|
|
| (102 mellanliggande sidversioner av en annan användare visas inte) |
| Rad 1: |
Rad 1: |
| == Lektion 1 - Algebra repetition== | | == [[Lektion 1 - Algebra repetition]] == |
|
| |
|
| {{kvadreringsregeln}}
| | == [[Lektion 2 - Trigonometriska grunder]] == |
|
| |
|
| {{uppgruta|'''Repetitionstest'''
| | == [[Lektion 3 - Fasta värden]] == |
| Skriv formler eller algebraiska förklaringar för detta:
| |
| * kvadreringsreglerna
| |
| * formelhantering: Vad är <math> R</math> om <math> I=\frac{U}{R}</math>
| |
| * pq-formeln
| |
| * Pythagoras sats
| |
| }}
| |
|
| |
|
| {{läxa|
| | == [[Lektion 4 - Enhetscirkeln]] == |
| * Räkna uppgifterna på sidan 9.
| |
| * Titta även igenom innehållet till lektion 2 här på wikiskola.
| |
| }}
| |
|
| |
|
| == Lektion 2 == | | == [[Lektion 5 - Areasatsen]] == |
|
| |
|
| {{#ev:youtube| hB3PZPDPHy8 |240|left|}}{{#ev:youtube| Rl92xUAmhgI |240|right|}}
| | == [[Lektion 6 Sinussatsen]] == |
| {{clear}}
| |
| {{#ev:youtube| _ALeqdwMxwM |240|right|}}
| |
|
| |
|
| {{trigonometri grund}}
| | == [[Lektion 7 Cosinussatsen]] == |
|
| |
|
| === Den rätvinkliga triangeln === | | == [[Lektion 8 Problemlösning trigonometri]] == |
|
| |
|
| [[Fil:Rtriangle.png|höger|miniatyr|200px|En rätvinklig triangel med hypotenusan ''c'' och katetrarna ''a'' och ''b''.]] | | == [[Lektion 9 Cirkelns ekvation]] == |
| En rätvinklig triangel är en triangel där en av vinklarna är 90 grader. Sidan som är motsatt den räta vinkeln kallas '''hypotenusa''' och de två övriga sidorna kallas '''katetrar'''.
| |
|
| |
|
| Om ytterligare en vinkel är känd i en rätvinklig triangel är även den tredje vinkeln känd då en triangels vinkelsumma är 180 grader. Trianglar som har samma uppsättning av vinklar är likformighet|likformiga. Detta innebär att om man känner till en vinkel i en rätvinklig triangel är även kvoten mellan sidorna känd. Dessa kvoter ges av de trigonometriska funktionerna för en vinkel ''A'', där ''a'', ''b'' och ''c'' syftar på sidorna i triangeln i bilden till höger enligt:
| | == [[Lektion 10 - Repetition inför trigonometriprov]] == |
| * Sinusfunktionens värde för en vinkel är kvoten mellan motsatta sidan till vinkeln och hypotenusan:
| |
| ::<math>\sin A = \frac{a}{c}</math>
| |
| * Kosingsfunktionens värde för en vinkel är kvoten mellan närliggande sidan till vinkeln och hypotenusan:
| |
| ::<math>\cos A = \frac{b}{c}</math>
| |
| * Tangensfunktionens värde för en vinkel är kvoten mellan motstående och närliggande sidas längd:
| |
| ::<math>\tan A = \frac{a}{b} = \frac{\sin A}{\cos A}</math>
| |
| Med dessa funktioner är det möjligt att (givet exempelvis en sida och en vinkel) bestämma alla sidor och vinklar i en rätvinklig triangel.
| |
| {{wp}}
| |
|
| |
|
| | | == [[Lektion 11 - Gör ett facit till trigonometriprovet]] == |
| {{khanruta|[http://www.khanacademy.org/math/trigonometry/e/trigonometry_1.5 trigonometry 1.5 - den rätvinkliga triangeln]}}
| |
| | |
| {{lm3c|Trigonometri|10}}
| |
| :
| |
| {{Läxa|Lös uppgifterna 1201-1207 och gärna fler.
