Begreppet primitiv funktion

Sid 200-205 - Primitiv funktion

Mål för undervisningen

Denna lektion kommer du att lära dig om primitiva funktioner och hur man bestämmer primitiva funktioner med villkor.

Intro - Primitiva funktionen

I kursavsnittet derivata har vi lärt oss hur man kan hitta derivatan [math]\displaystyle{ f´ }[/math] utifrån en känd funktion [math]\displaystyle{ f }[/math]. I det här avsnittet ska vi se hur man kan gå åt det motsatta hållet, hur man hittar en funktion [math]\displaystyle{ f }[/math] utifrån en känd derivata [math]\displaystyle{ f´ }[/math]. Denna ursprungliga funktion kallar vi för primitiv funktion och är användbar för att arbeta med integraler. Om vi har en funktions derivata [math]\displaystyle{ f ´(x) }[/math], så är den primitiva funktionen till derivatan [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]. Den primitiva funktionen till [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] betecknas i sin tur [math]\displaystyle{ F(x) }[/math]. Generellt gäller att en funktion [math]\displaystyle{ F }[/math] är en primitiv funktion till [math]\displaystyle{ f }[/math] om den primitiva funktionen [math]\displaystyle{ F }[/math]:s derivata är lika med funktionen [math]\displaystyle{ f }[/math]:

Definition

Primitiva funktioner

[math]\displaystyle{ F(x) }[/math] är en primitiv funtion till [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] om [math]\displaystyle{ F'(x) = f(x) }[/math]

Obestämda integraler

En obestämd integral är ett annat namn för en primitiv funktion F(x), och betecknas som en integral utan integrationsgränser.

[math]\displaystyle{ \int f(x) \, dx }[/math]

Tecknet [math]\displaystyle{ \int }[/math] kallas för integraltecken och funktionen [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] integrand.

[redigera]

Läs vad Wikipedia skriver om Primitiv_funktion:

Några primitiva funktioner
[math]\displaystyle{ f(x) }[/math] funktion	[math]\displaystyle{ F(x) }[/math] primitiv funktion
[math]\displaystyle{ k }[/math]	[math]\displaystyle{ kx + C }[/math]
[math]\displaystyle{ x^n ~~~ (n \ne -1) }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C }[/math]
[math]\displaystyle{ x^{-1} = \frac{1}{x} }[/math]	[math]\displaystyle{ \ln{\|x\|} + C }[/math]
[math]\displaystyle{ e^x }[/math]	[math]\displaystyle{ e^x + C }[/math]
[math]\displaystyle{ a^x ~~~ (a \gt 0, a \ne 1) }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{a^x}{\ln a} + C }[/math]
[math]\displaystyle{ \sin (x) }[/math]	[math]\displaystyle{ - \cos (x) + C }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos (x) }[/math]	[math]\displaystyle{ \sin (x) + C }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{1}{a^2+x^2} }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C }[/math] om [math]\displaystyle{ a\neq 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} }[/math]	[math]\displaystyle{ \arcsin\frac{x}{a} + C }[/math] om [math]\displaystyle{ a\gt 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{x^2+a}} }[/math]	[math]\displaystyle{ \ln\left\|x+\sqrt{x^2+a}\right\| + C }[/math] om [math]\displaystyle{ a\neq 0 }[/math]
k och C är Reella konstanter.

Inom matematisk analys är en funktion F(x) en primitiv funktion till f(x) om funktionen f är dess derivata, det vill säga om F '(x)=f(x).

Andra benämningar av primitiv funktion är antiderivata eller obestämd integral. Samma beteckning används som för integraler, fast utan några gränser. Primitiva funktioner används bland annat till algebraisk beräkning av integraler.

Eftersom derivatan av en konstant funktion är noll, finns det oändligt många primitiva funktioner till en funktion f. Om en primitiv funktion är F(x), så kan alla primitiva funktioner skrivas F(x) + C.

Exempel: Alla primitiva funktioner till

[math]\displaystyle{ f(x)=x^2 }[/math]

kan skrivas

[math]\displaystyle{ F(x)=\int x^2dx=\frac{1}{3}x^3+C }[/math]

där dx betyder att integrering sker med avseende på variabeln x.

Märk att derivatan av den primitiva funktionen är lika med funktionen f.

Det är i allmänhet mycket enklare att analytiskt derivera än att analytiskt integrera och därigenom är det enkelt att kontrollera om en primitiv funktion är korrekt framtagen.

I tabellen till höger finns de vanligast använda primitiva funktionerna, även kallade standardprimitiver.

Flippa = Gör detta till nästa lektion!

Lös uppgifterna 4201 - 4220. Läs på om Beräkna integraler.

[redigera]

Ange de primitiva funktionerna: