Introduktion till derivatan med problemlösning

Teori - Problemlösning med derivata

Teori - Deriveringsregler

Exempel

Uppgifter

Lär mer

[redigera]

Extremvärdesproblem

Tänk dig att du har ett problem som kan beskrivas med en funktion. Det är en modell där en variabel ger olika värden för funktionen. Du är intresserad av att optimera så att du hittar det värde på variabeln som ger största eller minsta värdet för funktionen. Detta är ett så kallat extremvärdesproblem. Det kallas också min- maxproblem.

Det du gör är att derivera funktionen och sätta derivatan = 0.

Sedan löser du ekvationen och får det värde som ger störst eller minst värde för ursprungsfunktionen.

Exempel: Varför vinner kvadraten?

Ett klassiskt problem är detta.

Tänk dig att du har ett staket som är 100 m långt och du ska hägna in ett så stort område som möjligt. Du får välja mellan olika breda rektanglar och en kvadrat.

Kalla rektangelns ena sida x. Eftersom omkretsen är 100 m är den andra sidans längd = 50 - x.

Arean är: A(x) = x (50 - x) = 50 x - x^2

A'(x) = 50 - 2x

Derivatan = 0 ger x = 25

[redigera]

Varför inte börja med de enkla deriveringsreglerna. Det är enkelt och gör att vi snabbt kan göra något nyttigt.

Olika sätt att beteckna derivata

Man kan skriva på lite olika sätt för att beteckna derivatan.

Derivatan av funktionen [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] skrivs [math]\displaystyle{ f^\prime(x) }[/math]

man kan även skriva [math]\displaystyle{ D f(x) }[/math], [math]\displaystyle{ y' }[/math] eller [math]\displaystyle{ \frac{dy}{dx} }[/math]

En funktions andraderivata skrivs [math]\displaystyle{ f''(x) }[/math] och innebär att man deriverat två gånger d v s derivatan av derivatan.

Deriveringsregler:

Polynom

Derivatan av funktionen [math]\displaystyle{ f(x) = 1 }[/math] är funktionen [math]\displaystyle{ f^\prime(x) = 0 }[/math].

Derivatan av funktionen [math]\displaystyle{ f(x) = x\, }[/math] är funktionen [math]\displaystyle{ f^\prime(x) = 1 }[/math].

Derivatan av funktionen [math]\displaystyle{ f(x) = x^2, }[/math] är funktionen [math]\displaystyle{ f^\prime(x) = 2x }[/math].

Derivatan av funktionen [math]\displaystyle{ f(x) = x^3, }[/math] är funktionen [math]\displaystyle{ f^\prime(x) = 3x^2 }[/math].

Det kan generaliseras till att funktionen [math]\displaystyle{ f(x) = x^n }[/math] har derivatan [math]\displaystyle{ (f^\prime(x) = n \cdot x^{n-1} }[/math].

Andra funktioner

Derivatan av [math]\displaystyle{ e^{kx} }[/math] är [math]\displaystyle{ ke^{kx} }[/math].

Derivatan av [math]\displaystyle{ a^x\, }[/math] är [math]\displaystyle{ a^x \ln(a) }[/math]

Derivatan av [math]\displaystyle{ \ln(x) }[/math] är [math]\displaystyle{ \frac{1}{x} }[/math]

Derivatan av [math]\displaystyle{ \sin(x) }[/math] = [math]\displaystyle{ \cos(x) }[/math]

Derivatan av [math]\displaystyle{ \cos(x) }[/math] = [math]\displaystyle{ -\sin(x) }[/math]

Additionsregeln

Derivatan av en summa av två funktioner som båda är deriverbara:

[math]\displaystyle{ (f + g)^\prime = f^\prime + g^\prime. }[/math]

Exempelvis:

[math]\displaystyle{ (x^3 + x)^\prime = (x^3)^\prime + (x)^\prime = 3 x^2 + 1 }[/math]

Linjäritet

En konstant (c) kan flyttas ut ur deriveringen:

[math]\displaystyle{ (c \cdot f)^\prime = c \cdot f^\prime. }[/math]

Exempel:

[math]\displaystyle{ (7 \cdot x^2)^\prime = 7 \cdot (x^2)^\prime = 7 \cdot 2x = 14 x }[/math]

Produktregeln

Produkten av två deriverbara funktioner är deriverbar, och derivatan ges av följande formel.

