Normalfördelning

Teori

GeoGebra visualisering

GeoGebra för beräkning av normalfördelningar

Exempel

Python

Aktivitet

Lär mer

[redigera]

Vid mätning av många fenomen i naturen och i samhället visar det sig att observationsvärdena tenderar att följa ett visst mönster - en normalfördelning. Det kan röra sig om till exempel längden på vuxna människor, vikten på nyfödda barn, mängden nederbörd som fallit under ett dygn, etc. Observationsvärdena tenderar att huvudsakligen ligga i närheten av värdenas medelvärde, med desto färre observationsvärden som återfinns ju längre från medelvärdet man kommer. Dessa fenomen kan beskrivas med hjälp av en normalfördelningskurva, som kan förväntas se ut ungefär som i figuren nedan när vi har tillräckligt många observationsvärden:

Definition

Normalfördelningen

Normalfördelningen för olika värden på μ och σ²

Definition
Normalfördelningen Normalfördelningen har täthetsfunktionen [math]\displaystyle{ f(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{-{(x-\mu )^2 \over 2\sigma^2}} }[/math], där μ och σ är normalfördelningens karakteristiska konstanter: μ är väntevärdet och σ är standardavvikelsen för fördelningen. Denna normalfördelning betecknas med [math]\displaystyle{ N(\mu,\sigma)\, }[/math].

Normalfördelningen (ibland Gaussfördelning eller Gausskurva) är en viktig fördelning inom sannolikhetsteori och statistik. En normalfördelad variabel antar ofta värden som ligger nära medelvärdet och mycket sällan värden som har en stor avvikelse. Därför påminner normalfördelningen om en kulle eller en klocka och i engelskan används ofta beteckningen bell curve.

Normalfördelningens betydelse framgår av den centrala gränsvärdessatsen enligt vilken summan av ett stort antal oberoende slumpmässiga variabler är approximativt normalfördelad under vissa allmänna förutsättningar oavsett vilken fördelning dessa variabler hade från början. Normalfördelningen är därför betydelsefull för beskrivningar av företeelser i naturen och i samhällen då många skeenden kan beskrivas med stor noggrannhet av normalfördelningen.

Arean under normalfördelningens kurva är 1, eftersom det är en sannolikhetsfördelning.

En standardiserad normalfördelning har μ = 0 och σ = 1.

Hur använder man normalfördelningen?

I figuren ser du en normalfördelning med standardavvikelser (σ) kring medelvärdet (μ). Medlevärdet är 0 i figuren.

Värdena inom en standardavvikelse upp eller ner från medelvärdet utgör 34.1 %

Drygt 68% är inom en standardavvikelse från medelvärdet * Drygt 95% är inom två standardavvikelser från medelvärdet * Drygt 99,7% är inom tre standardavvikelser från medelvärdet.

[redigera]

Hur ändras normalfördelningens graf om du drar i glidarna?

[redigera]

Så här ser normalfördelningskurvan ut om man skriver in den i GeoGebra. Det finns alltså en färdig funktion så du behöver bara mata in medlevärdet och standardavvikelsen. Testa först med [math]\displaystyle{ \mu = 0 }[/math] och [math]\displaystyle{ s = 1 }[/math]

Exempel på inmatning i GeoGebra

Om du vill se en graf

Skriv: [math]\displaystyle{ Normalfördelning( \lt Medelvärde\gt , \lt Standardavvikelse\gt , x, \lt true | false (kumulativ eller ej)\gt |) }[/math]

Ger med (0,1,x, false): [math]\displaystyle{ g(x)=Normalfördelning(0,1,x,false) }[/math]

Om du vill veta andelen som ligger under ett visst värde

Skriv: [math]\displaystyle{ Normalfördelning( \lt Medelvärde\gt , \lt Standardavvikelse\gt , \lt Variabelvärde\gt ) }[/math]

Exempelvis: [math]\displaystyle{ Normalfördelning( 2.9,0.3,2.7) }[/math] om normalförelningen har medelvärdet 2.9 och standardavvikelesen 0.3 och du vill veta andelen som ligger under 2.7, vilket i detta fall är 0.252, dvs 25.2 %.

[redigera]

[redigera]

Kast med två tärningar

Gör den här uppgiften!

Klipp in data i GeoGebra Classic spreadsheet.

Klicka på envariabelanalys.

Hur ser kurvan ut, verkar det normalfördelat?

Du kan kanske använda min GGB-konstruktion och klippa in dina värden i kalkylbladet.

