Nollställe

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök


[redigera]
Mål för undervisningen Nollställen

Vi lär oss vad nollställen är och hur de hänger ihop med andragradsekvationens rötter.


Definition
Nollställe

En punkt i en funktions definitionsmängd där funktionens värde är noll

Besläktade ord: nollställa.

Nollställena i en andragradsfunktion befinner sig på samma avstånd från symmetrilinjen.



Andragradsekvationer och rötter

Exempel
Lös ekvationen:
x28x+16=0

Vad händer?

Pröva nu ekvationen:

x28x+17=0

här har vi en ekvation som saknar reella lösningar.


CC By --hakan 3 februari 2012 kl. 17.50 (UTC)
CC By --hakan 3 februari 2012 kl. 17.50 (UTC)
Definition
En andragradsekvation kan ha 
två reella rötter eller
en dubbelrot eller
två komplexa rötter


Faktorisering och nollproduktsmetoden

Hitta funktionen om du vet hur grafen ser ut.

Nu vet vi att x-värden för punkterna där andragradfunktinens graf skär x-axeln motsvara lösningen till ekvationen där funktionen är lika med noll, f(x) = 0. Dessa x-värden kallas nollställen.

Ett annat sätt att hitta nollställena är att faktorisera andragradsfunktionens uttryck. Nollproduktssatsne säger då att om a b = 0 så är antingen a = 0 eller b = 0. Genom att faktorisera andragradsfunktionen fås ett uttryck på formen k (x-a) (x-b) = 0. Talen x = a och x = b utgör då lösningar (rötter) till ekvationen. Nollställena är punkterna där linjerna x = a och x = b skär x-axeln.

Uppdelning i faktorer med konjugatregeln

Vi gör nedanståendde övningar på kortast möjliga tid för att få upp tempo och automatisera procedurerna.

Uppgift

Först ska vi repetera konjugatregeln med ett lösblad där det är rad snabba uppgifter. Dessa uppgifter bör klaras av på mindre än tre minuter.

Sedan testar vi om du kan använda konjugatregeln baklänges. Dela upp följande uttryck i faktorer:

  1. x29
  2. x281
  3. c24
  4. x26
  5. x23.4
  6. x2k2


Uppdelning i faktorer med kvadreringsreglerna

Exempel
Faktorisera för att hitta nollställena

Vilka rötter har ekvationen x26x+9 ?

Faktorisering ger (x-3)(x-3) = 0 vilket innebär att x = 3 är ett nollställe och en dubbelrot.

Ekvationen kan även skrivas på formen (x3)2=0


Uppgift

Här ska vi också repetera kvadreringsreglerna med ett lösblad.

Du ska även kunna kvadreringsreglerna baklänges.

Exempel:

1+2x+x2 = (1+x)2

Testa nu om du kan kvadratern med kvadreingsregeln baklänges!

  1. 4+8x+4x2=
  2. 4-12x+9x2=
  3. 64+144x+81x2=
  4. 0.25-10x+100x2=
  5. a2-2ab+b2=
  6. a2+2abx+b2x2=
  7. 0.16a2+2.4ax+9x2=
  8. 9y2-12x2y+4x4=



Uppdelning i faktorer utan konjugat- eller kvadreringsreglerna

Det är ofta lätt att hur ett polynom av andra graden (andragradsfunktion) kan faktoriseras med hjälp av konjugat- eller kvadreringsreglerna men det går att faktorisera många andra polynom av andra graden men ekvationens form blir då (xa)(xb)=0 och rötterna är a respektive b. Det motsvara fallen då andragradsfunktionen inte är symmetrisk med y-axeln.

Exempel

Ekvationen

x2x6=0

kan skrivas som

(x+2)(x3)=0

Rötterna är : x=2 och x=3

Observera den negativa roten. Faktorn : (x+2)=0 om x=2