|
|
| (186 mellanliggande sidversioner av 3 användare visas inte) |
| Rad 1: |
Rad 1: |
| Kapitel 1 i boken Matematik 2C innehåller 16 delar vilket rimligen bör ta omkring 16 lektionstillfällen eller fyra veckor i anspråk.
| | == [[Intro Algebra Ma2C]]== |
|
| |
|
| = Repetition = | | == [[Förenkling av uttryck]] == |
|
| |
|
| | | == [[Ekvationer Ma2C]] == |
| == Mål för wikiskola på denna sida == | |
| | |
| Ett mål för denna kurs är att varje avsnitt om möjligt ska ha ett videoklipp med någon som förklarar, relevant länk till Khan samt en GGB el dyl som anknyter till bokens teoridel. Dessutom vore det fint med några egna övningsuppgifter och någon datorövning.
| |
| | |
| == Intro ==
| |
| | |
| '''Kuriosa:''' [http://www.google.se/search?q=3x^2%2B3x%2B3%3D5&ie=utf-8&oe=utf-8&aq=t&rls=org.mozilla:sv-SE:official&client=firefox-a#sclient=psy-ab&hl=sv&client=firefox-a&hs=aAn&rls=org.mozilla:sv-SE%3Aofficial&source=hp&q=y%3D3x^2%2B3x%2B3%2C+y%3D100&pbx=1&oq=y%3D3x^2%2B3x%2B3%2C+y%3D100&aq=f&aqi=&aql=&gs_sm=e&gs_upl=29l3131l2l3711l5l5l0l0l0l0l221l843l0.4.1l5l0&bav=on.2,or.r_gc.r_pw.,cf.osb&fp=26d2ec7e6f870a19&biw=1118&bih=595 Grafer på Google]
| |
| | |
| '''Algebraintroti boken på sid 3'''
| |
| | |
| [http://sv.wikipedia.org/wiki/Girolamo_Cardano Gerolamo Cardano] funderade över lösingen till följande ekvation | |
| | |
| Kan vi dela talet 8 i två delar så att deras produkt blir 25?
| |
| x(8-x) = 25
| |
| | |
| Ekvationen har följande rötter:
| |
| | |
| x = 4 + rot(-9)
| |
| x = 4 - rot(-9)
| |
| | |
| Ekvationen kan skrivas om på detta sätt:
| |
| | |
| 8x - x<sup>2</sup> = 25
| |
| | |
| x<sup>2</sup> - 8x + 25 = 0
| |
| | |
| Men vad är roten ur -9? Det är ett imagint tal, som skrivs 3i. Kolla gärna Wolfram Alpha för en [http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%288-x%29%20%3D%2025&t=ff3tb01 lösning] till ekvationen ovan
| |
| | |
| == Förenkling av uttryck ==
| |
| | |
| '''Sats: Distributiva lagen'''
| |
| | |
| a(b+c) = ab + ac
| |
| | |
| == Ekvationer ==
| |
| | |
| Vid lösning av ekvationer kan du tänka att det är tillåtet att göra samma sak på båda sidor av likhetstecknet. Du kan addera samma sak på båda sidorna. Eller subtrahera samma sak på båda sidorna. På samma sätt kan du multiplicera eller dividera med samma sak på båda sidorna.
| |
| | |
| Detta kan du använda för att förkorta bort något på ena sidan och resultatet blir att den saken byter upp på andra sidan men med motsatt tecken (plus blir minus osv).
| |
| | |
| På denna sida från Matteboken.se finns en förklaring [http://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/algebra/skriva-om-formler skriva om hur man ändrar i ekvationer på detta sätt]. Titta gärna på filmen på sidan också.
| |
| | |
| När man får kläm på det här sättet att ändra i ekvationer brukar man helt enkelt flytta över saker till andra sidan och byta tecken. På så sätt kan man ändra en ekvation så att man får sitt x (eller vilken variabel man nu vill lösa ut) ensamt på en sida.
