Andragradsekvationer
Teori
Enkla andragradsekvationer
Av Daniel Barker.
Även nu har vi att göra med andragradsekvationer som är enkla fall av den fullständiga ekvationen.
Antingen förkortas x-termerna bort så att man får kvadrattermer kvar att ta roten ur
eller
så har man ett kvadraten på ett binom (ett parentesuttryck upphöjt till två) som man tar roten ur.
Det blir inga imaginära tal eller komplexa rötter i detta avsnitt.
Exempel |
---|
Kvadratterm och binom
Kvadratterm:
Binom
|
Dubbelrot
Exempel |
---|
|
Nollproduktsmetoden
Om andragradsekvationen innehåller både kvadratterm och x-term men saknar konstantterm kan man bryta ut x och faktorisera. Om en produkt är lika med noll betyder det att någon av faktorerna är lika med noll.
Exempel |
---|
Nollproduktsmetoden
|
Nollproduktsmetoden ger rötter som är olika.
Ekvationen saknar reella rötter
Vissa andragradsekvationen saknar reella rötter (men det finns rötter som består av komplexa tal).
Exempel |
---|
Ickereella rötter
Det komplexa talet [math]\displaystyle{ \sqrt{-4} }[/math] skrivs [math]\displaystyle{ 2 i }[/math] |
Fullständiga andragradsekvationer
pq-formeln - Förklaring
En generell beskrivning av en andragradsekvation ser ut så här:
- [math]\displaystyle{ x^2 + px + q = 0 }[/math]
där p och q är tal (siffror) i den speciella ekvationen.
Den allmänna ekvationen har lösningen:
- [math]\displaystyle{ x=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p}{2}^2-q} }[/math]
Om du vill lösa en ekvation behöver du bara ta reda på vad p och q motsvaras av i din ekvation och sedan sätter du in dessa siffror i formeln ovan.
Tänk på att det inte ska stå någor framför [math]\displaystyle{ x^2 }[/math]-termen
pq-formeln - Exempel
Exempel |
---|
pq-formeln på standardandragradsekvation
|
Exempel |
---|
pq-formeln på knepigare ragradsekvation
|
Härledning av pq-formeln genom kvadratkomplettering
Man kan börja med kvadratkomplettering som en inledande förklaring till pq-formeln men det är lika bra att ge sig på pq-formeln direkt. Sedan kan man gå tillbaks till kvadratkompletteringen för att få ett bevis för att pq-formeln fungerar.
The last editor of this page did not have the right to Embed PDFs into pages.
Faktorisering för att lösa andragradsekvationer
Exempel |
---|
Lös ekvationen
Hitta faktorerna
Rötterna ges av nollproduktmetoden
|
Aktivitet
Hur det började
Den här behöver man fundera på en stund.
GGB-bok
Bläddra igenom den här GeoGebraboken och få en överblick över hur andragradsekvationer fungerar
Kan du kvadratkomplettera?
Uppgift |
---|
Lös följande andragradsekvation genom kvadratkomplettering
|
Lös andragradsekvationer på Khan academy:
Matematikdueller
Uppgift |
---|
Matematikduellernas uppgifter är hemliga
![]() Men så här går de till:
|
Sorteringsövningar och val av metod
- En Sorteringsövning Klicka och dra!
- Och en fin övning med facit: andragradsekvationer alla metoder av Svetlana och Anders.
- Faktorisera andragradsekvationer (nollpunktsmetoden). Här är det givet att du ska faktorisera men du får öva dig på hur.
Förstå rötterna grafiskt
Hela konnstruktionen finns här (med frågor och diskussioner).
Lär mer
|
|
|
- Repetition inför prov Algebra Ma2C
- Facit och bedömning: Christers bedömningsmall från mellandagen bör finnas här. Lösningen är till Prov 1 ver 4 (2013). Lägg på SlideShare.
- Diagnos 2 med pq-formeln
rs-formeln
rs-formeln är en variant av pq-formeln:
- [math]\displaystyle{ x^2 = rx + s }[/math]
ger
- [math]\displaystyle{ x = \frac{r}{2} \pm \sqrt{(\frac{r}{2})^2+s} }[/math]
(Färre minustecken.)
Kan du förklara hur rs-formeln funkar?
Dataövning
Lär dig begreppen på engelska
Genom att se PowerPointen till höger blir du bättre på att lösa andragradsekvationer genom faktorisering.
Rs solving graphingquadraticequation
Se två filmer med Michael Bondestam