[math]\displaystyle{ (f \cdot g)^\prime = f^\prime \cdot g + g ^\prime \cdot f. }[/math]

Kvotregeln

Derivatan av kvoten [math]\displaystyle{ \frac{f}{g} }[/math] ges av följande funktion:

[math]\displaystyle{ \frac{f^\prime \cdot g - g^\prime \cdot f}{g^2} }[/math]

Derivata av sammansatt funktion (kedjeregeln)

En sammansatt funktion f(g(x)) är en funktion f(x) som har en annan funktion g(x) som sitt argument, istället för en variabel som x. Detta kan även skrivas [math]\displaystyle{ (f \circ g)(x) }[/math] för att förtydliga att g inte är en variabel utan själv är en funktion av variabeln x. Derivatan av en sammansatt funktion går under namnet kedjeregeln:

[math]\displaystyle{ (f(g))^\prime = f^\prime(g)\cdot g^\prime. }[/math]

[redigera]

Funktionens max

Exempel

Funktionens maxvärde När har funktionen [math]\displaystyle{ f(x) = - x^2 + 2 x + 1 }[/math] sitt största värde. Ett sätt är att rita grafen för funktionen. Du ser det till höger. Ett smidigt sätt är att derivera funktionen. [math]\displaystyle{ f'(x) = - 2 x + 2 }[/math] Lös ekvationen som du får genom att sätta derivatan lika med noll. [math]\displaystyle{ - 2 x + 2 = 0 }[/math] [math]\displaystyle{ ~~~~~~~~ x = 1 }[/math] x-värdet stämmer med grafen till höger.

[redigera]

Maximera hagens area om den står mot en vägg

Uppgift
Nu har vi 70 m staket men denna gång bygger vi hagen mot en ladugårdsvägg. Tre sidor staket och en vägg. Ladan är 35 meter lång. Vilka mått har den största möjliga hagen?

Derivera polynomfunktioner

Facit: (klicka expandera till höger)

Fler problem med derivatan av polynom

Uppgift

Lös dessa problem: 1) [math]\displaystyle{ f(x) = 2x^3 +7 x^2 + 3x +7 }[/math]. Bestäm [math]\displaystyle{ f'(0) }[/math] och [math]\displaystyle{ f'(-2) }[/math] 2) En elbil åker en sträcka s(t), där t är tiden. Bilfärden kan beskrivas med formeln: [math]\displaystyle{ s(t) = 5 t + 3 t^2 }[/math] Beräkna och förklara vad det är: a) [math]\displaystyle{ s(3) }[/math] b) [math]\displaystyle{ s'(3) }[/math] c) lösningen till [math]\displaystyle{ s'(t) = 29 }[/math] d) Vad tror du att det är för bil? 3) Bakterier förökar sig enligt formeln: [math]\displaystyle{ N(t) = 3200 + 3 t^2 }[/math] där N(t) är antalet bakterier vid tiden t. Bestäm tillväxthastigheten vid [math]\displaystyle{ t= 4 }[/math] och beskriv i ord vad det betyder. 4) En boll kastas upp i luften från en balkong tolv meter högt upp i ett hus. Bollens höjd över marknivån kan beskrivas med formeln: [math]\displaystyle{ y = 12 + 3 t - 5 t^2 }[/math] där t är tiden i sekunder. a) Bestäm bollens hastighet efter 0.7 s. b) När är bollen som högst? c) Hur högt upp är bollen innan den vänder nedåt? d) Hur hög hastighet har bollen just innan den slår i marken?

Derivera olika funktioner

Titta i formelsamlingen eller på teorisidan.

Uppgift
Derivera följande funktioner: [math]\displaystyle{ f(x) = sin(x) }[/math] [math]\displaystyle{ f(x) = e^{3x} }[/math] [math]\displaystyle{ f(x) = \ln(x) + 2x^7 }[/math]

[redigera]

Läs om en av upphovsmännen tillderivatan

En text om Leibniz