Derivatan för en funktion: Skillnad mellan sidversioner

Versionen från 16 oktober 2018 kl. 17.54

[redigera]

Introduktion till derivatan

Mål för undervisningen

Nu är det dags att förklara vad derivatan är:

funktionens (grafens) lutning i en punkt
sätt att beskriva hur grafen för en funktion förändras
sätt att hitta extrempunkter

Utgångspunkt

Vi har lärt oss derviera funktioner och få fram förändringen.

Vi har sett tangents funktion att vis lutningen, d v s förändringen.

Nu ska vi förena dessa två genom en definition av derivatan vilken vi senare kan använda för att bevisa de deriverngsregler vi redan sett i formelsamlingen.

Begrepp

Man kan skriva derivatan på flera sätt

Derivatan av $f (x)$ skrivs $f^{'} (x)$
Derivatan av $y (x)$ skrivs $y^{'} (x)$
Ibladn ser man exempelvis D 3x² = 6x

Vi kommer använda begreppen sekant, tangent, ändringskvot och gränsvärde.

Derivatan är lutningen

Definition

Tangenten visar grafens lutning i den punkten

Tangentens lutning är samma som kurvans lutning i denna punkt och visar funktionens förändring i punkten.

Tangentens lutningen i punkten där $x = a$ skrivs:

k = lim_{x \to a} \frac{f (x) - f (a)}{x - a}

Detta är derivatan i punkten $(a, f (a))$

Blomkrukan

Skapa en Geogebra för funktionen $s (t) = 5 t^{2} .$ I GeoGebra behöver du dock använda x i stället för t som variabel.

Deet kan se ut så här:

Derivatan är lutningen i en punkt

Om du ska räkna ut lutningen i en punkt får du problem. $k = \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{0}{0}$ och det går ju inte. Här behövs formell matematik.

Nu utgår vi från en punkt $(x, f (x))$ och så kallar vid punktensom närmar sig för $(x + h, f (x + h))$ . När $h$ krymper kommer den andra punkten att närma sig den första. Man säger att h går mot noll och det skrivs

lim_{h \to 0}

Detta kan sammanfattas på matematisk form och kallas derivata.

Definition

Derivatan av funktionen $f$ i punkten $x_{0}$ definieras som gränsvärdet

f^{'} (x_{0}) = lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h}

Med denna form för att skriv derivatans definition kan man sätta in polynom och andra funktioner i definitionen, förenkla det rationella uttrycket och förkorta bort h i nämnare så att det går att beräkna gränsvärdet. Mer om hur det går till ser du under nästa flik - Exempel.

[redigera]

Viktigt

Begrepp

Tänk dig en fix punkt på en kurva och en rörlig punkt med koordinaterna. Linjen genom de två punkterna har lutningen:

k = \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{f (x) - f (3)}{x - 3}

Låt sedan $x$ minska så att $x$ närmar sig 3. Då kommer linjen att tangera kurvan i punkten $(x, f (x))$ . Den linjen kallas för tangent.

Tangentens lutningen i punkten där $x = 3$ skrivs:

k = lim_{x \to 3} \frac{f (x) - f (3)}{x - 3}

Exempel 1

Använd derivatans definition.

Bestäm tangentens k-värde i punkten där x = 2 om f(x) = 3 x^2.

Exempel 2

Använd derivatans definition för att bestämma f'(4) om f(x) = 3 x + 5.

@@ Rad 106: / Rad 106: @@
 = GeoGebraförklaring =
-== Geometrisk tolkning ==
-[[Fil:Derivata.svg|miniatyr|260 px|Derivatan är tangentens lutning i ''(x, f(x))'']]
-Om en funktion ''f'' åskådliggörs av en graf ''y'' = ''f''(''x'') så anger derivatan av ''f'' grafens lutning (förändring av ''y'' per förändring av ''x'') för varje värde ''x''. Derivatan i en punkt är således lika med riktningskoefficienten för kurvans tangent i den valda punkten (''x'', ''f''(''x'')).
-<br>
-{{khanruta|
-* [http://www.khanacademy.org/exercise/derivative_intuition Jättebra intuitiv förståelse av hur derivatans graf ser ut]
-* [http://www.khanacademy.org/exercise/derivatives_1 Öva derviering 1 på Khan]}}
-{{clear}}
 = Aktivitet =

Derivatan för en funktion: Skillnad mellan sidversioner

Versionen från 16 oktober 2018 kl. 17.54

Innehåll

Introduktion till derivatan

Utgångspunkt

Begrepp

Derivatan är lutningen

Blomkrukan

Derivatan är lutningen i en punkt

Exempel 1

Exempel 2

Derivatans definition med glidare

Laborera med sekanten och derivatan

Pythonprogrammering

Gissa derivatans utseende

Andra varianter på derivatans definition

Navigeringsmeny

Derivatan för en funktion: Skillnad mellan sidversioner

Versionen från 16 oktober 2018 kl. 17.54

Introduktion till derivatan

Utgångspunkt

Begrepp

Derivatan är lutningen

Blomkrukan

Derivatan är lutningen i en punkt

Navigeringsmeny

Sök