Index, lån, amortering

Teori

Konsumentprisindex

Definition
Index Ett index är förändringsfaktorn multiplicerat med 100 %. Vid indexuppräkning behöver man en starttidpunkt, exempelvis ett år då index börjar vid 100 %.

Konsumentprisindex

• SCB
• Wikipedia skriver om Konsumentprisindex
• Wikipedia skriver om Big_Mac-index

Begrepp kring lån

Definition

Begrepp: amortering = avbetalning annuitestlån = ett lån där ränta och amortering kombinerats så att lånekostnaden är samma varje månad betalningsanmärkning = hinder för kreditvärdighet som beror på obetalda räkningar etc budgivning = flera intresserade köpare lägger högre bud om hur mycket de är villiga att betala tills en finns kvar med det högsta budet Kontantinssats = man får inte låna till hela bostaden. En viss del av köpesumman måste man ha själv. kredit = lån kreditvärdig = om man får låna pengar kvartal = ett fjärdedels år köpesumma = priset på bostaden lånebelopp = de pengar som lånats lånelöfte = innan köparen börjar titta på hus eller lägenheter kan hen få ett besked från banken om hur mycket hen kan få låna och till vilka villkor löptid = hur länge pengarna lånats ut återbetalningstid = hur länge pengarna lånats ut

Exempel med förändringsfaktor

Vad händer om ränta läggs på ränta? Det kan vara dina pengar på ett sparkonto eller i ett värre fall någon som lånat pengar utan kunna betala tillbaka. Det händer till exempel när människor tar så kallade SMS-lån. I båda fallen kommer det utlånade beloppet att öka exponentiellt.

Om lånebeloppet till exempel är [math]\displaystyle{ 15 000 \: kr }[/math] och räntan är [math]\displaystyle{ 12 }[/math]% per år kan vi skriva hur lånet ökar med hjälp av förändringsfaktorn:

Efter ett år är det nya beloppet [math]\displaystyle{ 15 000 \cdot 1.12 = 16 800. }[/math]

Beloppet har alltså ökat (om man inte betalat räntan) så efter två år är det nya beloppet [math]\displaystyle{ 16 800 \cdot 1.12 = 18 816. }[/math]

Men detta kan ju skrivas som [math]\displaystyle{ 15 000 \cdot 1.12 \cdot 1.12 = 18 816 }[/math]

eller [math]\displaystyle{ 15000 \cdot 1.12^2 = 18 816 }[/math]

Beloppet ökar alltså mer och mer och efter [math]\displaystyle{ x }[/math] år är beloppet uppe i [math]\displaystyle{ 15 000 \cdot 1.12^x }[/math]

Definition

Exponentialfunktioner Exponentialfunktionerär en klass av funktioner som kännetecknas av att funktionsvärdets ändringstakt är proportionell mot funktionsvärdet. Exempelvis kan ränta på ränta beräknas som [math]\displaystyle{ slutbeloppet = r^x \cdot startbeloppet }[/math] där [math]\displaystyle{ r^x }[/math] är en exponentialfunktion, den årliga räntefaktorn är r (till exempel 1,12 för 12 % ränta) och x antalet år. Exponentialfunktionerna kan skrivas på formen: [math]\displaystyle{ f(x) = C \cdot a^x }[/math]

Amortering

När man lånar pengar behöver man betala tillbaks lånet. Återbetalningen delas ofta upp i mindre delar. Man kan till exempel betala en del varje månad. Om lånet löper på fem år betalar man en sextiondel varje månad i fem år (60 månader).

Beräkning av lånekostnad

Exempel
I detta exempel har amortering och ränta summerats år för år där återbetalningstiden är 40 år. Formler och data har kopierats rad för rad vilket gör det synnerligen enkelt och snabbt. Exempel med amortering och räntekostnad i Excel

Aktivitet

Undersök exponentialfunktionen genom att titta på grafen

Skriv in [math]\displaystyle{ y = 15 000 \cdot 1.12^x }[/math] i GeoGebra. Vad kan du säga om grafen?

Genom att trycka in Shift och klicka och dra på axlarna kan du skala dem så du får tusental på y-axeln och ental på x-axeln.