Gör ett eget program

Uppgift

Singla slant i datorn Om en slant singlas 100 gånger kommer antalet kronor att vara binomialfördelat. Men eftersom varje slantsingling är oberoende av de övriga kommer summan att vara ungefär normalfördelad med väntevärdet 50. Ofta är det mycket enklare att approximera en slumpmässig variabel med en normalfördelning än att beräkna enskilda sannolikheter och då många slumpmässiga fenomen är summor av många små slumpmässiga tillskott fungerar det vanligtvis väl. Historiskt sett var möjligheten att approximera stora binomialfördelningar det första tillämpningsområdet för normalfördelningen. Wikipedia skriver om Normalfördelning Gör ett eget program som simulerar 100 slantsinglingar upprepade gånger. Undersök i GeoGebra om det är normalfördelat.

Exempelkod

import random

num = int(input('Hur många 100-kast vill du ha? '))

for k in range(num):
    krona = 0
    for m in range(100):
        if random.randint(1, 2) == 1:
            krona = krona + 1
    print(krona , ",")

Snyggare exempel

import random
num = int(input('Hur många 100-kast vill du ha? '))
list = []
for k in range(num):
    krona = 0
    for m in range(100):
        if random.randint(1, 2) == 1:
            krona += 1
    list.append(krona)
print(list)
print(sum(list)/num)

[redigera]

Mät hand span

Uppgift

Alla mäter avståndeet från tumme till lillfinger I den här laborationen ska vi mäta hur brett grepp vi kan ta om vi skulle spela piano. En i taget kommer fram till linjalen och spänner ut tummen och alla fingrar så vi kan mäta det största avståndet. Någon antecknar på tavlan. Skriv av värdena i en lista i GeoGebra /standard grafläge. L = {17,19, ....,21} Skapa en glidare som går från 1 - 200 Kolla inställningarna så att ditt språk är svenska. Beräkna medelvärdet för listan Beräkna standardavvikelsen. Skapa ett stapeldiagram och Zooma in det. a=Stapeldiagram(L,0.5,1) Rita normalfördelningens graf med angivandet av medelvärdet och standardavvikelsen du fick fram tidigare. f(x)=k*Normalfördelning(20,2,x,false) Dra upp kurvan med glidaren för k. Hur tycker du det stämmer. Är fingeravståndet normalfördelat? Inspiration: Bakgrunden till den här aktiviteten läser du om här: Introducing normal distribution part 1 Vägledning: Min GGB.

Skapa värden i Excel

Övning i att generera egna värden i Excel.

Använd denna fil till att generera slumptal.

Excel genererar två slumptal mellan 1-6. Sedan adderas de. Dessa värden ska du undersöka fördelningen av.

1. Plocka in dem i GGB för att göra ett histogram.
2. Är de normalfördelade?

Hur många värden behöver du för att det ska se bra ut jämfört med normalförelningskurvan?

Testa även att generera slumptal i GGB.

[redigera]

En GeoGebra Book

Länk till övningari skapade i GeoGebra

Övning

här kan du läsa om normalfördelningen och testa hur den uppför sig i Geogebra

Utmanande övningsuppgift

Uppgift

Normal distribution Testa dessa data i GGB Classic: 85, 87, 150, 100, 100, 90, 70, 72, 75, 70, 85, 143, 100, 121, 92, 66, 70, 69, 75, 80, 140, 92, 130, 83, 70, 68, 67, 75, 83, 149, 95, 130, 80, 68, 85, 75, 73, 78, 140, 90, 124, 86, 69, 70, 75, 77, 110, 165, 110, 150, 110, 115, 80, 75, 75, 98, 172, 110, 145, 110, 95, 52, 80, 96, 110, 168, 110, 145, 110, 80,80, 75, 89, 95, 170, 110, 145, 120, 89, 72, 79, 75, 95, 220, 100, 149, 100, 110,80, 85, 80, 90, 165, 103, 135, 95, 77, 76, 85, 80, 88, 155, 103, 120, 85, 79, 78, 82, 75, 85, 150, 103, 135, 90, 75, 85, 78, 75, 88, 150, 95, 130, 90, 70, 76, 89, 82, 95, 145, 100, 133, 90, 77, 89, 79, 80, 90, 165, 103, 135, 95, 77, 86, 80, 85, 100, 160, 120, 140, 100, 90, 79, 92, 70, 100, 165, 120, 140, 100, 120, 86, 71, 95, 100, 155, 120, 139, 100, 89, 86, 78, 78, 110, 158, 122, 145, 108, 95, 95, 78 Är de normalfördelade?

Intressant och lärorik överkursuppgift

Läs artikeln och lär dig hur man skapar svg i gnuplot:

Pascals triangel

Kolla Wikipedia och fundera över vad detta har med normalfördelningen att göra.

Normalfördelning med histogram

En binomialfördelning.

https://www.geogebra.org/m/chyJZTtS

Talet e

• e = 2,71828183

Spjutkast

En ambitiöst omfattande och lärorik GeoGebra:

Exit ticket