Du lär dig hur man skapar och läser av en indextabell.
Du lär dig hur man beräknar kostnaden för lån över flera år eller vad ett ackumulerat sparande kan ge.
Du ska lära dig att skriva in funktioner i GeoGebra samt att utföra beräkningar med formler i Excel.
När vi vill jämföra hur värden har förändrats över tid används ofta något som kallas för index. När man räknar med index beskriver man en värdeutveckling i förhållande till en specifik startpunkt, ofta kallad basår.
Om vi exempelvis vet att en godispåse kostade 4 kronor år 1990, 5 kronor år 1991, och 6 kronor år 1992, då kan vi beskriva prisförändringen med hjälp av index. Om vi sätter år 1990 till vårt basår, kan vi sedan jämföra de senare årens värden med värdet som gällde år 1990. Vi får då en förändringsfaktor där basårsvärdet alltid är vårt gamla värde.
Vi kan ställa upp värdena i en tabell:
Man kan, när man har gjort alla beräkningarna, göra om tabellen, så att den enbart innehåller år och index, eftersom det är just den information vi är intresserad av i det här sammanhanget.
I tabellen kan vi se att priset på godispåsen har ökat med 50 % från år 1990 till 1992, eftersom index för år 1992 ligger på 150 jämfört med basåret 1990:s index på 100.
Om vi vill få reda på förändringen mellan åren 1991 och 1992, då delar vi indexvärdena för dessa år och får förändringsfaktorn:
vilket innebär en ökning på 20 % vad gäller priset från år 1991 till år 1992.
Texten ovan kommer från mattteboken.se
Ett index är förändringsfaktorn multiplicerat med 100 %. Vid indexuppräkning behöver man en starttidpunkt, basåret, det år då index börjar vid 100 %.
Konsumentprisindex
Vad händer om ränta läggs på ränta? Det kan vara dina pengar på ett sparkonto eller i ett värre fall någon som lånat pengar utan kunna betala tillbaka. Det händer till exempel när människor tar så kallade SMS-lån. I båda fallen kommer det utlånade beloppet att öka exponentiellt.
Om lånebeloppet till exempel är [math]\displaystyle{ 15 000 \: kr }[/math] och räntan är [math]\displaystyle{ 12 }[/math]% per år kan vi skriva hur lånet ökar med hjälp av förändringsfaktorn:
Exponentialfunktionerär en klass av funktioner som kännetecknas av att funktionsvärdets ändringstakt är proportionell mot funktionsvärdet. Exempelvis kan ränta på ränta beräknas som
där [math]\displaystyle{ r^x }[/math] är en exponentialfunktion, den årliga räntefaktorn är r (till exempel 1,12 för 12 % ränta) och x antalet år.
Exponentialfunktionerna kan skrivas på formen:
När man lånar pengar behöver man betala tillbaks lånet. Återbetalningen delas ofta upp i mindre delar. Man kan till exempel betala en del varje månad. Om lånet löper på fem år betalar man en sextiondel varje månad i fem år (60 månader).
År 1992 kostade en viss vara 199 kronor i Sverige. Vad borde den ha kostat 2005 om priset följt index?
KPI i Sverige för 1992 var 232,4 och för 2005 var det 280,4 enligt SCB.
Resonemang: Multiplicera då varans ursprungliga pris med kvoten av det nyare och äldre indextalet:
[math]\displaystyle{ 199 \cdot \frac {280,\!4} {232,\!4} = 240,\!10 }[/math]
Svar: Varan borde ha kostat 240,10 kronor.
Pelle ska låna 40 000 kr för att köpa en bil. Han får låna pengarna mot att han betalar en ränta på 4 % i tio år. Hur mycket ska han betala tillbaks?
[math]\displaystyle{ 40 000 \cdot 1.04^{10} = 59 200 }[/math]
I detta exempel har amortering och ränta summerats år för år där återbetalningstiden är 40 år. Formler och data har kopierats rad för rad vilket gör det synnerligen enkelt och snabbt.
Exempel med amortering och räntekostnad i Excel
Skriv in [math]\displaystyle{ y = 15 000 \cdot 1.12^x }[/math] i GeoGebra. Vad kan du säga om grafen?
Genom att trycka in Shift och klicka och dra på axlarna kan du skala dem så du får tusental på y-axeln och ental på x-axeln.
Nu ska vi backa tillbaka och undersöka år för år vad som händer när exempelvis ett lån ökar år för år genom att räntan läggs på lånet.
Det går bra med vilket kalkylprogram som helst.
Välj ett belopp (ex 8000 kr) som du ska sätta in på ett sparkonto och tänk dig att du får 7 % i ränta. Det är kanske inte rimligt i dagsläget men det kunde ju lika gärna vara en årlig prognos för avkastningen på en aktiefond.
I nedanstående två lösningar finns det en som spar tid både för lärare och elev.
Diskutera: Vilken är bäst och varför?
Två elevlösningar på uppgift där priset först höjs och sedan sänks.
Python-hjälp och Fler uppgifter
Målet är att du ska använda program för att utföra matematiska beräkningar. Du bör testa att modifiera algoritmen så att dina beräkningar blir mer effektiva.
Målet är inte att du ska lära dig programmering på matematiklektionen men det är oundvikligt att du ändå lär dig lite Python-kod.
amt = 10000 int = 3.5 years = 7 future_value = amt*((1+(0.01*int)) ** years) print(round(future_value,2))
Uppgiften är inspirerad av w3resource
Statistiska Centralbyrån, SCB, publicerar en tabell som kallas konsumentprisindex.
