|
|
| (166 mellanliggande sidversioner av 3 användare visas inte) |
| Rad 1: |
Rad 1: |
| Kapitel 1 i boken Matematik 2C innehåller 16 delar vilket rimligen bör ta omkring 16 lektionstillfällen eller fyra veckor i anspråk.
| | == [[Intro Algebra Ma2C]]== |
|
| |
|
| = Repetition = | | == [[Förenkling av uttryck]] == |
|
| |
|
| | | == [[Ekvationer Ma2C]] == |
| == Mål för wikiskola på denna sida == | |
| | |
| Ett mål för denna kurs är att varje avsnitt om möjligt ska ha ett videoklipp med någon som förklarar, relevant länk till Khan samt en GGB el dyl som anknyter till bokens teoridel. Dessutom vore det fint med några egna övningsuppgifter och någon datorövning.
| |
| | |
| == Intro ==
| |
| | |
| '''Kuriosa:''' [http://www.google.se/search?q=3x^2%2B3x%2B3%3D5&ie=utf-8&oe=utf-8&aq=t&rls=org.mozilla:sv-SE:official&client=firefox-a#sclient=psy-ab&hl=sv&client=firefox-a&hs=aAn&rls=org.mozilla:sv-SE%3Aofficial&source=hp&q=y%3D3x^2%2B3x%2B3%2C+y%3D100&pbx=1&oq=y%3D3x^2%2B3x%2B3%2C+y%3D100&aq=f&aqi=&aql=&gs_sm=e&gs_upl=29l3131l2l3711l5l5l0l0l0l0l221l843l0.4.1l5l0&bav=on.2,or.r_gc.r_pw.,cf.osb&fp=26d2ec7e6f870a19&biw=1118&bih=595 Grafer på Google]
| |
| | |
| '''Algebraintroti boken på sid 3'''
| |
| | |
| [http://sv.wikipedia.org/wiki/Girolamo_Cardano Gerolamo Cardano] funderade över lösingen till följande ekvation | |
| | |
| Kan vi dela talet 8 i två delar så att deras produkt blir 25?
| |
| x(8-x) = 25
| |
| | |
| Ekvationen har följande rötter:
| |
| | |
| x = 4 + rot(-9)
| |
| x = 4 - rot(-9)
| |
| | |
| Ekvationen kan skrivas om på detta sätt:
| |
| | |
| 8x - x<sup>2</sup> = 25
| |
| | |
| x<sup>2</sup> - 8x + 25 = 0
| |
| | |
| Men vad är roten ur -9? Det är ett imagint tal, som skrivs 3i. Kolla gärna Wolfram Alpha för en [http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%288-x%29%20%3D%2025&t=ff3tb01 lösning] till ekvationen ovan
| |
| | |
| == Förenkling av uttryck ==
| |
| | |
| '''Sats: Distributiva lagen'''
| |
| | |
| a(b+c) = ab + ac
| |
| | |
| == Ekvationer ==
| |
| | |
| Vid lösning av ekvationer kan du tänka att det är tillåtet att göra samma sak på båda sidor av likhetstecknet. Du kan addera samma sak på båda sidorna. Eller subtrahera samma sak på båda sidorna. På samma sätt kan du multiplicera eller dividera med samma sak på båda sidorna.
| |
| | |
| Detta kan du använda för att förkorta bort något på ena sidan och resultatet blir att den saken byter upp på andra sidan men med motsatt tecken (plus blir minus osv).
| |
| | |
| På denna sida från Matteboken.se finns en förklaring [http://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/algebra/skriva-om-formler skriva om hur man ändrar i ekvationer på detta sätt]. Titta gärna på filmen på sidan också.
| |
| | |
| När man får kläm på det här sättet att ändra i ekvationer brukar man helt enkelt flytta över saker till andra sidan och byta tecken. På så sätt kan man ändra en ekvation så att man får sitt x (eller vilken variabel man nu vill lösa ut) ensamt på en sida.
| |
|
| |
|
| = Kvadrerings- och konjugatregler = | | = Kvadrerings- och konjugatregler = |
| | {{flipp|-}} |
| | == [[Parentesmultiplikation]] == |
|
| |
|
| == Parentesmultiplikation == | | == [[Kvadreringsregeln Ma2C]] == |
| | |
| === Multiplikationen är både algebra och geometri ===
| |
| | |
| [[Fil:Abcd.png|thumb|(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd]]
| |
| | |
| Hur funkar det om man multiplicerar två parenteser med varandra?
| |
| | |
| '''Först inleder vi med ett exempel med siffror'''
| |
| | |
| En övning som visar exemplet nedan i bilder. Ett tal kan delas upp i sin entalsdel och sin tiotalsdel innan en multiplikation. <font color=darkgreen>PowerPoint</font color=darkgreen>. [[Media:Ganger_med_bilder.ppt|Gånger av tvåsiffriga tal ]]visas med hjälp av bilder. ''Detta är [[Övningar_tal_och_räkning_6B|ett exempel från grundskolan]].''
