Exponentialekvationer: Skillnad mellan sidversioner
Hakan (diskussion | bidrag) |
Hakan (diskussion | bidrag) |
||
Rad 69: | Rad 69: | ||
== Aktivitet == | == Aktivitet == | ||
{{uppgruta|Öva tolkning och modellering | {{uppgruta|'''Öva tolkning och modellering''' | ||
[[Fil:Nationella provet ht12 - 3C.png|240px|höger]] | |||
Uppgiften från det Nationella provet ht12 i kursen Ma3c kan användaas för att öva sig i att läsa av diagram, mm. | Uppgiften från det Nationella provet ht12 i kursen Ma3c kan användaas för att öva sig i att läsa av diagram, mm. |
Versionen från 15 februari 2018 kl. 11.31
Teori
Skillnaden funktion - ekvation
Vilken är egentiligen skillnaden mellan en exponentialfunktion och en exponentialekvation?
Exponentialfunktionen har ett y-värde som korresponderar till ett x-värde. Den är kontinuerlig och definitionsmängden respektive värdemängden utgörs av de reella talen.
Om exponentialfunktionen sätts lika med ett värde eller en annan funktion får vi en exponentialekvation. Grafiskt är lösningen skärningspunkten mellan de två graferna, den för exponentialfunktionen och den för den andra funktionen (y = konstant eller vilken funktion som nu representerar högerledet i ekvationen).
Definition |
---|
|
Exponentialfunktionerna kan skrivas på flera former, exempelvis
- [math]\displaystyle{ f(x) = C \cdot e^{kx} }[/math]
- [math]\displaystyle{ f(x) = C \cdot a^{x} }[/math]
- [math]\displaystyle{ f(x) = e^{kx + a} }[/math]
Exempel |
---|
Exponentialfunktioner är en klass av matematiska funktioner som kännetecknas av att funktionsvärdets ändringstakt är proportionell mot funktionsvärdet. Exempelvis kan ränta på ränta beräknas som
där [math]\displaystyle{ r^x }[/math] är en exponentialfunktion, den årliga räntefaktorn är r (till exempel 1,10 för 10 % ränta) och x antalet år. |
Metod - Logaritmera ekvationer
Dessa och liknade ekvationer löser man genom att logaritmera båda sidorna.
Varför är det så?
Om [math]\displaystyle{ 10^{2a+3b} = 10^y }[/math] så innebär det att [math]\displaystyle{ 2a+3b = y }[/math]
Om [math]\displaystyle{ log(2a+3b) = log y }[/math] så innebär det att [math]\displaystyle{ 2a+3b = y }[/math]
Om [math]\displaystyle{ log 10^x = log 27 }[/math] så innebär det att [math]\displaystyle{ 10^x = 27 }[/math]
Om man går åt andra hållet kan man säga att om 10x = 27 så innebär det att
- [math]\displaystyle{ log 10^x = log 27 \quad }[/math] och då är ju enligt logaritmlagarna
- [math]\displaystyle{ x\cdot log 10 = log 27 \quad }[/math] och
- [math]\displaystyle{ x = log 27 }[/math]
Nu har vi hittat en metod att lösa ekvationer med exponentialfunktioner. Den kallas att logaritmera.
Exempel
Exempel |
---|
Lös ekvationen [math]\displaystyle{ 10^{2x} = 200 }[/math] Logaritmering av båda sidorna ger:
|
Aktivitet
Uppgift |
---|
Lös verkliga problem
Länken till den här sidan leder till en mängd exempel på tillämpningar av exponentialfunktionen och uppgifter som löses genom att ställa upp exponentialekvationer.
|
Laboration - Kaffe i termos
![](/images/thumb/Exponentialfunktion_vatten_svalnar_i_termos.png/600px-Exponentialfunktion_vatten_svalnar_i_termos.png)
Figuren nedan visar temperaturen hos vatten som får svalna i en termos. Mätvärdena har lagts i en lista som heter avsvalning i GeoGebra. Därefter har kommandot RegressionExp[avsvalning] använts för att anpassa en exponentiell funktion till värdena i listan.
Du ser på funktionen f(x) att basen är 0.98 (= förändringsfaktorn)
Uppgift |
---|
Ett praktiskt experiment
Skaffa en termomenter avnågot slag och brygg en het kopp kaffe. Mät temperaturen vid minst fem tidpunkter. Gör en kurvanpassning enligt ovan. Vilken exponentialfunktion får du? |
Lär mer
|
|
|
Hitta funktionen grafiskt med GeoGebra
Uppgift |
---|
Bestäm funktionen algebraiskt eller med GeoGebra
Bestäm exponentialfunktionen [math]\displaystyle{ y = C a^x }[/math] där grafen går genom punkterna (0,2) och (5,6) Algebraiskt Du behöver beräkan a och C.
Grafiskt Skriv in funktionen [math]\displaystyle{ y = C a^x }[/math] Du kommer då att få frågan om du vill skapa glidare för C och a. Det vill du. Dra i glidarna och finn lösningen. |