| |
| }}
| |
| {{flipp}}
| |
| | |
| == Lektion 3 - Fasta värden == | |
| | |
| {{#ev:youtube| 03NICWDwUKA|240|right|}}
| |
| | |
| === En halv kvadrat ===
| |
| | |
| ::<math>\sin 45 = \frac{1}{\sqrt{2}}</math>
| |
| :
| |
| ::<math>\cos 45 = \frac{1}{\sqrt{2}}</math>
| |
| | |
| === En halv liksidig triangel ===
| |
| | |
| ::<math>\sin 60 = \frac{\sqrt{3}}{2} = \cos 30</math>
| |
| :
| |
| ::<math>\sin 30 = \frac{1}{2} = \cos 60</math>
| |
| :
| |
| ::<math>\tan 30 = \frac{1}{\sqrt{3}} </math>
| |
| :
| |
| ::<math>\tan 60 = {\sqrt{3} </math>
| |
| :
| |
| <br />
| |
| {{khanruta|[http://www.khanacademy.org/math/trigonometry/e/pythagorean_theorem_2 Special right triangles]}}
| |
| {{Läxa|Lös uppgifterna 1218-1223 och gärna fler.
| |
| }}
| |
| {{clear}}
| |
| {{flipp}}
| |
| | |
| == Lektion 4 - Enhetscirkeln ==
| |
| {{#ev:youtube| P9ZWjEkHVrk |240|left|Enhetscirkeln intro}}{{#ev:youtube| FoHkqQFiqP8 |240|right|Enhetscirkeln del 2}}
| |
| | |
| {{clear}}
| |
| [[Fil:Unit_circle.svg|300px|right|Enhetscirkeln. Koordinaten för en punkt på cirkeln kan beräknas utifrån vinkeln ''t'' med hjälp av cosinus och sinus.]]
| |
| {{lm3c|Enhetscirkeln|16-21}}
| |
| | |
| Det handlar om trigonometri och cirklar.
| |
| | |
| En enhetscirkel är en cirkel i planet med radie 1. Ofta talar man om enhetscirkeln och avser då en enhetscirkel med mittpunkt i origo.
| |
| Av Pythagoras sats följer att enhetscirkeln kan beskrivas i kartesiska koordinater som mängden av punkter (x, y) sådana att x2 + y2 = 1. I polära koordinater blir detta den trigonometriska ettan.
| |
| | |
| För att beräkna de kartesiska koordinaterna (x, y) för en punkt på enhetscirkeln som befinner sig vid vinkeln t mätt från x-axeln kan man använda cosinus och sinus:
| |
| | |
| :<math>x = \cos t \qquad y = \sin t</math>
| |
| {{wp}}
| |
| | |
| === Geogebra ===
| |
| | |
| [http://www.malinc.se/math/trigonometry/unitcirclesv.php Malin C om Enhetscirkeln.]
| |
| | |
| === Viktiga samband ===
| |
| [[Fil:Sin-cos-defn-I.png|300px|right]]
| |
| | |
| <ggb_applet width="494" height="351" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
| |
| <br />
| |
| | |
| :<math>x = \sin (180-t = \sin t</math>
| |
| :<math>\cos (- t) = \cos t</math>
| |
| | |
| === Dagens mentala kliv ===
| |
| | |
| # De trigonometriska funktionerna fungerar för vinklar som är större än 90<sup>o</sup>. De gäller inom hela enhetscirkeln.
| |
| # Cos t = x-koordinaten och sin t = y-koordinaten.
| |
| # Även det omvända gäller. Enhetscirkeln kan hjälpa oss förstå de inversa funktionen sin<sup>-1</sup> och cos<sup>-1</sup> som att man utgår får ett värde på axeln, går ut till cirkeln och mäter den motsvarande vinkeln.