| |
| | |
| exempelvis
| |
| 12*13=(10+2)*(10+3)=100+30+20+6.
| |
| | |
| '''Repetition aritmetik:''' Pappersövning i [[Media:Skriftlig_huvudrakning_ovning.doc|skriftlig huvudräkning]].
| |
| | |
| Tänk sedan att du gör samma sak med bokstäver
| |
| | |
| (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
| |
| <br>
| |
| <ggb_applet width="796" height="511" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
| |
| [http://www.geogebratube.org/student/m3460 Hela filen kan laddas ner här].
| |
| <br>
| |
| <br>
| |
| === Bevis som utgår från distributiva lagen ===
| |
| | |
| x(c+d) = xc+xd
| |
| | |
| Antag att x = a+b och sätt in i uttrycket ovan.
| |
| | |
| (a+b)c+(a+b)d
| |
|
| |
| c(a+b)+d(a+b)
| |
|
| |
| ca+cb+da+db
| |
|
| |
| ac+bc+ad+bd V.S.B.
| |
| | |
| Läs om [http://www.webbmatte.se/display_page.php?id=35&on_menu=231&page_id_to_fetch=668&lang=arabic&no_cache=163542237# distrributiva lagen på wwebbmatte].
| |
| | |
| == Kvadreringsregeln ==
| |
| | |
| (a+b)<sup>2</sup> = a<sup>2</sup>+2ab+b<sup>2</sup>
| |
| | |
| (a-b)<sup>2</sup> = a<sup>2</sup>-2ab+b<sup>2</sup>
| |
| | |
| Förklaring
| |
|
| |
| (a-b)<sup>2</sup> =
| |
| (a-b)(a-b) =
| |
| a<sup>2</sup>-ab-ba+b<sup>2</sup> = ( och ab = ba )
| |
| a<sup>2</sup>-2ab+b<sup>2</sup> V.S.B.
| |
| | |
| | |
| '''Länkar:'''
| |
| | |
| * [http://matteboken.se/lektioner/matte-b/algebra-och-geometri/kvadreringsreglerna matteboken om kvadreringsreglerna]
| |
| * [http://sv.wikipedia.org/wiki/Kvadreringsregeln Kvadreringsregeln på Wikipedia] (syns även nedan)
| |
| | |
| Bondestam respektive Wille på Mattecentrum om kvadreringsregeln:
| |
| | |
| <youtube>-r6q69yktQo</youtube><youtube>z752eJNWsXA</youtube>
| |
| <br>
| |
| <br>
| |
| Wikipedia (i utskriftsvänlig version) om kvadreringsregeln, nedan inklippt:
| |
| | |
| <html><iframe frameborder="0" marginheight="10"
| |
| marginwidth="10" name="wikipedia" scrolling="auto" src="http://sv.wikipedia.org/w/index.php?title=Kvadreringsreglerna&printable=yes" width="900" height="550"></iframe></html>
| |
| | |
| ''Texten ovan är från Wikipedia och inklippt i en frame ''
| |
|
| |
|
| == Konjugatregeln == | | == En första läxa == |
|
| |
|
| === Diagnos 11 ===
| | Det är viktigt att vi kommer igång med att lära oss Geogebra. |
|
| |
|
| [[Lösningar till diagnos 11]]
| | Första naturliga ingången är egentligen räta linjen där det blir en tydlig koppling mellan funktion och utseende. |
|
| |
|
| '''Rättelse:''' I lösningen till uppgift 6 finns tyvärr inte med att lösningen även har en negativ rot. Detta kommer vi att gå in noggrannare på i avsnitt 1.3 som behandlar andragradsekvationer.
| | === GGB-uppgift 1 === |
|
| |
|
| === Teori ===
| | Ladda ner programmet. |
|
| |
|
| Så här ser den ut:
| | Skriv in en valfri räta linjens funktion. |
|
| |
| a<sup>2</sup>-b<sup>2</sup> = (a-b)(a+b)
| |
|
| |
|
| utför multiplikationen
| | Ändra färg och tjocklek på grafen. |
| (a-b)(a+b) = a<sup>2</sup>ab-ba-b<sup>2</sup>
| |
|
| |
| (a-b)(a+b) = a<sup>2</sup>ab-ab-b<sup>2</sup>
| |
|
| |
| (a-b)(a+b) = a<sup>2</sup>b<sup>2</sup>
| |
|
| |
| V.S.B.