| |
|
| |
|
| = Kvadrerings- och konjugatregler = | | = Kvadrerings- och konjugatregler = |
| | {{flipp|-}} |
| | == [[Parentesmultiplikation]] == |
|
| |
|
| == Parentesmultiplikation == | | == [[Kvadreringsregeln Ma2C]] == |
| | |
| === Multiplikationen är både algebra och geometri ===
| |
| | |
| [[Fil:Abcd.png|thumb|(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd]] | |
|
| |
|
| Hur funkar det om man multiplicerar två parenteser med varandra?
| | == En första läxa == |
|
| |
|
| '''Först inleder vi med ett exempel med siffror'''
| | Det är viktigt att vi kommer igång med att lära oss Geogebra. |
|
| |
|
| En övning som visar exemplet nedan i bilder. Ett tal kan delas upp i sin entalsdel och sin tiotalsdel innan en multiplikation. <font color=darkgreen>PowerPoint</font color=darkgreen>. [[Media:Ganger_med_bilder.ppt|Gånger av tvåsiffriga tal ]]visas med hjälp av bilder. ''Detta är [[Övningar_tal_och_räkning_6B|ett exempel från grundskolan]].''
| | Första naturliga ingången är egentligen räta linjen där det blir en tydlig koppling mellan funktion och utseende. |
|
| |
|
| exempelvis
| | === GGB-uppgift 1 === |
| 12*13=(10+2)*(10+3)=100+30+20+6.
| |
|
| |
|
| '''Repetition aritmetik:''' Pappersövning i [[Media:Skriftlig_huvudrakning_ovning.doc|skriftlig huvudräkning]].
| | Ladda ner programmet. |
|
| |
|
| Tänk sedan att du gör samma sak med bokstäver
| | Skriv in en valfri räta linjens funktion. |
|
| |
|
| (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
| | Ändra färg och tjocklek på grafen. |
| <br>
| |
| <ggb_applet width="796" height="511" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
| |
| [http://www.geogebratube.org/student/m3460 Hela filen kan laddas ner här].
| |
| <br>
| |
| <br>
| |
| === Bevis som utgår från distributiva lagen ===
| |
|
| |
|
| x(c+d) = xc+xd
| | Ändra så att grafens egenskap syns. |
|
| |
|
| Antag att x = a+b och sätt in i uttrycket ovan.
| | Mejla filen till din lärare. |
|
| |
|
| (a+b)c+(a+b)d
| | == [[Konjugatregeln Ma2C]] == |
|
| |
| c(a+b)+d(a+b)
| |
|
| |
| ca+cb+da+db
| |
|
| |
| ac+bc+ad+bd V.S.B.
| |
|
| |
|
| == Kvadreringsregeln == | | == [[Ekvationer med x^2-term]] == |
| | |
| <youtube>z752eJNWsXA</youtube><br>
| |
| | |
| '''Länkar:'''
| |
| | |
| * [http://matteboken.se/lektioner/matte-b/algebra-och-geometri/kvadreringsreglerna matteboken om kvadreringsreglerna]
| |
| * [http://sv.wikipedia.org/wiki/Kvadreringsregeln Kvadreringsregeln på Wikipedia] (syns även nedan)
| |
| | |
| Wille på Mattecentrum om kvadreringsregeln:
| |
| | |
| <youtube>r6q69yktQo</youtube>
| |
| <br>
| |
| <br>
| |
| Wikipedia (i utskriftsvänlig version) om kvadreringsregeln, nedan inklippt:
| |
| | |
| <html><iframe frameborder="0" marginheight="10"
| |
| marginwidth="10" name="wikipedia" scrolling="auto" src="http://sv.wikipedia.org/w/index.php?title=Kvadreringsreglerna&printable=yes" width="900" height="550"></iframe></html>
| |
| | |
| ''Texten ovan är från Wikipedia och inklippt i en frame ''
| |
| | |
| == Konjugatregeln ==
| |
| | |
| Så här ser den ut:
| |
|
| |
| a<sup>2</sup>-b<sup>2</sup> = (a-b)(a+b)
| |
| | |
| utför multiplikationen
| |
| (a-b)(a+b) = a<sup>2</sup>ab-ba-b<sup>2</sup>
| |
|
| |
| (a-b)(a+b) = a<sup>2</sup>ab-ab-b<sup>2</sup>
| |
|
| |
| (a-b)(a+b) = a<sup>2</sup>b<sup>2</sup>
| |
|
| |
| V.S.B.
