Begreppet polynom
Teori
| Definition |
|---|
Polynom
|
Exempel på polynom
| Benämning | Exempel |
|---|---|
| Nolltegradspolynom | [math]\displaystyle{ 1 }[/math] |
| Förstagradspolynom | [math]\displaystyle{ 2x+1 }[/math] |
| Andragradspolynom | [math]\displaystyle{ x^2+2x+1 }[/math] |
| Tredjegradspolynom | [math]\displaystyle{ 4x^3+3x^2+2x+1 }[/math] |
| Fjärdegradspolynom | [math]\displaystyle{ 5x^4+4x^3+3x^2+2x+1 }[/math] |
| Exempel |
|---|
|
[math]\displaystyle{ 3 x^3 + 4 x^2 - 2 x - 7 }[/math] är allts¨ett polynom av grad 3. Eftersom alla exponenter upp till 3 finns representerade bland termerna kallas polynomet fullständigt. Om en term med någon exponent saknas kallas polynomet ofullständigt. En polynomfunktion kan skrivas: [math]\displaystyle{ f(x) = 2 x^2 +3 x - 7 }[/math] Polynomfunktinen har ett värde som korresponderar mot ett värde på varibaln. Exempelvis har funktionen ovan värdet [math]\displaystyle{ f(2) = 7 }[/math] |
Faktorisering av polynom
| Definition |
|---|
| Nollställe
En punkt i en funktions definitionsmängd där funktionens värde är noll Besläktade ord: nollställa. Nollställena i en andragradsfunktion befinner sig på samma avstånd från symmetrilinjen.
|
Faktorisering och nollproduktsmetoden
Nu vet vi att x-värden för punkterna där andragradfunktinens graf skär x-axeln motsvara lösningen till ekvationen där funktionen är lika med noll, f(x) = 0. Dessa x-värden kallas nollställen.
Ett annat sätt att hitta nollställena är att faktorisera andragradsfunktionens uttryck. Nollproduktssatsne säger då att om a b = 0 så är antingen a = 0 eller b = 0. Genom att faktorisera andragradsfunktionen fås ett uttryck på formen k (x-a) (x-b) = 0. Nollställena x = a och x = b utgör då lösningar (rötter) till ekvationen.
Förenkling av rationella uttryck
Det här kommer vi att gå djupare in på under nästa lektion.
| Exempel |
|---|
Förenkla uttrycket:
Vi börjar med att faktorisera täljaren:
Och nu kan vi förkorta med x-4 i täljare och nämnare och får det förenklade uttrycket:
|
Uppdelning i faktorer med konjugatregeln
Vi gör nedanståendde övningar på kortast möjliga tid för att få upp tempo och automatisera procedurerna.
| Exempel |
|---|
| Faktorisera för att hitta nollställena
Vilka rötter har ekvationen [math]\displaystyle{ x^2 - 6 x + 9 }[/math] ? Faktorisering ger (x-3)(x-3) = 0 vilket innebär att x = 3 är ett nollställe och en dubbelrot. Ekvationen kan även skrivas på formen [math]\displaystyle{ (x-3)^2 = 0 }[/math] |
| Uppgift |
|---|
|
Först ska vi repetera konjugatregeln med ett lösblad där det är rad snabba uppgifter. Dessa uppgifter bör klaras av på mindre än tre minuter. Sedan testar vi om du kan använda konjugatregeln baklänges. Dela upp följande uttryck i faktorer:
|
Uppdelning i faktorer med kvadreringsreglerna
| Uppgift |
|---|
|
Här ska vi också repetera kvadreringsreglerna med ett lösblad. Du ska även kunna kvadreringsreglerna baklänges. Exempel:
Testa nu om du kan kvadratern med kvadreingsregeln baklänges!
|
Uppdelning i faktorer utan konjugat- eller kvadreringsreglerna
Det är ofta lätt att hur ett polynom av andra graden (andragradsfunktion) kan faktoriseras med hjälp av konjugat- eller kvadreringsreglerna men det går att faktorisera många andra polynom av andra graden men ekvationens form blir då [math]\displaystyle{ (x-a)(x-b) = 0 }[/math] och rötterna är a respektive b. Det motsvara fallen då andragradsfunktionen inte är symmetrisk med y-axeln.
| Exempel |
|---|
|
Ekvationen
kan skrivas som
Rötterna är : [math]\displaystyle{ x= -2 }[/math] och [math]\displaystyle{ x=3 }[/math] Observera den negativa roten. Faktorn : [math]\displaystyle{ (x+2) = 0 }[/math] om [math]\displaystyle{ x= -2 }[/math] |
Lär mer
|
|
|
|
Öva procedurer
Här kan man öva på att hitta faktorerna även om det inte går att använda kvadrerings- eller konjugatregeln. Använd hint-funktionen om du behöver hjälp.
Repetition av Ma2c
Mycket av detta bygger på avsnittet Nollställe i Ma2c.
Matematisk relevans
| Uppgift |
|---|
| Vad kan man ha faktoriseringen till inom matematiken?
Metoden att faktorisera kan fungera som komplement till en annan känd teknik som vi använder på andragradsfunktioner. Tag fram en tydlig beskrivning av hur man faktoriserar andragradspolynom utan att använda konjugat- eller kvadreringsreglerna. |