2c|pq-formeln|30-32 och 35-38}}  {{TE12A|5}} 
 
{{#ev:youtube| Aa7M6Vzs71U}}
Av Daniel Barker.
 
Den här behöver man fundera på en stund. [http://www.geogebratube.org/student/m358 Quadratic equations in early Baghdad]
 
Även nu har vi att göra med andragradsekvationer som är enkla fall av den fullständiga ekvationen.
 
Antingen förkortas x-termerna bort så att man får kvadrattermer kvar att ta roten ur
 
eller
 
så har man ett kvadraten på ett binom (ett parentesuttryck upphöjt till två) som man tar roten ur.
 
I båda fallen blir det en positiv och en negativ rot som svar (eller cdel av svaret men det blir inga imaginära tal eller komplexa rötter i detta avsnitt.
 
== Fullständiga andragradsekvationer ==


=== pq-formeln - Förklaring===
== [[Fullständiga andragradsekvationer]] ==
{{Malruta|Du ska lära dig pq-formeln. Det är mycket viktigt.}}


En generell beskrivning av en andragradsekvation ser ut så här:
== [[Kvadratkomplettering]] ==
 
: <math> x^2 + px + q = 0 </math>
 
där p och q är tal (siffror) i den speciella ekvationen.
 
Den allmänna ekvationen har lösningen:
 
: <math> x=-p/2 \pm \sqrt{(p/2)^2-q} </math>
 
Om du vill lösa en ekvation behöver du bara ta reda på vad p och q motsvaras av i din ekvation och sedan sätter du in dessa siffror i formeln ovan.
 
Tänk på att det inte ska stå någor framför <math>x^2 </math>-termen
 
'''Flipp:''' Se två filmer med Michael Bondestam:
 
{{#ev:youtube|eQZEtWY_4kE|340|left}}{{#ev:youtube|FVMWj3PTn7U|340|right}}
 
<br>
<pdf>Peequu-01022012090823.pdf</pdf>
 
<br>
'''Räkna själv'''
 
'''Lösning:''' 1339 har jag gjort i ggb och den finns på hårddisken.
 
Mario om nytan med andragradsekvationer:
<br>
<youtube>goYnB61nrjg</youtube>
<br>
 
== Kvadratkomplettering ==
{{flipp| - }}
{{lm2c|Kvadratkomplettering|33-34}}  {{TE12A|6}} 
 
{{#ev:youtube|VacSvx3dRhs|340|right}}
Man kan börja med kvadratkomplettering som en inledande förklaring till pq-formeln men det är lika bra att ge sig på pq-formeln direkt. Sedan kan man gå tillbaks till kvadratkompletteringen för att få ett bevis för att pq-formeln fungerar.
 
 
=== '''Uppgift:'''  ===
 
{{khanruta|'''Solving Quadratics by facoring'''
Lös dessa [http://www.khanacademy.org/exercise/solving_quadratics_by_factoring Khan, relativt enkla andragradsekvationer]. De kan lösas genom att gissa eller faktorisera.
 
Möjligen kan det vara svårt att veta hur de menar att man ska göra på vissa uppgifter. Ta reda på rötterna och faktorisera så går et bra.
}}


== Diagnos 2 med pq-formeln ==
== Diagnos 2 med pq-formeln ==
Rad 203: Rad 45:
{{print|[http://wikiskola.se/images/Snabbdiagnos2_kvadrerings_och_pq.pdf Snabbdiagnos 2]}}
{{print|[http://wikiskola.se/images/Snabbdiagnos2_kvadrerings_och_pq.pdf Snabbdiagnos 2]}}


== Andragradsekvationer och rötter ==
== [[Andragradsekvationer och rötter]] ==
 
{{flipp| - }}{{lm2c|Diverse|39-44}}  {{TE12A|7}} 
 
{{exruta|Lös ekvationen:
:<math>x^2-8x+16=0</math>
 
Vad händer?
 
Pröva nu ekvationen:
:<math>x^2-8x+17=0</math>
 
här har vi en ekvation som saknar reella lösningar.
}}
 
 
[[Fil:Exempel1_sid_35_Ma2c.PNG|300px|right|CC By --[[Användare:Hakan|hakan]] 3 februari 2012 kl. 17.50 (UTC)]]
 
 
{{defruta|
En andragradsekvation kan ha
två reella rötter ''eller''
en dubbelrot ''eller''
två komplexa rötter
}}
 
{{#ev:youtube|LTR1s87IC2I|320|right}}
 
 
{{Uppgruta|
: Lös uppgifterna i denna gamla [http://wikiskola.se/images/Veckodiagnos12.pdf Diagnos 12]
: Genomgång av diagnosen: [[Facit till Diagnos 12]]
}}
 
== Komplexa tal ==
 
 
=== Teori ===
{{defruta|'''Komplexa tal'''
<br />
:<math>\sqrt{-1} = i </math>
 
: <math> i^2 = -1 </math>
<br />
 
Ett komplext tal består av en realdel <math>a</math> och en imaginärdel <math>b</math>.
<br />
: <math> z = a + bi </math>
}}
<br />
'''Läs mer:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/Komplexa_tal Komplexa tal på wikipedia]
 
