Andragradsekvationer
Teori
Enkla andragradsekvationer
Av Daniel Barker.
Även nu har vi att göra med andragradsekvationer som är enkla fall av den fullständiga ekvationen.
Antingen förkortas x-termerna bort så att man får kvadrattermer kvar att ta roten ur
eller
så har man ett kvadraten på ett binom (ett parentesuttryck upphöjt till två) som man tar roten ur.
Det blir inga imaginära tal eller komplexa rötter i detta avsnitt.
| Exempel |
|---|
| Kvadratterm och binom
Kvadratterm:
Binom
|
Dubbelrot
| Exempel |
|---|
|
Nollproduktsmetoden
Om andragradsekvationen innehåller både kvadratterm och x-term men saknar konstantterm kan man bryta ut x och faktorisera. Om en produkt är lika med noll betyder det att någon av faktorerna är lika med noll.
| Exempel |
|---|
Nollproduktsmetoden
|
Nollproduktsmetoden ger rötter som är olika.
Ekvationen saknar reella rötter
Vissa andragradsekvationen saknar reella rötter (men det finns rötter som består av komplexa tal).
| Exempel |
|---|
Ickereella rötter
Det komplexa talet [math]\displaystyle{ \sqrt{-4} }[/math] skrivs [math]\displaystyle{ 2 i }[/math] |
Fullständiga andragradsekvationer
pq-formeln - Förklaring
En generell beskrivning av en andragradsekvation ser ut så här:
- [math]\displaystyle{ x^2 + px + q = 0 }[/math]
där p och q är tal (siffror) i den speciella ekvationen.
Den allmänna ekvationen har lösningen:
- [math]\displaystyle{ x=-p/2 \pm \sqrt{(p/2)^2-q} }[/math]
Om du vill lösa en ekvation behöver du bara ta reda på vad p och q motsvaras av i din ekvation och sedan sätter du in dessa siffror i formeln ovan.
Tänk på att det inte ska stå någor framför [math]\displaystyle{ x^2 }[/math]-termen
Härledning av pq-formeln genom kvadratkomplettering
Man kan börja med kvadratkomplettering som en inledande förklaring till pq-formeln men det är lika bra att ge sig på pq-formeln direkt. Sedan kan man gå tillbaks till kvadratkompletteringen för att få ett bevis för att pq-formeln fungerar.
Aktivitet
Hur det började
Den här behöver man fundera på en stund.
GGB-bok
Bläddra igenom den här GeoGebraboken och få en överblick över hur andragradsekvationer fungerar
kan du kvadratkomplettera?
| Uppgift |
|---|
| Lös en andragradsekvation genom kvadratkomplettering'
|
Uppgift:
Dataövning
Lär mer
|
|
|
|
|
|
.svg)
- Repetition inför prov Algebra Ma2C
- Facit och bedömning: Christers bedömningsmall från mellandagen bör finnas här. Lösningen är till Prov 1 ver 4 (2013). Lägg på SlideShare.
- Diagnos 2 med pq-formeln
Se två filmer med Michael Bondestam