Använd Excel

Nu ska vi backa tillbaka och undersöka år för år vad som händer när exempelvis ett lån ökar år för år genom att räntan läggs på lånet.

Det går bra med vilket kalkylprogram som helst.

Uppgift

Undersök ränta på ränta med Excel Välj ett belopp (ex 8000 kr) som du ska sätta in på ett sparkonto och tänk dig att du får 7 % i ränta. Det är kanske inte rimligt i dagsläget men det kunde ju bara en årlig prognos för avkastningen på en aktiefond. I cell B1 skriver du 8000, i B2 7 och i B3 beräknar du förändringsfaktorn genom att skriva = (klicka på B2) /100 + 1. I cell B4 multiplicerar du sparbeloppet med förändringsfaktorn I kolumn A skriver du rubriker till dina rader I C-kolumnen ska du klura ut hur mycket sparbeloppet ökat efter år två Upprepa för år tre och fyra. Högerklicka på ettan i rad ett och lägg till en rad där du kan skriva rubriker på kolumnerna. Markera kolumn C och kopiera ut på fler kolumner. Hur mycket pengar har du efter 30 år? Ändra belopp och ränta i kolumn B och se hur det påverkar resultatet.

Två helt olika elevlösning som ger poäng men har olika kvaliteter

Uppgift
Vilken lösning är bäst? I nedanstående två lösningar finns det en som spar tid både för lärare och elev. Diskutera: Vilken är bäst och varför? Två elevlösningar på uppgift där priset först höjs och sedan sänks.

Utforska en modell

Det här är en omfattande GeoGebra med en modell av lån med amortering. Undersök hur den fungerar. Vilken formel ligger i grunden av konstruktionen?

Fler beräkningsverktyg

Testa även GeoGebras kalkylark och kombinationen med grafer.

Testa vad Wolfram kan göra.

En större uppgift om lån, räntor och amorteringar

Resten av provtiden får du ägna åt en omfattande och djup uppgift. Frågorna blir svårare ju längre du kommer men du kommer samtidigt att lära dig mer och mer ju längre du arbetar med uppgiften.

Det kanske känns avlägset nu men m en fem tio år kanske du kommer att låna pengar till din första bostad så det här är matematik du kommer att ha nytta av i framtiden.

Hjälpmedel: Du får surfa så mycket du vill för att leta information och ta reda på det du vill veta. Det finns begrepp och exempel här på Wikiskola men Wikipedia, Gleerups, matteboken.se kan också vara till hjälp. GeoGebra, WolframAlpha är tillåtna men du har säkert större nytta av Excel. Använd vilka resurser du vill utom att be någon annan göra uppgiften åt dig.

Bedömning av förmågorna för relevans, begrepp, procedur, modell, problemlösning, resonemang och kommunikation.

Uppgift

Räkna på bostadslån Berätta vilket datum du är född. Titta i listan över Stadsdelar i Stockholm och välj den med samma nummer som ditt födelsedatum. Gå in på Hemnet och sök i din stadsdel efter en bostadsrätt. Klipp in adressen till annonsen som svar. Vad kostar den? Hur mycket måste du betala i ränta per månad om årsräntan är 1 %, 3% och 8 %. Antag att du belånar hela bostaden. Välj en bank och undersök vilka villkor du skulle få på ett lån. Anteckna hur många år lånet löper på och hur mycket man ska amortera varje månad. Gör en kalkyl i lämpligt program med ränta och amorteringar enligt bankens förslag ovan. Jämför din kalkyl med bankens siffror. Hur stämmer det? Resonera om skillnader och likheter. Gör ett algebraiskt uttryck för månadskostnaden för ett lån där variabler som belopp, ränta, återbetalningstid och amortering ingår. Behövs alla variabler? De flesta som lånar till en bostad lägger upp lånet så att det belopp som betalas varje månad blir lika högt (annuitetslån) men en annan modell är att amortera ett lika stort belopp varje månad samt betala ränta på lånets aktuella storlek. Vad är det för skillnad mellan de två modellerna? Resonera om för- och nackdelar med de två modellerna. Lämna in en eller flera filer med alla dina svar i Canvas.

Exempellösning - Räkna på bostadslån

Lär mer

Wikipedia skriver om Sammansatt_ränta

Exit ticket

Exit ticket: Index och ränta