=== Vad ska man ha komplexa tal till? ===
{{#ev:youtube|DHoRnxqnWrw|320|right|komplexa tal}}
 
* Komplexa tal '''används''' när man räknar på växelström.
** Titta på denna [http://www.tsl.uu.se/~pomp/elektroteknik/del_3_a_liten.pdf ppt från Uppsala].
** [http://sv.wikipedia.org/wiki/J%CF%89-metoden j-omegametoden]
 
=== Komplexa rötter ===
 
[http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^2%3D-16 x<sup>2</sup> = -16] har ingen reell rot men däremot två komplexa. Det beror på att lösningen är roten ut ett negativt tal. Roten ur -16 är +4i respektive -4i.
 
[http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^2%2B3x%2B16%3D0 x<sup>2</sup>+3x+16=0] har också två komplexa rötter fast här beror varje rot av både en realdel och en imaginärdel.
{{clear}}
 
== Rotekvationer ==
{{flipp| - }}{{lm2c|Diverse|45-49}}  {{TE12A|8}} 
{{#ev:youtube|8hY6gm_NTMg|320|right|Rotekvationen}}
 
'''Teori'''
 
Rotekvationer innehåller x-termer och roten ur x-termer. Man löser dem genom att kvadrera båda leden.
 
: <math> \sqrt{x+2} = x </math>
 
Kvadrera båda sidorna:
 
: <math> x+2 = x^2 </math>
 
: <math> x^2 - x - 2 = 0 </math>
 
: <math> x =  \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} + 2} </math>
 
: <math> x =  \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{8}{4}} </math>
 
: <math> x =  \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}} </math>
 
: <math> x =  \frac{1}{2} \pm \frac{3}{2} </math>
 
: <math> x_1 = - 1, x_2 = 2 </math>
 
Viktigt att kolla om man har falska rötter.
 
<math>-1 </math> är en falsk rot eftersom den inte gör att vänster led och höger led blir lika i ursprungsekvationen.
 
Svaret är alltså <math>x = 2</math>
{{clear}}
 
== Problemlösning med ekvationer ==
 
=== Professionell matte ===
 
Har ni tänkt på att det är ett tag sedan vi gjorde matte som man har nytta av i vardagen? Kvadreingsregeln, konjugatregeln, kvadratkompletteringen och pq-formel hör inte till vardagsmatten. De hör till den professionella matten. Sådan matte som ingenjörer använder.


=== Vad ska man ha andragradsekvationer till? ===
== [[Komplexa tal Ma2C]] ==


De används i spel till exempel.
== [[Rotekvationer]] ==


* Wikipedia om projectile motion
== [[Problemlösning med ekvationer]] ==
* [[Programmering_och_simulering#Fysiken_bakom_spelen_-_inspiration_till_matten|Här finns länkar om fysikmotorn bakom Angry Birds och mycket annat]]
* Det finns [[Flashexempel_för_undervisning:_Två_bollar|ett exempel med två bollar som faller]] och där den ena även far i x-led. Banan beskriver en parabel och det är ett klassiskt exempel på en andragradsekvation. Du kan se Action Script-koden.


=== PhET ===
=[[Ekvationslösning med faktorisering]] =
 
<br>
<html><iframe src="http://phet.colorado.edu/sims/projectile-motion/projectile-motion_en.html" width="800" height="600"></iframe></html>
<br>
<br>
En idé kan vara att ta en screenshot på en projektilbana från PhET-simuleringen ovan och klistra in i GeoGebra. Sedan sätter man tre eller fler punkter på kurvan och anpassar till en andragradsekvation. Det visar om inte annat bakvägen att fysiken innehåller andragradsfunktioner. Om man är osäker på hur man anpassar punkter till en funktion så har jag gjort det med mätvärdena från laborationen på [[Laborationer_i_Fysik_A#GeoGebra|tyngdacceleration]].
 
=Ekvationslösning med faktorisering =
 
{{flipp| - }}{{lm2c|Faktorisering|50-56}}  {{TE12A|9-10}} 
 
Diagnosen blir läxa att göra om hemma och denna gång ska den ha alla rätt. Det gäller alla. Facit kommer upp på tisdag så kan alla rätta själva.
* [[Facit till Diagnos 13]]
 
På tisdag som är en lång lektion kommer vi att göra uppdelning i faktorer både med konjugatregeln och kvadreringsreglerna om det går.
 
== Uppdelning i faktorer med konjugatregeln ==
 
{{uppgruta|
Först ska vi [[repetera konjugatregeln]] med ett lösblad där det är rad snabba uppgifter. Dessa uppgifter bör klaras av på mindre än tre minuter.
}}
 
== Uppdelning i faktorer med kvadreringsreglerna ==
{{uppgruta|
Här ska vi också [[repetera kvadreringsreglerna]] med ett lösblad.
}}


== Faktorisering och ekvationer ==
== Faktorisering och ekvationer ==
Rad 352: Rad 63:
'''Dagens beting:''' 1426-1430
'''Dagens beting:''' 1426-1430


== Dataövning - konsekutiva tal ==
== [[Dataövning - konsekutiva tal]] ==
{{flipp| - }}{{lm2c|Konsekutiva tal|57}} 
[[Fil:Fredrik_problem_konsekutiva_tal.jpg|300px|right|Fredriks lösning.]]
 
