Rationella uttryck

Teori

Förenklingar av rationella uttryck med hjälp av konjugat- och kvadreringsreglerna

Du har tidigare gjort enkla förenklingar av rationella uttryck. Nu ska vi använda konjugat- och kvadreringsreglerna när vi förenklar.

Exempel
Förenkla uttrycket [math]\displaystyle{ \frac{x^2-16}{x-4} }[/math] Använd konjugatregeln baklänges [math]\displaystyle{ \frac{(x-4)(x+4)}{x-4} }[/math] Förkorta [math]\displaystyle{ x-4 }[/math]

Om det är fel ordning på termerna i en faktor kan man bryta ut minus ett

Load video

YouTube

YouTube might collect personal data. Privacy Policy

ContinueDismiss

förenklingar genom att bryta ut -1, av Åke Dahllöf

Definition
Bryt ut -1 för att byta ordning på termerna [math]\displaystyle{ a - b = -1 (-a + b) = - (-a + b) = - (b - a) }[/math]

Här kommer ett lite svårare exempel.

Exempel
Förenkla uttrycket [math]\displaystyle{ \frac{-x^2 - x + 6)}{x-2} }[/math] [math]\displaystyle{ \frac{(x+3) (2-x)}{x-2} }[/math] [math]\displaystyle{ \frac{ - (x+3) (x - 2)}{x-2} }[/math] [math]\displaystyle{ x+ 3 }[/math]

Förkorta rationella uttryck

Load video

YouTube

YouTube might collect personal data. Privacy Policy

ContinueDismiss

Rationella uttryck samt förkortning av rationella uttryck, av Åke Dahllöf

Definition
Kvoten mellan två polynom är ett rationellt uttryck Exempelvis [math]\displaystyle{ \frac{x^3-4}{x+1} }[/math] Det rationella uttrycket är inte definierat när nämnaren är lika med nol Exemplet ovan är odefinerat för [math]\displaystyle{ x = -1 }[/math]

För att undersöka när ett rationellt uttryck är odefierat måste man först förenkla.

Låt oss ta ett exempel

Exempel
När är uttrycket odefinierat? [math]\displaystyle{ \frac{x^2-4}{x(x+2)} }[/math] Utveckla kvadrattermen [math]\displaystyle{ \frac{(x+2)(x-2)}{x(x+2)} }[/math] Förkorta [math]\displaystyle{ \frac{(x-2)}{x} }[/math] Svar: Uttrycket är odefinerat när [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math]

En liten repetitionsuppgift hinner vi också

Den här uppgiften rundar av det förra avsnittet om faktorisering av polynom med en liten knorr.

Uppgift
Finns det två olika tal x så funktionen [math]\displaystyle{ y = x^2+x+1 }[/math] får samma funktionsvärde?”

Multiplikation och division av rationella uttryck

Load video

YouTube

YouTube might collect personal data. Privacy Policy

ContinueDismiss

Multiplikation och division av rationella uttryck, av Åke Dahllöf

Matematiken är logiskt uppbyggd. Om det fungerar på ett visst sätt i enkla sammanhang så vill man att det ska fungera på samma sätt imer avancerade sammanhang. Samma räkneregler ska gälla. Exempel: rioriteringsreglerna fungerar med tal, variabler, komplexa tal, osv.

Multiplikation av rationella uttryck fungerar alltså på samma sätt som multiplikation av bråk eftersom det rationella uttrycket är ett bråk. Visserligen ett bråk med variabler i täljaren och nämnaren men ändå ett bråk. Tur att vi har tragglat bråkräkning så mycket tidigare. Då behöver detta inte bli något problem att tala om.

Så här funkar det med tal

Kom ihåg:

Räkneregler för multiplikation av bråk

[math]\displaystyle{ (3 / 7) * (2 / 5) = (3 * 2) / (7 * 5) = 6 / 35 }[/math]

Täljarna multipliceras med varandra och nämnarna multipliceras med varandra.

Räkneregler för division av bråk'

[math]\displaystyle{ (3 / 7) / (2 / 5) = (3 * 5) / (7 * 2) = 15 / 14 }[/math]

Täljaren multipliceras med nämnarens inverterade tal dvs 5/2

Definition
Multiplikation och division av bråk Multiplikation [math]\displaystyle{ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a c}{b d} }[/math] Division [math]\displaystyle{ \frac{a}{b} / \frac{c}{d} = \frac{a} {b} \cdot \frac{d}{ c} = \frac{a d} {b c} }[/math]

Samma princip för Rationella uttryck

Ge ett eget exempel!

Addition och subtraktion av rationella uttryck

En kort sammanfattning

Load video

YouTube

YouTube might collect personal data. Privacy Policy

ContinueDismiss

Addition och subtraktion av rationella uttryck, av Åke Dahllöf

Definition
Addition av bråk [math]\displaystyle{ \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad}{bd} + \frac{bc}{bd} = \frac{ad + bc}{bd} }[/math]

Exempel med siffror

Kom ihåg: det måste vara samma nämnare när bråktal adderas och subtraheras.

3/4 + 5/9 → Vi förlänger så att båda bråken får den minsta gemensamma nämnaren.

Hitta minsta gemensamma nämnare genom att faktorisera:

4 = 2 * 2 och 9 = 3 * 3 → Mgn = 2 * 2 * 3 * 3 = 4 * 9 = 36.

Vi förlänger så att varje nämnare blir mgn: (3 * 9) / (4 * 9) + (5 * 4) / (9 * 4) = (27 / 36) + (20 / 36)

Sedan sätter vi på ett gemensamt bråkstreck: (27 + 20) / 36

Till sist förenklar vi i täljaren: 47 / 36

Och tittar sedan om det går att förenkla något: 7 * 7 / 6 * 6 . Det går inte att förenkla.

Exempel med rationella uttryck

[math]\displaystyle{ \frac{x}{x+1} - \frac{1}{x} }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{x \cdot x}{x(x+1)} - \frac{x + 1}{x(x+1)} }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{x^2 - x - 1}{x(x+1)} }[/math]

GeoGebra visar hur det ser ut i exemplet ovan

Klicka i plupparna för att visa respektive graf.

Lär mer

Testa dina kunskaper

Som vanligt ett minitest

Förenkling genom faktorisering - Wolfram Alpha

Det vi gör för hand när vi räknar i boken är nyttig träning i algebra och något du behöver kunna till exempel på nationella provet. Men ibland är problemen inte så tillrättalagda och om syftet är att lösa ett problem där förenklingen bara är ett steg på vägen så använder matematiker och ingenjörer digitala verktyg. WolframAplpha är ett av det bästa så vi passar på att träna detta inför lektionen.

Övning 1

[math]\displaystyle{ \frac{2x-4x^2}{1-2x} \ }[/math]

Den här kan du klippa in i Wolfram Alpha: (2x-4x^2)/(1-2x)

1. Vad blir svaret?
2. Hur ser grafen ut?
3. Vad har funktionen för nollställer?
4. Har den någon asymptot?
5. Räkna för hand och se att det stämmer.

Övning 2

[math]\displaystyle{ \frac{2x-5x^2}{1-2x} \ }[/math]

Den här kan du klippa in i Wolfram Alpha: (2x-5x^2)/(1-2x)

Repetition

Lektion 7 - Faktorer, rötter och nollställen

Fördjupning rationella uttryck

1. Wolfram gör polynomdivision, vad är det? Tips: Quotient and remainder:Step-by-step solution
2. Vad blir resultatet?
3. Beskriv Grafen