| |
| | |
| '''Länk:''' [http://en.wikipedia.org/wiki/Difference_of_two_squares engelska Wikipedia]
| |
| | |
| Bondestam (tv) respektive Matteboken (th) förklarar:
| |
| | |
| <youtube>TmLbY5t3N5o</youtube><youtube>_cf5hMjgNR0</youtube>
| |
| | |
| | |
| === Geometriskt bevis av konjugatregeln ===
| |
| | |
| '''Första beviset'''
| |
| | |
| [[Fil:Difference_of_two_squares.png]] | |
| | |
| '''Andra beviset'''
| |
| | |
| [[Fil:800px-Difference_of_two_squares_geometric_proof.png]]
| |
| | |
| == Ekvationer med x<sup>2</sup>-term ==
| |
| | |
| [http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^2%3D-16 x<sup>2</sup> = -16] har ingen reell rot men däremot två komplexa. Det beror på att lösningen är roten ut ett negativt tal. Roten ur -16 är +4i respektive -4i.
| |
| | |
| [http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^2%2B3x%2B16%3D0 x<sup>2</sup>+3x+16=0] har också två komplexa rötter fast här beror varje rot av både en realdel och en imaginärdel.
| |
|
| |
|
| = Andragradsekvationer = | | = Andragradsekvationer = |
|
| |
|
| == Enkla andragradsekvationer == | | == [[Enkla andragradsekvationer]] == |
|
| |
|
| Den här behöver man fundera på en stund. [http://www.geogebratube.org/student/m358 Quadratic equations in early Baghdad]
| | == [[Fullständiga andragradsekvationer]] == |
|
| |
|
| == Kvadratkomplettering == | | == [[Kvadratkomplettering]] == |
|
| |
|
| | == Diagnos 2 med pq-formeln == |
|
| |
|
| == Fullständiga andragradsekvationer ==
| | {{print|[http://wikiskola.se/images/Snabbdiagnos2_kvadrerings_och_pq.pdf Snabbdiagnos 2]}} |
|
| |
|
| '''pq-formeln'''
| | == [[Andragradsekvationer och rötter]] == |
|
| |
|
| x<sup>2</sup>+px+q=0
| | == [[Komplexa tal Ma2C]] == |
| x=-p/2+-((p/2)<sup>2</sup>-q)<sup>0.5</sup>
| |
|
| |
|
| Se en film med Michael Bondestam:
| | == [[Rotekvationer]] == |
| <youtube>eQZEtWY_4kE</youtube>
| |
|
| |
|
| == Andragradsekvationer och rötter == | | == [[Problemlösning med ekvationer]] == |
|
| |
|
| | =[[Ekvationslösning med faktorisering]] = |
|
| |
|
| == Komplexa tal == | | == Faktorisering och ekvationer == |
| | |
|
| |
|
| == Rotekvationer ==
| | Onsdag |
|
| |
|
| | Repetera lösbladet från förra lektionen en gång till. I övrigt struntar vi i beting på faktorisering med kvadreringsregelerna. |
|
| |
|
| == Problemlösning med ekvationer ==
| | '''Dagens beting:''' 1426-1430 |
|
| |
|
| =Ekvationslösning med faktorisering = | | == [[Dataövning - konsekutiva tal]] == |
|
| |
|
| == Uppdelning i faktorer med konjugatregeln == | | == [[Repetition inför prov Algebra Ma2C]] == |
|
| |
|
| | == Facit och bedömning == |
|
| |
|
| == Uppdelning i faktorer med kvadreringsreglerna ==
| | Christers bedömningsmall från mellandagen bör finnas [[media:Prov_1_-_Lösnförslag.ppsx| här]]. Lösningen är till Prov 1 ver 4 (2013) |
| | |
| == Faktorisering och ekvationer ==
| |
