Trigonometri Ma1c: Skillnad mellan sidversioner

Versionen från 9 oktober 2018 kl. 19.35

Mål för undervisningen Trigonometri

Du kommer att lära dig om algebraiska uttryck.

trigonometri i rätvinkliga trianglar, av Åke Dahllöf.

Intro

Rhind-papyrusen hittades i Luxor, Egypten, och är från cirka 1550 BC. Den innehåller matematiska samband och problem. En övningsuppgift därifrån är:

If a pyramid is 250 cubits high and the side of its base 360 cubits long, what is its seked?"

Vi ska alltså beräkna sidans lutning.

För oss går det bra med hjälp av trigonometri men för egyptierna var det svårare. Eftersom det var svårt att mäta vinklar noggrannt vid den här tiden kan man mycket väl tänka sig att vinklar istället uttrycktes som kvoter av eller förhållanden mellan sträckor. Exempelvis kan man uttrycka vinkeln för pyramidsidans lutning som pyramidens sekedvilket är kvoten mellan pyramidens höjd och (halva) baslängd.

Trigonometri grundläggande

Definition

Tre trigonometriska funktioner

[math]\displaystyle{ \sin v \, {{=}} \frac{motstående \, katet}{hypotenusan} \\ }[/math]

[math]\displaystyle{ \cos v \, {{=}} \frac{närliggande \, katet }{hypotenusan} \\ }[/math]

[math]\displaystyle{ \tan v \, {{=}} \frac{motstående \, katet }{ närliggande \, karet} \\ }[/math]

Glosor

Motstående katet
Närliggande karet
Hyptenusa
Rätvinklig triangel'

Digitalt

Grader och radianer
Miniräknare eller dator
Datorns räknare
Excel - så här kan det se ut

Den rätvinkliga triangeln

En rätvinklig triangel med hypotenusan c och katetrarna a och b.

En rätvinklig triangel är en triangel där en av vinklarna är 90 grader. Sidan som är motsatt den räta vinkeln kallas hypotenusa och de två övriga sidorna kallas katetrar.

Om ytterligare en vinkel är känd i en rätvinklig triangel är även den tredje vinkeln känd då en triangels vinkelsumma är 180 grader. Trianglar som har samma uppsättning av vinklar är likformighet|likformiga. Detta innebär att om man känner till en vinkel i en rätvinklig triangel är även kvoten mellan sidorna känd. Dessa kvoter ges av de trigonometriska funktionerna för en vinkel A, där a, b och c syftar på sidorna i triangeln i bilden till höger enligt:

Sinusfunktionens värde för en vinkel är kvoten mellan motsatta sidan till vinkeln och hypotenusan:

[math]\displaystyle{ \sin A = \frac{a}{c} }[/math]

Cosinusfunktionens värde för en vinkel är kvoten mellan närliggande sidan till vinkeln och hypotenusan:

[math]\displaystyle{ \cos A = \frac{b}{c} }[/math]

Tangensfunktionens värde för en vinkel är kvoten mellan motstående och närliggande sidas längd:

[math]\displaystyle{ \tan A = \frac{a}{b} = \frac{\sin A}{\cos A} }[/math]

Med dessa funktioner är det möjligt att (givet exempelvis en sida och en vinkel) bestämma alla sidor och vinklar i en rätvinklig triangel.

Texten i ovanstående avsnitt kommer från Wikipedia.se

Ta reda på vinkeln om du vet två sträckor

Om y = roten ur x så är 'y² = x. Dessa två hänger ihop och den ena kan ses som den omvända av den andre. Detta kallas inversen, den inversa funktionen.

På samma sätt som det finns en invers funktion till kvadraten på ett tal, nämligen roten ur så finns det en invers funktion till sinus och cosinus.

[math]\displaystyle{ Om ^sin ~v = a/h ~då~ är~ v = arcsin(a/h) }[/math] eller sin^-1(a/h)

Om cos v = b/h då är v = arccos(b/h) eller cos^-1(b/h)
och på samma sätt för tangens

Viktigt

När använder man inversa trigonometriska funktioner?

Om du känner två sidor samt söker vinkeln använder du arcsin, arccos eller arctan.