Resten av provtiden får du ägna åt en omfattande och djup uppgift. Frågorna blir svårare ju längre du kommer men du kommer samtidigt att lära dig mer och mer ju längre du arbetar med uppgiften.
Det kanske känns avlägset nu men m en fem tio år kanske du kommer att låna pengar till din första bostad så det här är matematik du kommer att ha nytta av i framtiden.
Hjälpmedel: Du får surfa så mycket du vill för att leta information och ta reda på det du vill veta. Det finns begrepp och exempel här på Wikiskola men Wikipedia, Gleerups, matteboken.se kan också vara till hjälp. GeoGebra, WolframAlpha är tillåtna men du har säkert större nytta av Excel. Använd vilka resurser du vill utom att be någon annan göra uppgiften åt dig.
Bedömning av förmågorna för relevans, begrepp, procedur, modell, problemlösning, resonemang och kommunikation.
Lämna in en eller flera filer med alla dina svar i Canvas.
Exempellösning - Räkna på bostadslån
(på till exempel https://www.hemnet.se/)
Vi förutsätter att ni är i 25-års åldern, övriga förutsättningar för er som par ser ni nedan:
Vi har slumpat in er i grupper, och slumpat era löner och gemensamma besparingar.
Ni behöver även tänka på att ni behöver betala skattesatsen för den kommun ni väljer er bostad i.
Totala kommunala skattesatser 2019, kommunvis hittar ni på SCBs hemsida.
Skattesatsen i kolumnen "Total skatte-sats år 2019, (%)" är den ni ska använda er av, för att beräkna er inkomst efter skatt.
Ni ska själva välja ut en bank och ta reda på vilka förutsättningar för bolån som gäller där. Banker får inte bevilja (godkänna) mer än 85% av vad ni köper bostaden för som bolån. En del banker delar upp bolånet i bottenlån och topplån, där bottenlånet (upp till 75-80% av det ni köper bostaden för) har en lägre ränta än topplånet (resterande, upp till 85%)
En del lånegivare erbjuder lån utan säkerhet (blancolån). De har ofta mycket högre ränta än bolån. Det rekommenderas dock att inte belåna bostaden utöver 85%.
Här kan ni läsa mer om belåningsgrad: https://www.konsumenternas.se/lana/olika-lan/om-bolan/sa-fungerar-ett-bolan/belaningsgrad
Förslag på olika banker med enkla webbtjänster för att få ungefärlig räntekostnad (räntan brukar ligga mellan 1-2%):
När det kommer till amorteringskrav hittar ni en bra sammanfattning om nuvarande krav från Swedbank här:
https://www.swedbank.se/privat/boende-och-bolan/rakna-pa-ditt-bolan/amortering-och-amorteringskrav.html
Hushållet ska ha en budget, vi vill inte att ni ska använda all er inkomst till lån och inte ha råd med mat och levnadskostnader.
Ni kan använda er av Konsumentverkets budgetförslag: Koll på pengarna 2019 konsumentverkets beräkningar.pdf
Och om ni vill använda er av deras tips för att göra en budget: Koll på pengarna 2019 att göra en budget.pdf
Båda pdferna är hämtade från: Koll på pengarna 2019.pdf
Uppgiften bedöms utifrån kunskapskraven kring kommunikation, resonemang och relevans:
Eleven kan föra enkla matematiska resonemang och värdera med enkla omdömen egna och andras resonemang samt skilja mellan gissningar och välgrundade påståenden. Dessutom uttrycker sig eleven med viss säkerhet i tal, skrift och handling med inslag av matematiska symboler och andra representationer.
Genom att ge exempel relaterar eleven något i kursens innehåll till dess betydelse inom andra ämnen, yrkesliv, samhällsliv och matematikens kulturhistoria. Dessutom kan eleven föra enkla resonemang om exemplens relevans.
Eleven kan föra välgrundade matematiska resonemang och värdera med nyanserade omdömen egna och andras resonemang samt skilja mellan gissningar och välgrundade påståenden. Dessutom uttrycker sig eleven med viss säkerhet i tal, skrift och handling samt använder matematiska symboler och andra representationer med viss anpassning till syfte och situation.
Genom att ge exempel relaterar eleven något i några av kursens delområden till dess betydelse inom andra ämnen, yrkesliv, samhällsliv och matematikens kulturhistoria. Dessutom kan eleven föra välgrundade resonemang om exemplens relevans.
Eleven kan föra välgrundade och nyanserade matematiska resonemang, värdera med nyanserade omdömen och vidareutveckla egna och andras resonemang samt skilja mellan gissningar och välgrundade påståenden. Dessutom uttrycker sig eleven med säkerhet i tal, skrift och i handling samt använder matematiska symboler och andra representationer med god anpassning till syfte och situation.
Genom att ge exempel relaterar eleven något i några av kursens delområden till dess betydelse inom andra ämnen, yrkesliv, samhällsliv och matematikens kulturhistoria. Dessutom kan eleven föra välgrundade och nyanserade resonemang om exemplens relevans.
Wikipedia skriver om Sammansatt_ränta
Det här är en omfattande GeoGebra med en modell av lån med amortering. Undersök hur den fungerar. Vilken formel ligger i grunden av konstruktionen?
Testa även GeoGebras kalkylark och kombinationen med grafer.
Testa vad Wolfram kan göra.
Exit ticket: Index och ränta