När man har två polynom och dessa bildar en kvot, då kallas den uppställningen för ett rationellt uttryck.
Här kommer två exempel på rationella uttryck
I det första exemplet bildas en kvot mellan 6x+2 i täljaren och 3x i nämnaren; i det andra exemplet bildas en kvot mellan 5x2+2x i täljaren och x+6 i nämnaren.
Rationella uttryck har liknande egenskaper som bråk och på samma sätt som för ett bråk är det viktigt att nämnaren inte har värdet noll, eftersom division med noll inte är definierat. I ett vanligt bråk är det ofta lätt att se om nämnaren är noll. När man har ett polynom i nämnaren kan det vara så att nämnaren blir noll för vissa värden på en ingående variabel, men inte för andra värden på denna.
I det andra exemplet ovan får x inte anta värdet -6
Texten ovan kommer från matteboken.se
För att undersöka när ett rationellt uttryck är odefierat måste man först förenkla.
[math]\displaystyle{ \dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{ad}{bd} + \dfrac{bc}{bd} = \dfrac{ad + bc}{bd} }[/math]
[math]\displaystyle{ a - b = -1 (-a + b) = - (-a + b) = - (b - a) }[/math]
Matematiken är logiskt uppbyggd. Om det fungerar på ett visst sätt i enkla sammanhang så vill man att det ska fungera på samma sätt imer avancerade sammanhang. Samma räkneregler ska gälla.
Exempel: Prioriteringsreglerna fungerar med tal, variabler, komplexa tal, osv.
Multiplikation av rationella uttryck fungerar alltså på samma sätt som multiplikation av bråk eftersom det rationella uttrycket är ett bråk. Visserligen ett bråk med variabler i täljaren och nämnaren men ändå ett bråk. Tur att vi har tragglat bråkräkning så mycket tidigare. Då behöver detta inte bli något problem att tala om.
Räkneregler för division av bråk'
Multiplikation
Division
Samma gäller för rationella uttryck.
Om vi ersätter [math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ b }[/math], [math]\displaystyle{ c }[/math], [math]\displaystyle{ d }[/math] med rationella uttryck så gäller samma regler.
Du har tidigare faktoriserat polynom. Nu ska vi använda konjugat- och kvadreringsreglerna för att faktorisera täljaren i ett rationellt uttryck så att vi kan förenkla genom att förkorta bort en faktor som återfinns i nämnaren.
Använd konjugatregeln baklänges
Förkorta
[math]\displaystyle{ \dfrac{x^2-4}{x(x+2)} }[/math]
Utveckla kvadrattermen
[math]\displaystyle{ \dfrac{(x+2)(x-2)}{x(x+2)} }[/math]
[math]\displaystyle{ \dfrac{(x-2)}{x} }[/math]
Svar: Uttrycket är odefinerat när [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math]
Kom ihåg att det måste vara samma nämnare när bråktal adderas och subtraheras.
Vi förlänger så att båda bråken får den minsta gemensamma nämnaren. Hitta minsta gemensamma nämnare genom att faktorisera:
Vi förlänger så att varje nämnare blir mgn:
Sedan sätter vi på ett gemensamt bråkstreck:
Till sist förenklar vi i täljaren:
Och tittar sedan om det går att förenkla något: [math]\displaystyle{ \dfrac{7 \cdot 7 }{ 6 \cdot 6} }[/math] . Det går inte att förenkla.
Förenkla betyder i detta sammanhang att föra samman termerna genom att ge dem samma nämnare (göra liknämningt).
Utför subtraktionen i täljaren:
Uttrycket är odefinerat när [math]\displaystyle{ x = 0, x = -1 }[/math]
Klicka i plupparna för att visa respektive graf.
Gör ett eget exempel på multiplikation eller division av rationella uttryck.
Den här uppgiften rundar av det förra avsnittet om faktorisering av polynom med en liten knorr.
Finns det två olika tal x så funktionen [math]\displaystyle{ y = x^2+x+1 }[/math] får samma funktionsvärde?”
Som vanligt ett minitest
Det vi gör för hand när vi räknar i boken är nyttig träning i algebra och något du behöver kunna till exempel på nationella provet. Men ibland är problemen inte så tillrättalagda och om syftet är att lösa ett problem där förenklingen bara är ett steg på vägen så använder matematiker och ingenjörer digitala verktyg. WolframAplpha är ett av det bästa så vi passar på att träna detta inför lektionen.
Pröva hur Wolfram Alpha gör med rationella uttryck.
Lektion 7 - Faktorer, rötter och nollställen