Om du känner en sida och en vinkel samt söker en annan sida använder du sinus, cosinus eller tangens.

[redigera]

Uppgift

De trigonometriska funktionerna i en rätvinklig triangel

Dra i punkterna för att ändra vinkeln respektive storleken och se vad som händer med värdena för de trigonometriska funktionerna.

Undersök även hur triangelns sillängder ändras i förhållande till varandra och vinkeln.

Formulera några slutsatser för dig själv och diskutera med en kamrat.

[redigera]

Vi hämtar uppgifter från Diagnos sex finns här och Diagnos 7 finns här och gör cirkaövningar eller gruppövningar:

Metod

Cirkelövningar
Lämna vidare
Grupplösningr med muntlig redovisning
EPA
Spela in en film

[redigera]

Programmeringsuppgift

Python-hjälp - Fler exempel

Mål för undervisningen Kom igång med programmering i matematiken.

Målet är att du ska köra ett enkelt program för att utföra matematiska beräkningar.

Du kan kopiera delar av koden och göra förbättringar.

Målet är inte att du ska lära dig programmering på matematiklektionen men det är oundvikligt att du ändå lär dig lite Python-kod.

Definition

Radianer

En vinkels mått i radianer är definierad som den sträcka utmed enhetscirkelns rand som spänns upp av vinkeln. Då enhetscirkeln har radien 1 blir dess omkrets 2π. Ett varv, 360 grader, motsvarar alltså 2π rad. Annorlunda uttryckt, 1 rad ≈ 57,296 grader.

Wikipedia skriver om Radian

Använd de trigonometriska funktionerna

Det här kodexemplet passar till avsnittet om Geometri på Ma1c.

Koden

import math 

# Här frågar vi efter en vinkel i grader
vinkel = int(input("Ange ett tal "))

# Vi konvereterar från grader till radianer
x = math.radians(vinkel)

# Skriv ut vad sinus för vinkeln är. Vinkeln anges i radianer
print("Sinus ", vinkel, "är ",math.sin(x))

Mer info

Dokumentation math

Uppgift

Uppgift
Testa fler trigonometriska funktioner Testa att beräkna cosinus och tangens med ditt program Undersök (fundera) om det finns några vinklar som inte fungerar. Åtgärda det problemet på lämpligt sätt i ditt program.

[redigera]

Swayen till detta avsnitt: Trigonometri

läromedel: Trigonometri

Läs om Trigonometri

Öva själv

Interaktiva övningar

Öva på Khan:

trigonometry 2.0 - den rätvinkliga triangeln

Läs mer om trigonometri

Läs mer om sinus på Wikipedia.
Engelska Wikipedia är ännu bättre på sinus.
http://www.walter-fendt.de/m14e/sincostan_e.htm Walter Fendt om trigonometri
Detta svar får du om du skriver in sine på Wolfram Alpha
Triangulering för att mäta avstånd till stjärnor. Fysik 2.

Praktisk nytta av vinklar och trigonmetri

Men vad är sinus?

Trigonometry from - en Slideshare-presentation av Madhavi Mahajan -->

Nu förstår vi hur man räknar med trigonometrin och vad man har det till. Men vad är det?

titta på dessa länkar mm.

History of Trigonometry

Quora - Who discovered sin cos tan functions and how and what are they exactly?

Quora - /Who invented trigonometry?

Exit ticket

Exit ticket: Trigonometri

@@ Rad 82: / Rad 82: @@
 {{viktigt| '''När använder man inversa trigonometriska funktioner?'''
-Om du '''känner två sidor men söker vinkeln''' använder du arcsin, arccos eller arctan.
+Om du '''känner två sidor samt söker vinkeln''' använder du arcsin, arccos eller arctan.
-Om du '''känner en sida och en vinkel''' använder du sinus, cosinus eller tangens.
+Om du '''känner en sida och en vinkel samt söker en annan sida''' använder du sinus, cosinus eller tangens.
 }}

Trigonometri Ma1c: Skillnad mellan sidversioner

Versionen från 9 oktober 2018 kl. 19.35

Innehåll

Intro