| |
|
| |
|
| '''Länk:''' [http://en.wikipedia.org/wiki/Difference_of_two_squares engelska Wikipedia]
| | Ändra så att grafens egenskap syns. |
|
| |
|
| === Film ===
| | Mejla filen till din lärare. |
|
| |
|
| Bondestam (tv) respektive Matteboken (th) förklarar:
| | == [[Konjugatregeln Ma2C]] == |
|
| |
|
| <youtube>TmLbY5t3N5o</youtube><youtube>_cf5hMjgNR0</youtube>
| | == [[Ekvationer med x^2-term]] == |
| | |
| | |
| === Geometriskt bevis av konjugatregeln === | |
| | |
| '''Första beviset'''
| |
| | |
| [[Fil:Difference_of_two_squares.png]]
| |
| | |
| '''Andra beviset'''
| |
| | |
| [[Fil:800px-Difference_of_two_squares_geometric_proof.png]] | |
| | |
| === Uppgifter ===
| |
| | |
| '''Khan: Parentesmultiplikation'''
| |
| | |
| Hunnet så här långt kan vi repetera genom att lösa lite uppgifter på Khan Academy. De är dels av typen (a+b)(c+d) men också sådana som tillämpar kvadreringsregeln.
| |
| | |
| [http://www.khanacademy.org/exercise/multiplying_expressions_1 Khan om hur man multiplicerar binom] ska du verkligen öva på.
| |
| | |
| '''Webbmatte'''
| |
| | |
| * [http://www.webbmatte.se/display_page.php?id=35&on_menu=231&page_id_to_fetch=671&lang=arabic Konjugatregeln på Webbmatte]
| |
| | |
| == Ekvationer med x<sup>2</sup>-term ==
| |
| | |
| '''Repetition'''
| |
| | |
| Uppgiften från förra lektionen att göra Khan ett tagskulle kunna vara en vettig repetition av föregående vecka.
| |
| | |
| === Intro ===
| |
| | |
| Detta avsnitt handlar om ingenting kan man säga. Det handlar nämligen om ekvationer med x<sup>2</sup>-termer som försvinner vid förenklingen.
| |
| | |
| === Övning: Pascals triangel ===
| |
| | |
| Gör övningen på sidan 24-25. Titta även på wikipedia.
| |
|
| |
|
| = Andragradsekvationer = | | = Andragradsekvationer = |
|
| |
|
| == Enkla andragradsekvationer == | | == [[Enkla andragradsekvationer]] == |
|
| |
|
| Den här behöver man fundera på en stund. [http://www.geogebratube.org/student/m358 Quadratic equations in early Baghdad]
| | == [[Fullständiga andragradsekvationer]] == |
|
| |
|
| == Kvadratkomplettering == | | == [[Kvadratkomplettering]] == |
|
| |
|
| | == Diagnos 2 med pq-formeln == |
|
| |
|
| === '''Uppgift:''' Khan Academy ===
| | {{print|[http://wikiskola.se/images/Snabbdiagnos2_kvadrerings_och_pq.pdf Snabbdiagnos 2]}} |
|
| |
|
| Lös dessa [http://www.khanacademy.org/exercise/solving_quadratics_by_factoring Khan, relativt enkla andragradsekvationer]. De kan lösas genom att gissa eller faktorisera.
| | == [[Andragradsekvationer och rötter]] == |
|
| |
|
| == Fullständiga andragradsekvationer == | | == [[Komplexa tal Ma2C]] == |
|
| |
|
| '''pq-formeln'''
| | == [[Rotekvationer]] == |
|
| |
|
| x<sup>2</sup>+px+q=0
| | == [[Problemlösning med ekvationer]] == |
| x=-p/2+-((p/2)<sup>2</sup>-q)<sup>0.5</sup>
| |
|
| |
|
| Se en film med Michael Bondestam:
| | =[[Ekvationslösning med faktorisering]] = |
| <youtube>eQZEtWY_4kE</youtube>
| |
|
| |
|
| == Andragradsekvationer och rötter == | | == Faktorisering och ekvationer == |
| | |
| | |
| == Komplexa tal ==
| |
| | |
| | |
| == Rotekvationer ==
| |
|
| |
|
| | Onsdag |
|
| |
|
| == Problemlösning med ekvationer ==
| | Repetera lösbladet från förra lektionen en gång till. I övrigt struntar vi i beting på faktorisering med kvadreringsregelerna. |
|
| |
|
| =Ekvationslösning med faktorisering =
| | '''Dagens beting:''' 1426-1430 |
|
| |
|
| == Uppdelning i faktorer med konjugatregeln == | | == [[Dataövning - konsekutiva tal]] == |
|
| |
|
| | == [[Repetition inför prov Algebra Ma2C]] == |
|
| |
|
| == Uppdelning i faktorer med kvadreringsreglerna == | | == Facit och bedömning == |
|
| |
|
| == Faktorisering och ekvationer ==
| | Christers bedömningsmall från mellandagen bör finnas [[media:Prov_1_-_Lösnförslag.ppsx| här]]. Lösningen är till Prov 1 ver 4 (2013) |