'''Del ett''' (n-1)(n+1)+1
 
'''Del två'''
 
Del tv är svårare. Det handlar om fyra konsekutiva tal. Addera ett till produkten av de fyra talen och ta roten ur. Detta ska bli ett heltal.
* [http://www.wolframalpha.com/input/?i=sqr%28n%28n%2B1%29%28n%2B2%29%28n%2B3%29%2B1%29 Wolfram|Alpha] har en lösning men ingen förklaring.
* Med hjälp av den ledtråden från Wolfram ser [[Media:Konsek_he-13022012163805.pdf|min lösning ut så här]].
* [[Media:Tanja_konsekutiva_tal.pdf|Tanja]] löser uppgiften genom att pröva.
* Fredrik använder kvadratkomplettering och substitution för att lösa uppgiften. Lösningen syns i bilden till höger.
* [[Media:Konsek_charles-13022012163848.pdf|Charlie i NV11]] löser det genom att hitta mönster i de tal han prövar med och ...
 
== Prov onsdag vecka 6 ==
 
{{TE12A|11-12}} 
 
{{uppgruta|'''Diagnos 14'''
 
* [[Media:Veckodiagnos14.pdf|Diagnos 14]]
* [[Media:Veckodiagnos14-Facit.pdf|Diagnos 14 Facit]]
}}
 
'''Repetition på fredag och måndag'''
 
'''Uppgift:''' Khan Academy
{{khanruta|
# [http://www.khanacademy.org/exercise/multiplying_expressions_1 Khan om hur man multiplicerar binom] ska du verkligen öva på.
}}
 
'''Uppgifter'''
 
* Läs sammanfattningen på sidan 54.
* Gör Test 1 på sidan 55.
 
'''pappersövningar'''
 
# Öva ekvationer (= Extrablad ekvationer): finns bara på papper
# Faktorisering: finns bara på papper
# Öva enkla andragradsekvationer:  finns bara på papper
 
{{print|
'''Nöt in detta som du måste kunna!'''
# [[Media:Öva_konjugatregeln.pdf|Öva konjugatregeln]]
# [[Media:Öva_kvadreringsreglerna.pdf|Öva kvadreringsreglerna]]
# [[Media:Öva_pq-formeln.pdf|Öva pq-formeln]]
}}


'''Provet''' skall vara tisdag vecka 7 (ligger på SchoolSoft).
== [[Repetition inför prov Algebra Ma2C]] ==


== Facit och bedömning ==
== Facit och bedömning ==


Christers bedömningsmall från mellandagen bör finnas [[media:Prov_1_-_Lösnförslag.ppsx| här]]. Lösningen är till Prov 1 ver 4 (2013)
Christers bedömningsmall från mellandagen bör finnas [[media:Prov_1_-_Lösnförslag.ppsx| här]]. Lösningen är till Prov 1 ver 4 (2013)

Nuvarande version från 3 januari 2016 kl. 21.20

Intro Algebra Ma2C

Förenkling av uttryck

Ekvationer Ma2C

Kvadrerings- och konjugatregler

Flipped lesson: arbeta igenom innehållet till nästa lektion innan lektionen. Det vinner du på!

Parentesmultiplikation

Kvadreringsregeln Ma2C

En första läxa

Det är viktigt att vi kommer igång med att lära oss Geogebra.

Första naturliga ingången är egentligen räta linjen där det blir en tydlig koppling mellan funktion och utseende.

GGB-uppgift 1

Ladda ner programmet.

Skriv in en valfri räta linjens funktion.

Ändra färg och tjocklek på grafen.

Ändra så att grafens egenskap syns.

Mejla filen till din lärare.

Konjugatregeln Ma2C

Ekvationer med x^2-term

Andragradsekvationer

Enkla andragradsekvationer

Fullständiga andragradsekvationer

Kvadratkomplettering

Diagnos 2 med pq-formeln

Du kan printa denna! Snabbdiagnos 2


Andragradsekvationer och rötter

Komplexa tal Ma2C

Rotekvationer

Problemlösning med ekvationer

Ekvationslösning med faktorisering

Faktorisering och ekvationer

Onsdag

Repetera lösbladet från förra lektionen en gång till. I övrigt struntar vi i beting på faktorisering med kvadreringsregelerna.

Dagens beting: 1426-1430

Dataövning - konsekutiva tal

Repetition inför prov Algebra Ma2C

Facit och bedömning

Christers bedömningsmall från mellandagen bör finnas här. Lösningen är till Prov 1 ver 4 (2013)

Hämtad från ”https://wikiskola.se/index.php?title=Algebra_2C&oldid=33532”