Problemlösning exponentialfunktioner

Problemlösning, av Daniel Barker

Sid 195-198 - Genomräknade exempeluppgifter

Mål för undervisningen

Denna lektion kommer du att lära dig hur hur du löser problem med exponentialfunktioner.

En form av tillämpningar handlar om antal personer, bakterier eller liknande. I andra fall kan det vara ekonomiska modeller. Avsvalningslagen är en ytterligare tillämpning. Slutligen har vi radioaktivt sönderfall.

Definition
Problemlösning med exponentialfunktionen - Vad kan man fråga efter? y-värdet vid en viss tid vid vilken tid man når ett visst y-värde Förändringen vid en viss tid, d v s derivatans värde.

[redigera]

Ni har sett min film om problemlösning med exponentialfunktioner.

Din uppgift är att skriva en punktlista för hur du ska gå tillväga när du löser problem. Lite som en fusklapp till prov

I klassrummet bildar ni grupper och jämför eralistor samt skapar en ultimat lista genom att ni lägger in eralistor i Drive och redigerar ihop den optimala som alla är överens om.

Slutligen löser ni ett problem helt enligt listan

Slutligen reflekterar ni över om:

metoden/listan fungerade och var till hjälp
om ni fick fram en snygg lösning till problemet och om listan hjälpte till det.

Exponentialfunktion på olika sätt

Exponentialfunktionerna kan skrivas på flera former, exempelvis

[math]\displaystyle{ f(x) = C \cdot e^{kx} }[/math]
[math]\displaystyle{ f(x) = C \cdot a^{x} }[/math]

För det allmänna resonemangets skull kan vi undersöka funktionen:

[math]\displaystyle{ y(x) = C \cdot a^{kx} }[/math]

Fyra metoder

Funktionen är:

[math]\displaystyle{ y(x) = C \cdot a^{kx} }[/math]

1) Funktionens värde vid en viss tid (ett visst x-värde)

[math]\displaystyle{ y(tid) = C \cdot a^{kx} }[/math]

2) Bestäm C

[math]\displaystyle{ y(0) = C }[/math] eftersom : [math]\displaystyle{ a^{0} = 1 }[/math]

3) Bestäm värdet på x (exempelvis tiden för en fördubbling av kapitalet)

[math]\displaystyle{ x = \frac{\log{\frac{y}{C}} }{\log a} }[/math]

4) Bestäm a (exempelvis räntesatsen och du vet ökningen efter x år)

[math]\displaystyle{ a = (\frac{y}{C})^{\frac{1}{kx}} }[/math]

Länkar till filmer

https://www.youtube.com/watch?v=p1JdHw82D5s Tomas Rönnåbakk Sverin, Exempel på problemlösning med exponentialfunktioner

https://www.youtube.com/watch?v=ExgnxrrbzdQ Tillämpningar av logaritmer på exponentialfunktioner

https://www.youtube.com/watch?v=dg7kbbGdcXc Naturvetenskapliga tillämpningar av logaritmer och exponentialfunktioner, av Genomgångar gymnasiematematik

https://www.youtube.com/watch?v=2MSPGC7Zjv4 Matematik 2b: Tillämpningar på exponentialfunktioner, av Johan Knubbe

Här är en spellista med filmer om problemlösning.

[redigera]

Ett problemlösningsexempel

Uppgift:

Nationellt prov ma3c ht 2012.

Facit: (klicka expandera till höger)

[redigera]

Ett exempel med flera modeller

Man häller kaffe i en termos. Kaffet har från början temperaturen 92° C. Termosen ställs sedan i ett rum där temperaturen är 15° C. Temperaturen antas förändras enligt någon av dessa tre modeller:

a) [math]\displaystyle{ y(t) = 92 - 7 t }[/math], där t är tiden i timmar. 

b) [math]\displaystyle{ y(t) = 92 \cdot 0.93^t }[/math]

b) [math]\displaystyle{ y(t) = 15 + 92 \cdot e^{-0.025 t} }[/math]

Ta reda på under vilka tider modell a, b respektive c gäller.

Resonera om vilken modell som är bäst.

GeoGebra med modellerna

Läs gärna mer vad Wikipedia skriver om Newtons_avsvalningslag

[redigera]

Övan Problemlösning med exponentialfunktioner från Canvas

Problemlösning exponentialfunktioner