| |
| | |
| [[File:Sin drawing process.gif|thumb|left|711px|Animationen visar grafen för funktionen y = sin x. Vinkeln är i radianer (där 2 pi motsvarar 360<sup>o</sup>]]
| |
| {{clear}}
| |
| | |
| === Trigonometriska ekvationer ===
| |
| | |
| Det trigonometriska ekvationerna har ofta flera lösningar.
| |
| | |
| '''Fördjupning:''' Här är en lösning till ekvationen sin v = o.5 i [http://www.wolframalpha.com/input/?i=sin+v+%3D+0.5&t=esm01 Wolfram Alpha]. Den visar två lösningar till ekvationen (samt fler om man går ytterligare varv runt enhetscirkeln).
| |
| | |
| === Övrigt ===
| |
| | |
| '''Konstigt facit:''' Bry er inte om bilden i facit till 1301.
| |
| | |
| | |
| | |
| {{jspel|Intro
| |
| [[Javascript_och_spel]]
| |
| }}
| |
| {{tnkruta|Öva matte på [[Mattecentrums_räknestugor]]}}
| |
| {{khanruta|[http://www.khanacademy.org/math/trigonometry/e/unit_circle Unit circle]}}
| |
| {{Läxa|Lös uppgifterna 1301-1309 och gärna fler.
| |
| }}
| |
| {{clear}}
| |
| | |
| {{flipp}}
| |
| | |
| == Lektion 5 - Triangelsatserna ==
| |
| | |
| === Grader och radianer ===
| |
| | |
| 360 grader motsvarar 2 pi radianer.
| |
| | |
| {{khanruta|[http://www.khanacademy.org/math/trigonometry/e Omvandla mellan grader och radianer]}}
| |
| | |
| Här finns material att hämta... http://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometry
| |
| | |
| === Areasatsen ===
| |
| | |
| {{#ev:youtube| 3t6AahjyD90 |240|right|Areasatsen}}
| |
| [[Fil:Triangle_ABC_with_Sides_a_b_c.png|300px]]
| |
| <math>\mbox{Area} = \frac{1}{2}a b\sin C.</math>
| |
| | |
| === Härledning ===
| |
| | |
| ''Triangeln borde ritas om så att sidan b är bas och horisontell.''
| |
| | |
| Dra en höjd mot triangelns bas (sidan AC i detta fall).
| |
| # Höjden h = a sin C
| |
| # Triangelns area A = basen * höjden / 2
| |
| # Sätt in uttrycket för h ger:
| |
| :: Arean = 1/2 ab sin C
| |
| | |
| {{Läxa|Lös uppgifterna 1401-1405 och gärna fler.
| |
| }}
| |
| {{clear}}
| |
| {{flipp}}
| |
| | |
| == Lektion 6 Sinussatsen ==
| |
| | |
| {{#ev:youtube|R1Sjs8FIu38|240|right|Sinussatse}}
| |
| [[Fil:Triangle_ABC_with_Sides_a_b_c.png|300px]]
| |
| <math>\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} </math>
| |
| | |
| === Härledning ===
| |
| | |
| # Ställ upp areasatsenför alla tre vinklar.
| |
| # Förläng med 2.
| |
| # Dividera med abc
| |
| | |
| {{Läxa|Lös uppgifterna 1414-1421 och gärna fler.
| |
| }}
| |
| {{clear}}
| |
| {{flipp}}
| |
| | |
| == Lektion 7 Cosinussatsen ==
| |
| | |
| {{#ev:youtube|yKBLBZ_Thts |240|right|Cosinussatsen}}
| |
| [[Fil:Triangle_ABC_with_Sides_a_b_c.png|300px]]
| |
| <math>c^2=a^2+b^2-2ab\cos C ,\,</math>
| |
| {{clear}}
| |
| | |
| === Härledning ===
| |
| | |
| [[Fil:Cosinussatsen1.png|left|400px]]
| |
| [[Fil:Cosinussatsen2.png|right|400px]]
| |
| {{clear}}
| |
| | |
| # Rita in en höjd i den vänstra triangeln så att det bildas två trianglar som i den högra bilden ovan.
