Begreppet polynom
Teori
| Definition |
|---|
Polynom
|
Exempel på polynom
| Benämning | Exempel |
|---|---|
| Nolltegradspolynom | [math]\displaystyle{ 1 }[/math] |
| Förstagradspolynom | [math]\displaystyle{ 2x+1 }[/math] |
| Andragradspolynom | [math]\displaystyle{ x^2+2x+1 }[/math] |
| Tredjegradspolynom | [math]\displaystyle{ 4x^3+3x^2+2x+1 }[/math] |
| Fjärdegradspolynom | [math]\displaystyle{ 5x^4+4x^3+3x^2+2x+1 }[/math] |
| Exempel |
|---|
|
[math]\displaystyle{ 3 x^3 + 4 x^2 - 2 x - 7 }[/math] är allts¨ett polynom av grad 3. Eftersom alla exponenter upp till 3 finns representerade bland termerna kallas polynomet fullständigt. Om en term med någon exponent saknas kallas polynomet ofullständigt. En polynomfunktion kan skrivas: [math]\displaystyle{ f(x) = 2 x^2 +3 x - 7 }[/math] Polynomfunktinen har ett värde som korresponderar mot ett värde på varibaln. Exempelvis har funktionen ovan värdet [math]\displaystyle{ f(2) = 7 }[/math] |
Faktorisering och nollproduktsmetoden
Nu vet vi att x-värden för punkterna där andragradfunktinens graf skär x-axeln motsvara lösningen till ekvationen där funktionen är lika med noll, f(x) = 0. Dessa x-värden kallas nollställen.
Ett annat sätt att hitta nollställena är att faktorisera andragradsfunktionens uttryck. Nollproduktssatsne säger då att om a b = 0 så är antingen a = 0 eller b = 0. Genom att faktorisera andragradsfunktionen fås ett uttryck på formen k (x-a) (x-b) = 0. Nollställena x = a och x = b utgör då lösningar (rötter) till ekvationen.
| Definition |
|---|
| Nollställe
En punkt i en funktions definitionsmängd där funktionens värde är noll Besläktade ord: nollställa. Nollställena i en andragradsfunktion befinner sig på samma avstånd från symmetrilinjen.
|
Förenkling av rationella uttryck
Men det finns andra skäl att faktorisera uttryck. Det är en praktisk metod att förenkla rationella uttryck. Det här kommer vi att gå djupare in på under nästa lektion.
| Exempel |
|---|
Förenkla uttrycket:
Vi börjar med att faktorisera täljaren:
Och nu kan vi förkorta med x-4 i täljare och nämnare och får det förenklade uttrycket:
|
Uppdelning i faktorer med konjugatregeln
| Exempel |
|---|
|
Faktorisera [math]\displaystyle{ x^2 - 9 }[/math] Eftersom vi inte har någon dubbel produltterm utan bara två kvadrattermer, varav en är negativ, så inser vi att vi kan använda konjugatregeln baklänges. Faktorerna består då av termerna x och 3.
|
| Uppgift |
|---|
| Konjugatregeln baklänges
Dela upp följande uttryck i faktorer genom att använda konjugatregeln baklänges:
|
Uppdelning i faktorer med kvadreringsreglerna
| Exempel |
|---|
| Faktorisera med användande av kvadreringsregeln
Faktorisera [math]\displaystyle{ x^2 - 6 x + 9 }[/math] Här kan du tänka att x och [math]\displaystyle{ \sqrt{9} = 3 }[/math] bör ingå i faktorerna. Du ska ha ett minustecken med och du bör kontrollera att dubbla produkten stämmer. Faktorisering ger oss (x-3)(x-3) Uttrycket kan även skrivas på formen [math]\displaystyle{ (x-3)^2 }[/math] |
| Uppgift |
|---|
|
Du ska även kunna kvadreringsreglerna baklänges. Exempel:
Testa nu om du kan kvadratern med kvadreingsregeln baklänges!
|
Uppdelning i faktorer utan konjugat- eller kvadreringsreglerna
Det är ofta lätt att hur ett polynom av andra graden (andragradsfunktion) kan faktoriseras med hjälp av konjugat- eller kvadreringsreglerna men det går att faktorisera många andra polynom av andra graden men ekvationens form blir då [math]\displaystyle{ (x-a)(x-b) = 0 }[/math] och rötterna är a respektive b. Det motsvara fallen då andragradsfunktionen inte är symmetrisk med y-axeln.
| Exempel |
|---|
|
Ekvationen
kan skrivas som
Rötterna är : [math]\displaystyle{ x= -2 }[/math] och [math]\displaystyle{ x=3 }[/math] Observera den negativa roten. Faktorn : [math]\displaystyle{ (x+2) = 0 }[/math] om [math]\displaystyle{ x= -2 }[/math] |
Lär mer
|
|
|
|
Öva procedurer
Här kan man öva på att hitta faktorerna även om det inte går att använda kvadrerings- eller konjugatregeln. Använd hint-funktionen om du behöver hjälp.
Repetition av Ma2c
Mycket av detta bygger på avsnittet Nollställe i Ma2c.
Matematisk relevans
| Uppgift |
|---|
| Vad kan man ha faktoriseringen till inom matematiken?
Metoden att faktorisera kan fungera som komplement till en annan känd teknik som vi använder på andragradsfunktioner. Tag fram en tydlig beskrivning av hur man faktoriserar andragradspolynom utan att använda konjugat- eller kvadreringsreglerna. |