Vi lär oss vad en normalfördelnng är och hur man läser av normalfördelningsdiagram.
Vid mätning av många fenomen i naturen och i samhället visar det sig att observationsvärdena tenderar att följa ett visst mönster - en normalfördelning. Det kan röra sig om till exempel längden på vuxna människor, vikten på nyfödda barn, mängden nederbörd som fallit under ett dygn, etc. Observationsvärdena tenderar att huvudsakligen ligga i närheten av värdenas medelvärde, med desto färre observationsvärden som återfinns ju längre från medelvärdet man kommer. Dessa fenomen kan beskrivas med hjälp av en normalfördelningskurva, som kan förväntas se ut ungefär som i figuren nedan när vi har tillräckligt många observationsvärden:
Normalfördelningen har täthetsfunktionen
där μ och σ är normalfördelningens karakteristiska konstanter: μ är väntevärdet och σ är standardavvikelsen för fördelningen. Denna normalfördelning betecknas med [math]\displaystyle{ N(\mu,\sigma)\, }[/math].
Normalfördelningen (ibland Gaussfördelning eller Gausskurva) är en viktig fördelning inom sannolikhetsteori och statistik. En normalfördelad variabel antar ofta värden som ligger nära medelvärdet och mycket sällan värden som har en stor avvikelse. Därför påminner normalfördelningen om en kulle eller en klocka och i engelskan används ofta beteckningen bell curve.
Normalfördelningens betydelse framgår av den centrala gränsvärdessatsen enligt vilken summan av ett stort antal oberoende slumpmässiga variabler är approximativt normalfördelad under vissa allmänna förutsättningar oavsett vilken fördelning dessa variabler hade från början. Normalfördelningen är därför betydelsefull för beskrivningar av företeelser i naturen och i samhällen då många skeenden kan beskrivas med stor noggrannhet av normalfördelningen.
Arean under normalfördelningens kurva är 1, eftersom det är en sannolikhetsfördelning.
En standardiserad normalfördelning har μ = 0 och σ = 1.
I figuren ser du en normalfördelning med standardavvikelser (σ) kring medelvärdet (μ). Medlevärdet är 0 i figuren.
Värdena inom en standardavvikelse upp eller ner från medelvärdet utgör 34.1 %
Drygt 68% är inom en standardavvikelse från medelvärdet * Drygt 95% är inom två standardavvikelser från medelvärdet * Drygt 99,7% är inom tre standardavvikelser från medelvärdet.
Så här ser normalfördelningskurvan ut om man skriver in den i GeoGebra. Det finns alltså en färdig funktion så du behöver bara mata in medlevärdet och standardavvikelsen. Testa först med [math]\displaystyle{ \mu = 0 }[/math] och [math]\displaystyle{ s = 1 }[/math]
Summan_av_två_tärningar
Gör den här uppgiften!
Klipp in data i GeoGebra Classic spreadsheet.
Klicka på envariabelanalys.
Hur ser kurvan ut, verkar det normalfördelat?
Du kan kanske använda min GGB-konstruktion och klippa in dina värden i kalkylbladet.
Om en slant singlas 100 gånger kommer antalet kronor att vara binomialfördelat. Men eftersom varje slantsingling är oberoende av de övriga kommer summan att vara ungefär normalfördelad med väntevärdet 50.
Ofta är det mycket enklare att approximera en slumpmässig variabel med en normalfördelning än att beräkna enskilda sannolikheter och då många slumpmässiga fenomen är summor av många små slumpmässiga tillskott fungerar det vanligtvis väl. Historiskt sett var möjligheten att approximera stora binomialfördelningar det första tillämpningsområdet för normalfördelningen.
Wikipedia skriver om Normalfördelning
Gör ett eget program som simulerar 100 slantsinglingar upprepade gånger.
Undersök i GeoGebra om det är normalfördelat.
import random num = int(input('Hur många 100-kast vill du ha? ')) for k in range(num): krona = 0 for m in range(100): if random.randint(1, 2) == 1: krona = krona + 1 print(krona , ",")
import random num = int(input('Hur många 100-kast vill du ha? ')) list = [] for k in range(num): krona = 0 for m in range(100): if random.randint(1, 2) == 1: krona += 1 list.append(krona) print(list) print(sum(list)/num)
I den här laborationen ska vi mäta hur brett grepp vi kan ta om vi skulle spela piano.
Inspiration: Bakgrunden till den här aktiviteten läser du om här: Introducing normal distribution part 1
Vägledning: Min GGB.
Övning i att generera egna värden i Excel.
Använd denna fil till att generera slumptal.
Excel genererar två slumptal mellan 1-6. Sedan adderas de. Dessa värden ska du undersöka fördelningen av.
Hur många värden behöver du för att det ska se bra ut jämfört med normalförelningskurvan?
Testa även att generera slumptal i GGB.
Länk till övningari skapade i GeoGebra
här kan du läsa om normalfördelningen och testa hur den uppför sig i Geogebra
Undersök med Geogebra-applet: Malin C - teori om normalfördelning
Testa dessa data i GGB Classic:
85, 87, 150, 100, 100, 90, 70, 72, 75, 70, 85, 143, 100, 121, 92, 66, 70, 69, 75, 80, 140, 92, 130, 83, 70, 68, 67, 75, 83, 149, 95, 130, 80, 68, 85, 75, 73, 78, 140, 90, 124, 86, 69, 70, 75, 77, 110, 165, 110, 150, 110, 115, 80, 75, 75, 98, 172, 110, 145, 110, 95, 52, 80, 96, 110, 168, 110, 145, 110, 80,80, 75, 89, 95, 170, 110, 145, 120, 89, 72, 79, 75, 95, 220, 100, 149, 100, 110,80, 85, 80, 90, 165, 103, 135, 95, 77, 76, 85, 80, 88, 155, 103, 120, 85, 79, 78, 82, 75, 85, 150, 103, 135, 90, 75, 85, 78, 75, 88, 150, 95, 130, 90, 70, 76, 89, 82, 95, 145, 100, 133, 90, 77, 89, 79, 80, 90, 165, 103, 135, 95, 77, 86, 80, 85, 100, 160, 120, 140, 100, 90, 79, 92, 70, 100, 165, 120, 140, 100, 120, 86, 71, 95, 100, 155, 120, 139, 100, 89, 86, 78, 78, 110, 158, 122, 145, 108, 95, 95, 78
Är de normalfördelade?
Läs artikeln och lär dig hur man skapar svg i gnuplot:
Kolla Wikipedia och fundera över vad detta har med normalfördelningen att göra.
En binomialfördelning.
https://www.geogebra.org/m/chyJZTtS
En ambitiöst omfattande och lärorik GeoGebra: