Introduktion till derivatan med problemlösning

Teori - Problemlösning med derivata

Varför vinner kvadraten?

Ett klassiskt problem är detta.

Tänk dig att du har ett staket som är 100 m långt och du ska hägna in ett så stort område som möjligt. Du får välja mellan olika breda rektanglar och en kvadrat.

Teori - Deriveringsregler

Varför inte börja med de enkla deriveringsreglerna. Det är enkelt och gör att vi snabbt kan göra något nyttigt.

Deriveringsregler:

Polynom

Derivatan av funktionen [math]\displaystyle{ f(x) = x\, }[/math] är funktionen [math]\displaystyle{ f^\prime(x) = 1 }[/math].

Derivatan av funktionen [math]\displaystyle{ f(x) = x^2, }[/math] är funktionen [math]\displaystyle{ f^\prime(x) = 2x }[/math].

Derivatan av funktionen [math]\displaystyle{ f(x) = x^3, }[/math] är funktionen [math]\displaystyle{ f^\prime(x) = 3x^2 }[/math].

Det kan generaliseras till att funktionen [math]\displaystyle{ f(x) = x^n }[/math] har derivatan [math]\displaystyle{ (f^\prime(x) = n \cdot x^{n-1} }[/math].

Andra funktioner

Derivatan av [math]\displaystyle{ e^{kx}\ }[/math] är [math]\displaystyle{ ke^{kx} }[/math].

Derivatan av [math]\displaystyle{ a^x\, }[/math] är [math]\displaystyle{ a^x \ln(a) }[/math]

Derivatan av [math]\displaystyle{ \ln(x) }[/math] är [math]\displaystyle{ \frac{1}{x} }[/math]

Derivatan av [math]\displaystyle{ \sin(x) }[/math] = [math]\displaystyle{ \cos(x) }[/math]

Derivatan av [math]\displaystyle{ \cos(x) }[/math] = [math]\displaystyle{ -\sin(x) }[/math]

Additionsregeln

Derivatan av en summa av två funktioner som båda är deriverbara:

[math]\displaystyle{ (f + g)^\prime = f^\prime + g^\prime. }[/math]

Linjäritet

En konstant (c) kan flyttas ut ur deriveringen:

[math]\displaystyle{ (c \cdot f)^\prime = c \cdot f^\prime. }[/math]

Produktregeln

Produkten av två deriverbara funktioner är deriverbar, och derivatan ges av följande formel.

[math]\displaystyle{ (f \cdot g)^\prime = f^\prime \cdot g + g ^\prime \cdot f. }[/math]

Kvotregeln

Derivatan av kvoten [math]\displaystyle{ \frac{f}{g} }[/math] ges av följande funktion:

[math]\displaystyle{ \frac{f^\prime \cdot g - g^\prime \cdot f}{g^2} }[/math]

Derivata av sammansatt funktion (kedjeregeln)

En sammansatt funktion f(g(x)) är en funktion f(x) som har en annan funktion g(x) som sitt argument, istället för en variabel som x. Detta kan även skrivas [math]\displaystyle{ (f \circ g)(x) }[/math] för att förtydliga att g inte är en variabel utan själv är en funktion av variabeln x. Derivatan av en sammansatt funktion går under namnet kedjeregeln:

[math]\displaystyle{ (f(g))^\prime = f^\prime(g)\cdot g^\prime. }[/math]

Uppgifter

Maximera hagens area om den står mot en vägg

Nu har vi 70 m staket men denna gång bygger vi hagen mot en ladugårdsvägg. Tre sidor staket och en vägg. Ladan är 35 meter lång.

Vilka mått har den största möjliga hagen?

Derivera olika funktioner

Uppgift
Derivera följande funktioner: [math]\displaystyle{ f(x) = 5x^2 + 3x +7 }[/math] [math]\displaystyle{ f(x) = \ln(x) + 2x^7 }[/math]

Exempel

Funktionens max

Exempel

Funktionens maxvärde När har funktionen [math]\displaystyle{ f(x) = - x^2 + 2 x + 1 }[/math] sitt största värde. Ett sätt är att rita grafen för funktionen. Du ser det till höger. Ett smidigt sätt är att derivera funktionen. [math]\displaystyle{ f'(x) = - 2 x + 2 }[/math] Lös ekvationen som du får genom att sätta derivatan lika med noll. [math]\displaystyle{ - 2 x + 2 = 0 }[/math] [math]\displaystyle{ ~~~~~~~~ x = 1 }[/math] x-värdet stämmer med grafen till höger.

Lär mer

Läs om en av upphovsmännen tillderivatan

En text om Leibniz