Vi ska göra en algebraisk beskrivning av riktningskoefficienten för en tangent i en punkt med hjälp av en sekant och gränsvärden.
Vi har sett tangents funktion att vis lutningen, d v s förändringen.
Vi kommer använda begreppen sekant, tangent, ändringskvot och gränsvärde.
Genom att utgå ifrån en sekant kan vi definiera derivatan. Sekanten skär grafen i två punkter [math]\displaystyle{ P }[/math] och [math]\displaystyle{ Q }[/math]. Om Avståndet mellan punkterna minskar kommer sekanten allt närmare tangenten. Titta på bilderna nedan så ser du vad som händer när avståndet mellan [math]\displaystyle{ P }[/math] och [math]\displaystyle{ Q }[/math] krymper.
Men för att vi ska kunna använda gränsvärden skriver vi [math]\displaystyle{ P }[/math] och [math]\displaystyle{ Q }[/math] som [math]\displaystyle{ P = (x, f(x)) }[/math] och [math]\displaystyle{ Q = (x + h, f(x + h)) }[/math].
I de tre figurerna nedan ser du hur Q närmar sig P, d v s [math]\displaystyle{ h }[/math] minskar. Det innebär att sekantens lutning blir mer och mer lik tangentens lutning.
Det här gäller för en godtycklig punkt [math]\displaystyle{ x }[/math] men låt oss se hur det förhåller sig i punkten [math]\displaystyle{ (a,f(a)) }[/math].
Om en funktion f åskådliggörs av en graf y = f(x) så anger derivatan av f grafens lutning (förändring av y per förändring av x) för varje värde x. Derivatan i en punkt är således lika med riktningskoefficienten för kurvans tangent i den valda punkten [math]\displaystyle{ (x, f(x)). }[/math] Det vill säga [math]\displaystyle{ k = \frac{\Delta y}{\Delta x} }[/math]
Om du ska räkna ut lutningen i en punkt får du problem. [math]\displaystyle{ k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{0}{0} }[/math] och det går ju inte. Här behövs formell matematik.
Nu utgår vi från en punkt [math]\displaystyle{ (a,f(a)) }[/math] och så kallar vid punkten som närmar sig för [math]\displaystyle{ (a+h,f(a+h)) }[/math]. När [math]\displaystyle{ h }[/math] krymper kommer den andra punkten att närma sig den första. Man säger att h går mot noll och det skrivs
Detta kan sammanfattas på matematisk form och kallas derivata.
Derivatan av funktionen [math]\displaystyle{ f }[/math] i punkten [math]\displaystyle{ a }[/math] definieras som gränsvärdet
Med denna form för att skriv derivatans definition kan man sätta in polynom och andra funktioner i definitionen, förenkla det rationella uttrycket och förkorta bort h i nämnare så att det går att beräkna gränsvärdet. Mer om hur det går till ser du under nästa flik - Exempel.
Sätt [math]\displaystyle{ a + h = x }[/math]. Det ger ett nytt sätt att skriva derivatans definition.
Derivatans värde (lutningen k) i punkten där [math]\displaystyle{ x = a }[/math] skrivs:
Detta är derivatan i punkten [math]\displaystyle{ (a, f(a)) }[/math]
Tänk dig en fix punkt på en kurva (3, F(3) och en rörlig punkt med koordinaterna (x, f(x)). Sekantlinjen genom de två punkterna har lutningen:
Låt sedan [math]\displaystyle{ x }[/math] minska så att [math]\displaystyle{ x }[/math] närmar sig 3. Då kommer f(x) att närma sig f(3) och linjen att tangera kurvan i punkten [math]\displaystyle{ (x,f(x)) }[/math]. Den linjen kallas för tangent.
Tangentens lutningen i punkten där [math]\displaystyle{ x = 3 }[/math] skrivs:
Man kan skriva derivatan på flera sätt
Använd derivatans definition.
Bestäm tangentens k-värde i punkten där x = 2 om f(x) = 3 x^2.
Använd derivatans definition för att bestämma f'(4) om f(x) = 3 x + 5.
Nedan har vi skapat en Geogebra för funktionen [math]\displaystyle{ s(t) = 5 t^2. }[/math] I GeoGebra behöver du dock använda x i stället för t som variabel.
Det kan se ut så här:
Det finns ett papper med sex uppgifter där du ska använda derivatans definition.
Efter att du är klar med dessa går du in i Kunskapsmatrisen.
Derivatans definition i Python
Du kan ta fram ett beräknat, approximativt värde för derivatan i en punkt med hjälp av ett program.
Numerisk_derivering
Du kan skissa derivatans utseende genom att uppskatta funktionens lutning i grafen (alltså utan att känna till funktionen algeriskt).
Av Jonas Hall
Man kan definiera derivata på lite olika sätt. Här följer en geogebra fil där du kan flytta punkten A som du deriverar kring. Du kan också flytta två närliggande punkter. Om du vill ändra funktionen f måste du ladda ner filen härifrån [1]. Du flyttar A med slidern a. Avståndet (h eller delta h) till A för punkterna B och C med slidrers b och c. Linjen e motsvarar höger derivatan i punkten A när avståndet |C-A| går mot noll. På samma sätt motsvarar linjen d vänster derivatan då |B-A| går mot noll. Till slut är linjen g en variant av en sekant definition av derivata om |B-C| går mot 0.