Derivatan för en funktion
Introduktion till derivatan
Utgångspunkt
Vi har lärt oss derviera funktioner och få fram förändringen.
Vi har sett tangents funktion att vis lutningen, d v s förändringen.
Nu ska vi förena dessa två genom en definition av derivatan vilken vi senare kan använda för att bevisa de deriverngsregler vi redan sett i formelsamlingen.
Begrepp
Man kan skriva derivatan på flera sätt
- Derivatan av [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] skrivs [math]\displaystyle{ f'(x) }[/math]
- Derivatan av [math]\displaystyle{ y(x) }[/math] skrivs [math]\displaystyle{ y'(x) }[/math]
- Ibladn ser man exempelvis D 3x2 = 6x
Vi kommer använda begreppen sekant, tangent, ändringskvot och gränsvärde.
Blomkrukan
Skapa en Geogebra för funktionen [math]\displaystyle{ s(t) = 5 t^2. }[/math] I GeoGebra behöver du dock använda x i stället för t som variabel.
Deet kan se ut så här:
Derivatan är lutningen i en punkt
Om du ska räkna ut lutningen i en punkt får du problem. [math]\displaystyle{ k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{0}{0} }[/math] och det går ju inte. Här behövs formell matematik.
Nu utgår vi från en punkt [math]\displaystyle{ (x,f(x)) }[/math] och så kallar vid punktensom närmar sig för [math]\displaystyle{ (x+h,f(x+h)) }[/math]. När [math]\displaystyle{ h }[/math] krymper kommer den andra punkten att närma sig den första. Man säger att h går mot noll och det skrivs
- [math]\displaystyle{ \lim_{h \to 0} }[/math]
Detta kan sammanfattas på matematisk form och kallas derivata.
| Definition |
|---|
|
Derivatan av funktionen [math]\displaystyle{ f }[/math] i punkten [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] definieras som gränsvärdet
|
Exempel 1
Använd derivatans definition.
Bestäm tangentens k-värde i punkten där x = 2 om f(x) = 3 x^2.
Exempel 2
Använd derivatans definition för att bestämma f'(4) om f(x) = 3 x + 5.
Derivatans definition med glidare
Geometrisk tolkning
Om en funktion f åskådliggörs av en graf y = f(x) så anger derivatan av f grafens lutning (förändring av y per förändring av x) för varje värde x. Derivatan i en punkt är således lika med riktningskoefficienten för kurvans tangent i den valda punkten (x, f(x)).
Aktivitet
Laborera med sekanten och derivatan
Pythonprogrammering
Du kan ta fram ett beräknat, approximativt värde för derivatan i en punkt med hjälp av ett program.
Fördjupning
Gissa derivatans utseende
Du kan skissa derivatans utseende genom att uppskatta funktionens lutning i grafen (alltså utan att känna till funktionen algeriskt).
Av Jonas Hall
Andra varianter på derivatans definition
Man kan definiera derivata på lite olika sätt. Här följer en geogebra fil där du kan flytta punkten A som du deriverar kring. Du kan också flytta två närliggande punkter. Om du vill ändra funktionen f måste du ladda ner filen härifrån [1]. Du flyttar A med slidern a. Avståndet (h eller delta h) till A för punkterna B och C med slidrers b och c. Linjen e motsvarar höger derivatan i punkten A när avståndet |C-A| går mot noll. På samma sätt motsvarar linjen d vänster derivatan då |B-A| går mot noll. Till slut är linjen g en variant av en sekant definition av derivata om |B-C| går mot 0.