| |
| # Använd Pythagoras för de båda trianglarna
| |
| # x<sup>2</sup>+h<sup>2</sup> = c<sup>2</sup> (1)
| |
| # (x-b)<sup>2</sup>+h<sup>2</sup> = c<sup>2</sup>
| |
| # Förnkla uttrycket ger
| |
| #: x<sup>2</sup>+b<sup>2</sup>-2bx+h<sup>2</sup> = c<sup>2</sup>
| |
| # Stuva om i termerna
| |
| #: x<sup>2</sup>+h<sup>2</sup> = 2bx + c<sup>2</sup>-b<sup>2</sup> (2)
| |
| # Sätt x<sup>2</sup> + h<sup>2</sup> lika. Ekvation (1) i ekvation (2)
| |
| #: a<sup>2</sup> = c<sup>2</sup>-b<sup>2</sup>+2bx
| |
| # Använd att x = acosC ger
| |
| #: a<sup>2</sup> = c<sup>2</sup>-b<sup>2</sup>+2bacosC
| |
| # Stuva om så att c<sup>2</sup> står fritt ger
| |
| #: c<sup>2</sup> = a<sup>2</sup>+b<sup>2</sup>-2abcosC
| |
| {{Läxa|Lös uppgifterna 1428-1433 och gärna fler.
| |
| | |
| Det finns ingen film att flippa på emn ni får en annan uppgift:
| |
| | |
| Hitta på ett problem/en uppgift som du skulle vilja ha med påprovet.
| |
| }}
| |
| {{clear}}
| |
| | |
| == Lektion 8 Problemlösning ==
| |
| | |
| === Uppvärmning ===
| |
| | |
| En reklambild från Facebook (till höger)
| |
| | |
| [[Fil:Kvadrater.png|450px|right]]
| |
| | |
| === Vad bör man tänka på vid problemlösning? ===
| |
| | |
| # Rta Figur
| |
| # Sätt ut variabler och värden i figuren
| |
| # Välj Formel (eller sats)
| |
| # Utför beräkningarna
| |
| # Kontrollera om svaret är rimligt och om det finns flera svar
| |
| <br />
| |
| <br />
| |
| | |
| {{lm3c|Enhetscirkeln|34-35}}
| |
| {{uppgruta|'''Grupparbete'''
| |
| | |
| Denna lektion ska vi jobba med problemlösning i grupp. Ni väljer ett av problemen i boken och löser det tillsammans. Lösningen sk gå att presentera med projektor och ska lämnas in. Vem som helst i grupen ska kunna presentera den. Era lösningar kommer att publiceras på Wikiskola.
| |
| | |
| Ni får 20 minuter på er.
| |
| }}
| |
| {{flipp}}
| |
| | |
| == Lektion 9 Cirkelns ekvation ==
| |
| {{#ev:youtube| P9ZWjEkHVrk |240|right|Cirkelnns ekvation}}
| |
| | |
| * Läs [http://spelprogrammering.nu/tutorial första sidan]
| |
| * Koden ovan anropar en funktion som heter circle och som finns i ett [http://spelprogrammering.nu/library.js bibliotek] på sajten spelprogrammering.nu. Undersök hur funktionen ser ut.
| |
| * Ritas cirkeln på så sätt som i matteboken?
| |
| * * En cirkelbåge som går 360 grader är praktiskt. Det kallas polära koordinater.
| |
| * Kan vi gå tillväga som i funktionen för triangeln och skapa en cirkel med vår formel från matteboken?
| |
| | |
| Testa funktionen i GGB.
| |
| | |
| {{jspel|titta på funktionen cirkel. Sid 5 i boken spelprogramering.nu.
| |
| }}
| |
| {{clear}}
| |