Målet är att vi ska lära oss att lösa exponentialekvationer genom logaritmering.
En ekvation där variabeln sitter i exponenten i, exempelvis [math]\displaystyle{ 5^x = 12 }[/math], kallas för exponentialekvation.
Du löser exponentialekvationer algebraiskt genom att använda logaritmer.
Genom att vi har lärt oss logaritmlagarna har vi nu fler verktyg vid ekvationslösning. Nedan kommer en sammanfattning
Vilken är egentiligen skillnaden mellan en exponentialfunktion och en exponentialekvation?
Exponentialfunktionen har ett y-värde som korresponderar till ett x-värde. Den är kontinuerlig och definitionsmängden respektive värdemängden utgörs av de reella talen.
Om exponentialfunktionen sätts lika med ett värde eller en annan funktion får vi en exponentialekvation. Grafiskt är lösningen skärningspunkten mellan de två graferna, den för exponentialfunktionen och den för den andra funktionen (y = konstant eller vilken funktion som nu representerar högerledet i ekvationen).
Exponentialfunktionerna kan skrivas på flera former, exempelvis
Dessa och liknade ekvationer löser man genom att logaritmera båda sidorna.
Varför är det så?
Om [math]\displaystyle{ 10^{2a+3b} = 10^y }[/math] så innebär det att [math]\displaystyle{ 2a+3b = y }[/math]
Om [math]\displaystyle{ log(2a+3b) = log y }[/math] så innebär det att [math]\displaystyle{ 2a+3b = y }[/math]
Om [math]\displaystyle{ log 10^x = log 27 }[/math] så innebär det att [math]\displaystyle{ 10^x = 27 }[/math]
Om man går åt andra hållet kan man säga att om 10x = 27 så innebär det att
Nu har vi hittat en metod att lösa ekvationer med exponentialfunktioner. Den kallas att logaritmera.
Exponentialfunktioner är en klass av matematiska funktioner som kännetecknas av att funktionsvärdets ändringstakt är proportionell mot funktionsvärdet. Exempelvis kan ränta på ränta beräknas som
där [math]\displaystyle{ r^x }[/math] är en exponentialfunktion, den årliga räntefaktorn är r (till exempel 1,10 för 10 % ränta) och x antalet år.
Lös ekvationen [math]\displaystyle{ 10^{2x} = 200 }[/math]
Logaritmering av båda sidorna ger:
Uppgiften från det Nationella provet ht12 i kursen Ma3c kan användaas för att öva sig i att läsa av diagram, mm.
Utgå från värdena i diagrammet och ställ upp exponentialfunktionen för gåspopulationen.
Skapa en lämplig frågeställning som ger en uppgift där ekvationslösning med logaritmer ingår
Länken till den här sidan leder till en mängd exempel på tillämpningar av exponentialfunktionen och uppgifter som löses genom att ställa upp exponentialekvationer.
Figuren nedan visar temperaturen hos vatten som får svalna i en termos. Mätvärdena har lagts i en lista som heter avsvalning i GeoGebra. Därefter har kommandot RegressionExp[avsvalning] använts för att anpassa en exponentiell funktion till värdena i listan.
Du ser på funktionen f(x) att basen är 0.98 (= förändringsfaktorn)
Skaffa en termomenter avnågot slag och brygg en het kopp kaffe.
Mät temperaturen vid minst fem tidpunkter.
Gör en kurvanpassning enligt ovan.
Vilken exponentialfunktion får du?
Bestäm exponentialfunktionen [math]\displaystyle{ y = C a^x }[/math] där grafen går genom punkterna (0,2) och (5,6)
Algebraiskt
Du behöver beräkan a och C.
Grafiskt
Skriv in funktionen [math]\displaystyle{ y = C a^x }[/math]
Du kommer då att få frågan om du vill skapa glidare för C och a. Det vill du.
Dra i glidarna och finn lösningen.