Andragradsekvationer

Mål för undervisningen Andragradsekvationer

Du kommer att lära dig lösa andragradsekvationer med hjälp av den mytomspunna pq-formeln.

Teori

Enkla andragradsekvationer

Av Daniel Barker.

Den här behöver man fundera på en stund. Quadratic equations in early Baghdad

Även nu har vi att göra med andragradsekvationer som är enkla fall av den fullständiga ekvationen.

Antingen förkortas x-termerna bort så att man får kvadrattermer kvar att ta roten ur

eller

så har man ett kvadraten på ett binom (ett parentesuttryck upphöjt till två) som man tar roten ur.

Det blir inga imaginära tal eller komplexa rötter i detta avsnitt.

Exempel

Kvadratterm och binom

Kvadratterm:

[math]\displaystyle{ 2x^2=50 }[/math]

[math]\displaystyle{ x^2=25 }[/math]

[math]\displaystyle{ x=\pm 5 }[/math]

Binom

[math]\displaystyle{ (x-7)^2=64 }[/math]

[math]\displaystyle{ (x-7)=\pm 8 }[/math]

[math]\displaystyle{ (x-7)= +8 }[/math] eller [math]\displaystyle{ (x-7)= -8 }[/math]

[math]\displaystyle{ x= 15 }[/math] eller [math]\displaystyle{ x= -1 }[/math]

Dubbelrot

Exempel
[math]\displaystyle{ (x-7)^2=0 }[/math] ger dubbelroten [math]\displaystyle{ x=7 }[/math]

Nollproduktsmetoden

Om andragradsekvationen innehåller både kvadratterm och x-term men saknar konstantterm kan man bryta ut x och faktorisera. Om en produkt är lika med noll betyder det att någon av faktorerna är lika med noll.

Exempel
Nollproduktsmetoden [math]\displaystyle{ x^2-4x=0 }[/math] [math]\displaystyle{ x(x-4)=0 }[/math] [math]\displaystyle{ x=0 }[/math] eller [math]\displaystyle{ x-4=0 }[/math] [math]\displaystyle{ x=0 }[/math] eller [math]\displaystyle{ x=4 }[/math]

Nollproduktsmetoden ger rötter som är olika.

Ekvationen saknar reella rötter

Vissa andragradsekvationen saknar reella rötter (men det finns rötter som består av komplexa tal).

Exempel

Ickereella rötter

[math]\displaystyle{ x^2=-4 }[/math]

[math]\displaystyle{ x=\pm \sqrt{-4} }[/math]

Det komplexa talet [math]\displaystyle{ \sqrt{-4} }[/math] skrivs [math]\displaystyle{ 2 i }[/math]

Fullständiga andragradsekvationer

pq-formeln - Förklaring

Mario om nytan med andragradsekvationer.

En generell beskrivning av en andragradsekvation ser ut så här:

[math]\displaystyle{ x^2 + px + q = 0 }[/math]

där p och q är tal (siffror) i den speciella ekvationen.

Den allmänna ekvationen har lösningen:

[math]\displaystyle{ x=-p/2 \pm \sqrt{(p/2)^2-q} }[/math]

Om du vill lösa en ekvation behöver du bara ta reda på vad p och q motsvaras av i din ekvation och sedan sätter du in dessa siffror i formeln ovan.

Tänk på att det inte ska stå någor framför [math]\displaystyle{ x^2 }[/math]-termen

Härledning av pq-formeln genom kvadratkomplettering

Man kan börja med kvadratkomplettering som en inledande förklaring till pq-formeln men det är lika bra att ge sig på pq-formeln direkt. Sedan kan man gå tillbaks till kvadratkompletteringen för att få ett bevis för att pq-formeln fungerar.

Wikipedia skriver om Kvadratkomplettering

Wikipedia skriver om Andragradsekvation

Aktivitet

GGB-spel

Sök på: quadratic equation

https://www.geogebra.org/m/PVUFVf3W

https://www.geogebra.org/m/fUjg9FG5

https://www.geogebra.org/m/tKAZnWjn

kan du kvadratkomplettera?

Uppgift
Lös en andragradsekvation genom kvadratkomplettering'

Uppgift:

Öva på Khan: Solving Quadratics by facoring

Lös dessa Khan, relativt enkla andragradsekvationer. De kan lösas genom att gissa eller faktorisera.

Möjligen kan det vara svårt att veta hur de menar att man ska göra på vissa uppgifter. Ta reda på rötterna och faktorisera så går et bra.

Dataövning

Dataövning - konsekutiva tal

Lär mer

Swayen till detta avsnitt: Andragradskvationer
läromedel: Enkla andragradsekvationer
Läs om Andragradsekvationer

Problemlösning med ekvationer

Repetition inför prov Algebra Ma2C
Facit och bedömning: Christers bedömningsmall från mellandagen bör finnas här. Lösningen är till Prov 1 ver 4 (2013). Lägg på SlideShare.
Diagnos 2 med pq-formeln

Du kan printa denna! Snabbdiagnos 2